В геометрической топологии и дифференциальной топологии ( n + 1) -мерный кобордизм W между n -мерными многообразиями M и N является h -кобордизмом ( h означает гомотопическую эквивалентность ), если включение отображает
являются гомотопическими эквивалентностями.
Теорема h -кобордизма дает достаточные условия для того, чтобы h -кобордизм был тривиальным, т. Е. Был C- изоморфен цилиндру M × [0, 1]. Здесь C относится к любой из категорий гладких , кусочно линейных или топологических многообразий.
Теорема была впервые доказана Стивеном Смейлом, за что он получил медаль Филдса и является фундаментальным результатом теории многомерных многообразий. Во-первых, это почти сразу доказывает обобщенную гипотезу Пуанкаре .
Задний план
До того, как Смейл доказал эту теорему, математики застряли в попытках понять многообразия размерности 3 или 4 и предположили, что многомерные случаи были еще сложнее. Теорема о h- кобордизме показала, что (односвязные) многообразия размерности не менее 5 намного проще, чем многообразия размерности 3 или 4. Доказательство теоремы опирается на « трюк Уитни » Хасслера Уитни , который геометрически распутывает гомологически запутанные многообразия. сферы дополнительной размерности в многообразии размерности> 4. Неформальная причина того, почему многообразия размерностей 3 или 4 необычайно сложны, заключается в том, что этот трюк не работает в более низких измерениях, в которых нет места для распутывания.
Точная формулировка теоремы о h- кобордизме
Пусть п быть не менее 5 , и пусть W компактное ( п + 1) -мерное ч -cobordism между М и N в категории C = Diff , PL , или сверху таким образом, что W , М и N являются просто соединены , то W является с -изоморфна M × [0, 1]. Изоморфизм может быть выбран как тождественный на M × {0}.
Это означает, что гомотопическая эквивалентность между M, W и N гомотопна C- изоморфизму.
Версии с меньшими размерами
Для n = 4 теорема о h- кобордизме верна топологически (доказана Майклом Фридманом с использованием 4-мерного трюка Уитни), но ложна PL и гладко (как показано Саймоном Дональдсоном ).
При n = 3 теорема о h- кобордизме для гладких многообразий не доказана и в силу 3-мерной гипотезы Пуанкаре эквивалентна труднооткрытому вопросу о том, имеет ли 4-сфера нестандартные гладкие структуры .
При n = 2 теорема о h- кобордизме эквивалентна гипотезе Пуанкаре, сформулированной Пуанкаре в 1904 году (одна из проблем тысячелетия [1] ), и была доказана Григорием Перельманом в серии из трех статей в 2002 и 2003 годах [2 ] [3] [4], где он следует программе Ричарда С. Гамильтона с использованием потока Риччи .
При n = 1 теорема о h- кобордизме пуста, поскольку не существует замкнутого односвязного одномерного многообразия.
При n = 0 теорема о h- кобордизме тривиально верна: интервал является единственным связным кобордизмом между связными 0-многообразиями.
Контрольный эскиз
Функция Морса индуцирует разложение на ручки из W , то есть, если есть одна критическая точка индекса к в, то восходящий кобордизм получается из прикрепив k- образную ручку. Цель доказательства - найти декомпозицию ручки без ручек вообще так, чтобы интегрирование ненулевого градиентного векторного поля f давало желаемый диффеоморфизм тривиального кобордизма.
Это достигается с помощью ряда приемов.
1) Перестановка ручки
Во-первых, мы хотим переставить все дескрипторы по порядку, чтобы первыми были прикреплены дескрипторы более низкого порядка. Таким образом, возникает вопрос, когда мы можем сдвинуть i- ручку с j- ручки? Это можно сделать с помощью радиальной изотопии до тех пор, пока присоединяющаяся сфера i и поясная сфера j не пересекаются. Таким образом, мы хотим что эквивалентно .
Затем мы определяем комплекс цепочек ручек позволяя - свободная абелева группа на k -ручках и определяющаяотправив k- дескриптор к , где - число пересечения k -сцепляющей сферы и ( k - 1) -поясной сферы.
