Скручивание Уайтхеда

В геометрической топологии , области математики, препятствием к гомотопической эквивалентности конечных CW-комплексов, являющейся простой гомотопической эквивалентностью, является его кручение Уайтхеда, которое является элементом группы Уайтхеда . Эти концепции названы в честь математика Дж . Х. К. Уайтхеда .${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle \ тау (е)}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Wh} (\ pi _ {1} (Y))}$

Кручение Уайтхеда важно для применения теории перестроек к неодносвязным многообразиям размерности> 4: для односвязных многообразий группа Уайтхеда обращается в нуль, и, таким образом, гомотопическая эквивалентность и простая гомотопическая эквивалентность совпадают. Приложения - к дифференцируемым многообразиям, многообразиям PL и топологическим многообразиям. Доказательства были впервые получены в начале 1960-х годов Стивеном Смейлом для дифференцируемых многообразий. Развитие теории ручек позволило получить практически одинаковые доказательства в категориях дифференцируемых и PL. Доказательства намного сложнее в топологической категории, требующей теории Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана.. Ограничение на многообразия размерности больше четырех связано с применением уловки Уитни для удаления двойных точек.

Обобщая теорему о h- кобордизме , которая является утверждением об односвязных многообразиях, на неодносвязные многообразия, необходимо различать простые гомотопические эквивалентности и непростые гомотопические эквивалентности. В то время как h -кобордизм W между односвязными замкнутыми связными многообразиями M и N размерности n  > 4 изоморфен цилиндру (соответствующую гомотопическую эквивалентность можно рассматривать как диффеоморфизм, PL-изоморфизм или гомеоморфизм соответственно), Теорема s -кобордизма утверждает, что если многообразия не односвязны, h-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения обращается в нуль.${\ Displaystyle M \ hookrightarrow W}$

Группа Уайтхеда [ править ]

Группа Уайтхед связного CW-комплекс или многообразия М равна группа Уайтхед из фундаментальной группы из М .${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (\ pi _ {1} (M))}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (М)}$

Если G - группа, группа Уайтхеда определяется как коядро отображения, которое переводит ( g , ± 1) в обратимую (1,1) -матрицу (± g ). Вот это групповое кольцо из G . Напомним, что K-группа K ₁ ( A ) кольца A определяется как фактор GL (A) по подгруппе, порожденной элементарными матрицами . Группа GL ( A ) является прямым пределом конечномерных групп GL ( n , A ) → GL ( n${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (G)}$${\ Displaystyle G \ times \ {\ pm 1 \} \ к K_ {1} (\ mathbb {Z} [G])}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$+1, А ); конкретно, группа обратимых бесконечных матриц, которые отличаются от единичной матрицы только конечным числом коэффициентов. Элементарная матрица здесь является трансвекция : один такой , что все главные диагональные элементы равны 1 , и есть самое один ненулевой элемент не по диагонали. Подгруппа, порожденная элементарными матрицами, - это в точности производная подгруппа , другими словами, наименьшая нормальная подгруппа, фактор которой по ней является абелевым.

Другими словами, группа Уайтхеда группы G есть фактор по подгруппе , порожденной элементарными матрицами, элементами G и . Обратите внимание , что это то же самое , как частное от восстановленного K-группы с помощью G .${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (G)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (\ mathbb {Z} [G])}$${\ displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle {\ тильда {K}} _ {1} (\ mathbb {Z} [G])}$

Примеры [ править ]

• Группа Уайтхеда тривиальной группы тривиальна. Поскольку групповое кольцо тривиальной группы есть, мы должны показать, что любую матрицу можно записать как произведение элементарных матриц на диагональную матрицу; это легко следует из того факта, что это евклидова область .${\ displaystyle \ mathbb {Z},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Группа Уайтхеда свободной абелевой группы тривиальна, это результат 1964 года Хаймана Басса , Алекса Хеллера и Ричарда Свона . Это довольно сложно доказать, но важно, поскольку оно используется в доказательстве того, что s -кобордизм размерности не менее 6, концы которого являются торами, является произведением. Это также ключевой алгебраический результат, используемый в классификации теории хирургии кусочно-линейных многообразий размерности не менее 5, гомотопически эквивалентных тору ; это основной компонент структурной теории Кирби – Зибенмана 1969 г. топологических многообразий размерности не менее 5.

• Группа Уайтхеда группы кос (или любой подгруппы группы кос) тривиальна. Это доказали Ф. Томас Фаррелл и Сайед К. Рушон.

• Группа Уайтхеда циклических групп порядков 2, 3, 4 и 6 тривиальна.

• Группа Уайтхеда циклической группы порядка 5 равна . Это было доказано в 1940 году Грэмом Хигманом . Пример нетривиальной единицы в групповом кольце возникает из тождества, где t - генератор циклической группы порядка 5. Этот пример тесно связан с существованием единиц бесконечного порядка (в частности, золотого сечения ) в кольце целых чисел кругового поля, порожденного корнями пятой степени из единицы.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (1-t-t^{4})(1-t^{2}-t^{3})=1,}$

• Группа Уайтхеда любой конечной группы G конечно порождена, ее ранг равен числу неприводимых вещественных представлений группы G за вычетом числа неприводимых рациональных представлений . это было доказано в 1965 году Бассом.

