Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с Doubly even )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике четное целое число , то есть число, которое делится на 2, называется равномерно даже или двукратно , даже если он является кратным 4, и как ни странно , даже или по отдельности , даже если это не так . (Первые имена являются традиционными, происходящими от древнегреческого языка; последние стали обычным явлением в последние десятилетия.

Эти имена отражают основную концепцию теории чисел , 2-й порядок целого числа: сколько раз целое число может быть разделено на 2. Это эквивалентно кратности 2 в разложении на простые множители . Однократное четное число можно разделить на 2 только один раз; он четный, но его частное по 2 нечетно. Дважды четное число - это целое число, которое более одного раза делится на 2; он четный, и его частное по 2 также четно.

Раздельное рассмотрение нечетных и четных чисел полезно во многих областях математики, особенно в теории чисел, комбинаторике , теории кодирования (см. Четные коды ) и других.

Определения [ править ]

Древнегреческие термины «четное-время-четное» и «четное-раз-нечетное» получили различные неэквивалентные определения Евклида и более поздних авторов, таких как Никомах . [1] Сегодня идет стандартная разработка концепций. 2-порядок или 2-адический порядок - это просто частный случай p -адического порядка при общем простом числе p ; см. p -адическое число, чтобы узнать больше об этой широкой области математики. Многие из следующих определений непосредственно обобщаются на другие простые числа.

Для целого числа n 2-й порядок числа n (также называемый оценкой ) - это наибольшее натуральное число ν такое, что 2 ν делит n . Это определение применяется к положительным и отрицательным числам n , хотя некоторые авторы ограничивают его положительными n ; и можно определить 2-порядок 0 как бесконечность (см. также четность нуля ). [2] 2-й порядок числа n записывается как ν 2 ( n ) или ord 2 ( n ). Его не следует путать с порядком умножения по модулю 2 .

2-й порядок обеспечивает унифицированное описание различных классов целых чисел, определяемых четностью:

  • Нечетные числа - это числа с ν 2 ( n ) = 0, т. Е. Целые числа вида 2 m + 1 .
  • Четные числа - это числа с ν 2 ( n )> 0, т. Е. Целые числа вида 2 m . В частности:
    • Однократные четные числа - это числа с ν 2 ( n ) = 1, т. Е. Целые числа вида 4 m + 2 .
    • Дважды четные числа - это числа с ν 2 ( n )> 1, т. Е. Целые числа вида 4 m .
      • В этой терминологии дважды четное число может делиться или не делиться на 8, поэтому нет специальной терминологии для «трижды четных» чисел в чистой математике, хотя оно используется в учебных материалах для детей, включая более высокие кратные, такие как «четверичное четное». " [3]

Можно также расширить 2-порядок до рациональных чисел , определив ν 2 ( q ) как единственное целое число ν, где

и a и b оба нечетные. Например, полуцелые числа имеют отрицательный 2-й порядок, а именно -1. Наконец, определяя 2-адическую норму,

один находится на пути к построению 2-адических чисел .

Приложения [ править ]

Более безопасные выходы в дартс [ править ]

Цель игры в дартс - набрать 0 очков, чтобы игрок с меньшим количеством очков имел больше шансов на победу. В начале этапа «меньший» имеет обычное значение абсолютного значения , и основная стратегия состоит в том, чтобы нацелиться на важные области на доске для дротика и набрать как можно больше очков. В конце лега, поскольку для победы нужно удвоить ставку, актуальной мерой становится 2-адическая норма. При любом нечетном счете, независимо от того, насколько он мал по абсолютной величине, для победы требуется как минимум два дротика. Любая четная оценка от 2 до 40 может быть удовлетворена одним дротиком, а 40 является гораздо более желательной оценкой, чем 2, из-за эффектов промаха.

Распространенный промах при прицеливании в двойное кольцо - это попадание вместо одиночного и случайное уменьшение очков вдвое. При счете 22 - единичное четное число - у каждого есть игровой выстрел на дабл 11. Если один попадает в одиночный 11, новый счет - 11, что является нечетным, и для восстановления потребуется еще как минимум два дротика. Напротив, при броске на дубль 12 можно сделать ту же ошибку, но при этом у него останется 3 игровых броска подряд: D12, D6 и D3. Как правило, при n <42 таких игровых выстрелов получается ν 2 ( n ) . Вот почему 32 = 2 5 - такой желательный результат: он делится 5 раз. [4] [5]

Иррациональность квадратного корня из 2 [ править ]

Классическое доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным оперирует бесконечным спуск . Обычно нисходящая часть доказательства абстрагируется, предполагая (или доказывая) существование неприводимых представлений рациональных чисел . Альтернативный подход - использовать существование оператора ν 2 .

Предположим от противного, что

где a и b ненулевые натуральные числа. Возвести обе части равенства в квадрат и применить оператор оценки 2-го порядка ν 2 к 2 b 2 = a 2 :

Поскольку оценки 2-го порядка являются целыми числами, разница не может быть рациональной . Следовательно, от противного, √ 2 не рационально.

