В математике , сборка карта является важным понятием в геометрической топологии . Из гомотопической -theoretical точки зрения, картографическая сборка представляет собой универсальное приближение гомотопический инвариантного функтор по теории гомологии слева. С геометрической точки зрения, карты сборки соответствуют «сборке» локальных данных в пространстве параметров вместе для получения глобальных данных.
Отображения ассемблера для алгебраической K-теории и L-теории играют центральную роль в топологии многомерных многообразий , поскольку их гомотопические слои имеют прямую геометрическую интерпретацию. Эквивариантные карты сборки используются для формулирования гипотез Фаррелла – Джонса в K- и L-теории.
Гомотопически-теоретическая точка зрения
Это классический результат, что для любой обобщенной теории гомологий на категории топологических пространств (предполагаемых гомотопически эквивалентными CW-комплексам ) существует спектр такой, что
где .
Функтор от пространств к спектрам обладает следующими свойствами:
- Он гомотопически инвариантен (сохраняет гомотопические эквивалентности). Это отражает тот факт, что гомотопически инвариантна.
- Он сохраняет гомотопические декартовы квадраты. Это отражает тот факт, чтоимеет последовательности Майера-Виеториса , эквивалентную характеристику вырезания.
- Он сохраняет произвольные копроизведения . Это отражает аксиому о дизъюнктном объединении.
Функтор от пространств к спектру, удовлетворяющий этим свойствам, называется эксцизивным .
Теперь предположим, что является гомотопически-инвариантным, не обязательно эксцизивным функтором. Карта сборки - это естественное преобразование от какого-то эксцизивного функтора к такой, что является гомотопической эквивалентностью.
Если обозначить через теории ассоциированных гомологий следует, что индуцированное естественное преобразование градуированных абелевых групп универсальное преобразование от теории гомологии к , т.е. любое другое преобразование из некоторой теории гомологии факторы уникальным образом через преобразование теорий гомологии .
Отображения ассемблера существуют для любого гомотопически инвариантного функтора с помощью простой теоретико-гомотопической конструкции.
Геометрическая точка зрения
Как следствие последовательности Майера- Виеториса значение эксцизивного функтора на пространстве зависит только от его значения на «малых» подпространствах , вместе со знанием того, как эти небольшие подпространства пересекаются. В представлении цикла связанной теории гомологии это означает, что все циклы должны быть представлены небольшими циклами. Например, для особых гомологий свойство вырезания доказывается путем разбиения симплексов с получением сумм малых симплексов, представляющих произвольные классы гомологий.
В этом духе для некоторых гомотопически-инвариантных функторов, которые не являются эксцизивными, соответствующая эксцизивная теория может быть построена путем наложения «условий управления», приводящих к области управляемой топологии . На этом рисунке карты сборки являются картами «забыть-контроль», то есть они вызваны забыванием условий управления.
Важность геометрической топологии
Сборочные карты изучаются в геометрической топологии в основном для двух функторов Алгебраическая L-теория о, а также , алгебраическая K-теория пространств. Фактически, гомотопические слои обеих карт сборки имеют прямую геометрическую интерпретацию, когдакомпактное топологическое многообразие. Поэтому знания о геометрии компактных топологических многообразий можно получить, изучая- а также -теории и соответствующие карты сборки.
В случае -теория, гомотопическое волокно соответствующей монтажной карты , вычисляемая на компактном топологическом многообразии , гомотопически эквивалентно пространству блочных структур . Более того, последовательность расслоений
индуцирует длинную точную последовательность гомотопических групп , которые могут быть идентифицированы с помощью операции точной последовательности из. Эту теорему можно назвать фундаментальной теоремой теории хирургии, которую впоследствии разработали Уильям Браудер , Сергей Новиков , Деннис Салливан , CTC Wall , Фрэнк Куинн и Эндрю Раники .
Для -теория, гомотопическое волокно соответствующего отображения сборки гомотопически эквивалентно пространству стабильных h-кобордизмов на. Этот факт называется теоремой о стабильном параметризованном h-кобордизме , доказанной Вальдхаузеном-Яреном-Рогнесом. Его можно рассматривать как параметризованную версию классической теоремы, которая утверждает, что классы эквивалентности h-кобордизмов нав 1-к-1 переписка с элементами в группе Уайтхеда из.