• Если G - конечная циклическая группа, то изоморфна единицам группового кольца при детерминантном отображении, поэтому Wh ( G ) - это просто группа единиц по модулю группы «тривиальных единиц», порожденная элементами из G и −1 .${\displaystyle K_{1}(\mathbb {Z} [G])}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Хорошо известна гипотеза о том, что группа Уайтхеда любой группы без кручения должна исчезнуть.

Кручение Уайтхеда [ править ]

Сначала мы определим кручение Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности свободных R -цепных комплексов с конечной базой. Мы можем сопоставить гомотопической эквивалентности ее конус отображения C _*  : = cone _* (h _* ), который является стягиваемым конечным базирующимся свободным R -цепным комплексом. Пусть - любое цепное сжатие конуса отображения, т. Е. Для всех n . Получаем изоморфизм с ${\displaystyle \tau (h_{*})\in {\tilde {K}}_{1}(R)}$${\displaystyle h_{*}:D_{*}\to E_{*}}$${\displaystyle \gamma _{*}:C_{*}\to C_{*+1}}$${\displaystyle c_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ c_{n}=\operatorname {id} _{C_{n}}}$${\displaystyle (c_{*}+\gamma _{*})_{\mathrm {odd} }:C_{\mathrm {odd} }\to C_{\mathrm {even} }}$

${\displaystyle C_{\mathrm {odd} }:=\bigoplus _{n{\text{ odd}}}C_{n},\qquad C_{\mathrm {even} }:=\bigoplus _{n{\text{ even}}}C_{n}.}$

Определим , где A - матрица относительно заданных базисов.${\displaystyle \tau (h_{*}):=[A]\in {\tilde {K}}_{1}(R)}$${\displaystyle (c_{*}+\gamma _{*})_{\rm {odd}}}$

Для гомотопической эквивалентности связных конечных CW-комплексов мы определяем кручение Уайтхеда следующим образом. Позвольте быть подъемом к универсальному покрытию. Он индуцирует -цепные гомотопические эквивалентности . Теперь мы можем применить определение кручения Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности и получить элемент, в котором мы отображаемся в Wh (π ₁ ( Y )). Это кручение Уайтхеда τ (ƒ) ∈ Wh (π ₁ ( Y )).${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)\in \operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))}$${\displaystyle {\tilde {f}}:{\tilde {X}}\to {\tilde {Y}}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)]}$${\displaystyle C_{*}({\tilde {f}}):C_{*}({\tilde {X}})\to C_{*}({\tilde {Y}})}$${\displaystyle {\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)])}$

Свойства [ править ]

Гомотопическая инвариантность: Пусть - гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Если f и g гомотопны, то .${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle \tau (f)=\tau (g)}$

Топологическая инвариантность: если - гомеоморфизм конечных связных CW-комплексов, то .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \tau (f)=0}$

Формула композиции: Пусть , - гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Тогда .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$${\displaystyle \tau (g\circ f)=g_{*}\tau (f)+\tau (g)}$

Геометрическая интерпретация [ править ]

Теорема о s-кобордизме утверждает для замкнутого связного ориентированного многообразия M размерности n  > 4, что h-кобордизм W между M и другим многообразием N тривиален над M тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения обращается в нуль. Более того, для любого элемента в группе Уайтхеда существует h-кобордизм W над M , рассматриваемым элементом которого является кручение Уайтхеда. В доказательствах используются разложения на ручки .${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Существует теоретико-гомотопический аналог теоремы о s-кобордизме. Для CW-комплекса A рассмотрим множество всех пар CW-комплексов ( X , A ) таких, что включение A в X является гомотопической эквивалентностью. Две пары ( X ₁ , ) и ( Х ₂ , А ) называются эквивалентными, если существует простая гомотопическая эквивалентность между X ₁ и X ₂ по отношению к A . Множество таких классов эквивалентности образуют группу, в которой сложение задается объединениемХ ₁ и Х ₂ с общим подпространством А . Эта группа естественно изоморфна группе Уайтхеда Wh ( A ) от CW-комплекса A . Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы о s-кобордизме .

См. Также [ править ]

• Алгебраическая K-теория
• Кручение Рейдемейстера
• теорема s-кобордизма
• Препятствие конечности стены

Ссылки [ править ]

• Басс, Хайман ; Хеллер, Алекс; Свон, Ричард (1964), "Группа Уайтхеда полиномиального расширения" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 22 : 61–79, MR  0174605
• Коэн, М. Курс простой теории гомотопий. Текст для выпускников по математике 10, Springer, 1973.
• Хигман, Грэхэм (1940), "Единицы групповых колец", Труды Лондонского математического общества , 2, 46 : 231-248, DOI : 10,1112 / PLMS / s2-46.1.231 , МР  0002137
• Кирби, Робион ; Зибенманн, Лоран (1977), Основополагающие эссе по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям , Анналы математических исследований, 88 , Princeton University Press, Princeton, NJ; Токийский университет прессы , Токио
• Милнор, Джон (1966), "кручение Уайтхеда", Бюллетень Американского математического общества , 72 : 358-426, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1966-11484-2 , MR  0196736
• Smale, Стивен (1962), "О структуре многообразий", Американский журнал математики , 84 : 387-399, DOI : 10,2307 / 2372978 , MR  0153022
• Уайтхед, JHC (1950), "Простые типы гомотопич", Американский журнал математики , 72 : 1-57, DOI : 10,2307 / 2372133 , MR  0035437

Внешние ссылки [ править ]

• Описание кручения Уайтхеда находится во втором разделе .