- Эта страница касается топологической гипотезы математика Сергея Новикова. Чтобы узнать о гипотезе астрофизика Игоря Новикова о путешествиях во времени, см. Принцип самосогласованности Новикова .
Гипотеза Новикова - одна из важнейших нерешенных проблем топологии . Он назван в честь Сергея Новикова, который первоначально высказал гипотезу в 1965 году.
Гипотеза Новиков относится к гомотопической инвариантности некоторых многочленов в классах Понтрягина одного многообразия , возникающая в связи с фундаментальной группы . Согласно гипотезе Новикова высшие сигнатуры , являющиеся некоторыми числовыми инвариантами гладких многообразий, являются гомотопическими инвариантами.
Гипотеза доказана для конечно порожденных абелевых групп . Пока неизвестно, верна ли гипотеза Новикова для всех групп. Контрпримеров к этой гипотезе не известно.
Точная формулировка гипотезы
Позволять быть дискретной группы иего классифицирующее пространство , которое является пространством Эйленберга – Маклейна типа, а значит, единственный с точностью до гомотопической эквивалентности как CW-комплекс. Позволять
- непрерывное отображение из замкнутой ориентированной -мерное многообразие к , а также
Новиков рассмотрел численное выражение, полученное путем сравнения класса когомологий в высшей размерности с фундаментальным классом , и известная как высшая подпись :
где это Многочлен Хирцебруха , или иногда (менее наглядно) как -полином. Для каждого, этот многочлен выражается в классах Понтрягина касательного расслоения многообразия. Гипотеза Новикова утверждает, что высшая сигнатура является инвариантом ориентированного гомотопического типа для каждой такой карты и каждый такой класс , другими словами, если является ориентацией, сохраняющей гомотопическую эквивалентность, высшая сигнатура, связанная с равно тому, что связано с .
Связь с гипотезой Бореля
Гипотеза Новикова эквивалентна рациональной инъективности отображения сборки в L-теории . Гипотеза Бореля о жесткости асферических многообразий эквивалентна изоморфизму отображения сборки.
Рекомендации
- Дэвис, Джеймс Ф. (2000), "Многообразные аспекты гипотезы Новикова", в Cappell, Sylvain ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан (ред.), Обзоры по теории хирургии. Vol. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , стр. 195–224, ISBN 978-0-691-04937-3, Руководство по ремонту 1747536
- Джон Милнор и Джеймс Д. Сташефф , Характерные классы, Анналы математических исследований 76, Принстон (1974).
- Сергей П. Новиков , Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов К-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые приложения к дифференциальной топологии и теории характеристических классов . Изв. АН СССР, т. 34, 1970 И №2, с. 253–288; II: №3, с. 475–500. Резюме на английском языке в Actes Congr. Междунар. Math., Т. 2, 1970, стр. 39–45.
Внешние ссылки
- Биография Сергея Новикова
- Библиография гипотез Новикова
- Гипотеза Новикова, 1993, Труды Обервольфахской конференции, Том 1
- Гипотеза Новикова, 1993, Труды Обервольфахской конференции, Том 2
- Обервольфахский семинар 2004 г., посвященный гипотезе Новикова (pdf)
- Статья в Scholarpedia Новикова С.П. (2010)
- Гипотеза Новикова в атласе многообразий