Более конкретно, так как оценка 2 б 2 нечетно, а оценка в 2 четное, то они должны быть различные целые числа, так что . Затем несложный расчет дает нижнюю границу разницы , что дает прямое доказательство иррациональности, не опирающейся на закон исключенного третьего . [6]

Геометрическая топология [ править ]

В геометрической топологии многие свойства многообразий зависят только от их размерности по модулю 4 или по модулю 8; таким образом, часто изучаются многообразия однократно четной и двукратно четной размерности (4 k +2 и 4 k ) как классы. Например, двумерные многообразия четной размерности имеют симметричную невырожденную билинейную форму на своей группе когомологий средней размерности , которая, таким образом, имеет целочисленную сигнатуру . С другой стороны , по отдельности четномерные многообразия имеют косую - симметричную невырожденную билинейную форму на их средней размерности; если определить квадратичное уточнение этого до квадратичной формы (как наоснащенное многообразие ), можно получить инвариант Arf как инвариант mod 2. Нечетномерные многообразия, напротив, не имеют этих инвариантов, хотя в теории алгебраической хирургии можно определять более сложные инварианты. Эта 4-кратная и 8-кратная периодичность в структуре многообразий связана с 4-кратной периодичностью L-теории и 8-кратной периодичностью реальной топологической K-теории , известной как периодичность Ботта .

Если компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие имеет размерность n ≡ 4 mod 8 или ν 2 ( n ) = 2 в точности, то его сигнатура является целым числом, кратным 16. [7]

Другие выступления [ править ]

Одно четное число не может быть сильным числом . Его нельзя представить как разность двух квадратов . Однако единственно четное число может быть представлено как разность двух пронических чисел или двух сильных чисел. [8]

В теории групп относительно просто [9] показать, что порядок неабелевой конечной простой группы не может быть однократно четным числом. Фактически, по теореме Фейта – Томпсона она также не может быть нечетной, поэтому каждая такая группа имеет дважды четный порядок.

Цепная дробь Ламберта для касательной функции дает следующую цепную дробь, включающую положительные однократно четные числа: [10]

Это выражение приводит к аналогичным представлениям e . [11]

В области органической химии , правила Хюккеля , также известные как 4n +-правило, предсказывают , что циклическая π-связь система , содержащая по одному четное число р - электроны будет ароматической . [12]

Связанные классификации [ править ]

Хотя 2-й порядок может определять, когда целое число конгруэнтно 0 (mod 4) или 2 (mod 4), он не может отличить 1 (mod 4) или 3 (mod 4). Это различие имеет некоторые интересные следствия, такие как теорема Ферма о суммах двух квадратов .

См. Также [ править ]

  • p-адический порядок

Ссылки [ править ]

  1. ^ Евклид; Йохан Людвиг Хейберг (1908). Тринадцать книг стихий Евклида . Университетское издательство. стр.  281 -284.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  2. ^ Ленджиел, Тамаш (1994). «Характеризация 2-адического порядка логарифма» (PDF) . Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 32 : 397–401.
  3. ^ url = https://www.parleybot.com/p/double-triple-quadruple-even-number.html | Онлайн-калькулятор многократных мероприятий
  4. ^ Нуньес, Терезинья и Питер Брайант (1996). Дети занимаются математикой . Блэквелл. стр.  98 -99. ISBN 0-631-18472-4.
  5. ^ Эверсон, Фред (2006). Руководство игрока бара по выигрышу в дартс . Траффорд. п. 39. ISBN 1-55369-321-3.
  6. ^ Бенсон, Дональд С. (2000). Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд UP. С. 46–47. ISBN 0-19-513919-4.
  7. ^ Очанин, Серж, "Подпись по модулю 16, инварианты генерализованного Кервера и nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, 142 с. MR 1809832
  8. ^ * Макдэниел, Уэйн Л. (1982). «Представления каждого целого числа как разности сильных чисел». Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 20 : 85–87.
  9. ^ См., Например: Бурбаки (1989). Элементы математики: Алгебра I: главы 1-3 (переиздание в мягкой обложке английского перевода изд. 1974 г.). Springer. С. 154–155. ISBN 3-540-64243-9.
  10. ^ Хайрер, Эрнст и Герхард Ваннер (1996). Анализ по истории . Springer. С.  69–78 . ISBN 0-387-94551-2.
  11. ^ Лэнг, Серж (1995). Введение в диофантовы приближения . Springer. С. 69–73. ISBN 0-387-94456-7.
  12. ^ Уэллетт, Роберт Дж. И Дж. Дэвид Рон (1996). Органическая химия . Прентис Холл. п. 473. ISBN 0-02-390171-3.

Внешние ссылки [ править ]

  • однократно четное число в PlanetMath
  • Последовательность OEIS A016825 (числа, совпадающие с 2 по модулю 4)
  • Последовательность OEIS A008586 (кратно 4)