2) Обработка отмены
Далее мы хотим «отменить» дескрипторы. Идея в том, что прикрепление k- ручкиможет образовать дыру, которую можно заполнить, прикрепив ( k + 1) -ручку. Это означало бы, что и так запись в матрице было бы . Однако когда этого условия достаточно? То есть, когда мы можем геометрически отменить дескрипторы, если это условие истинно? Ответ заключается в том, чтобы тщательно проанализировать, когда коллектор остается односвязным после удаления соответствующих прикрепляемых и ременных сфер, и найти встроенный диск с помощью трюка Уитни . Этот анализ приводит к требованию, чтобы n было не меньше 5. Более того, при доказательстве требуется, чтобы кобордизм не имел 0-, 1-, n - или ( n + 1) -ручек, что получается следующей техникой .
3) Управляйте торговлей
Идея торговли дескрипторами состоит в том, чтобы создать отменяющую пару из ( k + 1) - и ( k + 2)-дескрипторов, чтобы данная k- дескриптор отменяла с ( k + 1) -ручкой, оставляя за собой ( k + 2). )-ручка. Для этого рассмотрим ядро k- ручки, которое является элементом в. Эта группа тривиальна, поскольку W - h -кобордизм. Таким образом, получается дисккоторые мы можем откармливать к отменяя пары по желанию, до тех пор , как мы можем встроить этот диск в границу W . Это вложение существует, если. Поскольку мы предполагаем, что n не меньше 5, это означает, что k равно 0 или 1. Наконец, рассматривая отрицательное значение данной функции Морса, - f , мы можем перевернуть разложение ручки вверх ногами, а также удалить n - и ( n + 1) - обрабатывает по желанию.
4) Ручка раздвижная
Наконец, мы хотим убедиться, что операции со строками и столбцами соответствует геометрической операции. В самом деле, нетрудно показать (лучше всего, нарисовав картинку), что скольжение k- ручкинад другой k- рукояткой заменяет от в основе .
Доказательство теоремы теперь следует: цепной комплекс ручек точен, поскольку . Таким образом так как свободны. потом, который является целочисленной матрицей, ограничивается обратимым морфизмом, который, таким образом, может быть диагонализован с помощью элементарных операций со строками (перемещение ручки) и должен иметь только по диагонали, потому что он обратимый. Таким образом, все дескрипторы соединены с одним другим дескриптором отмены, что дает декомпозицию без дескрипторов.
Теорема s -кобордизма
Если отказаться от предположения, что M и N односвязны, h -кобордизмы не обязательно должны быть цилиндрами; препятствие - это в точности кручение Уайтхеда τ ( W , M ) включения.
Точнее, теорема о s- кобордизме ( s означает простую гомотопическую эквивалентность ), независимо доказанная Барри Мазуром , Джоном Столлингсом и Деннисом Барденом , утверждает (предположения такие же, как и выше, но где M и N не обязательно должны быть односвязными):
- Ч -cobordism представляет собой цилиндр , тогда и только тогда , когда кручение Уайтхеда τ ( W , М ) обращается в нуль.
Кручение обращается в нуль тогда и только тогда, когда включение не просто гомотопическая эквивалентность, но простая гомотопическая эквивалентность .
Обратите внимание, что не нужно предполагать, что другое включение также является простой гомотопической эквивалентностью, что следует из теоремы.
Категорически h -кобордизмы образуют группоид .
Тогда более тонкое утверждение теоремы о s -кобордизме состоит в том, что классы изоморфизма этого группоида (с точностью до C- изоморфизма h -кобордизмов) являются торсорами для соответствующих [5] групп Уайтхеда Wh (π), где
Смотрите также
Заметки
- ^ "Проблемы тысячелетия | Институт математики Глины" . www.claymath.org . Проверено 30 марта 2016 .
- ^ Перельман, Гриша (11.11.2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : математика / 0211159 .
- ^ Перельман, Гриша (10.03.2003). «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях». arXiv : math / 0303109 .
- ^ Перельман, Гриша (17.07.2003). «Конечное время исчезновения решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math / 0307245 .
- ^ Обратите внимание, что идентификация групп Уайтхеда различных многообразий требует выбора базовых точеки путь в W, соединяющий их.
Рекомендации
- Фридман, Майкл Х ; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонский математический ряд. 39 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08577-3. (Это соответствует теореме для топологических 4-многообразий.)
- Милнор, Джон , Лекции по теореме о h-кобордизме , заметки Л. Зибенмана и Дж. Сондоу, Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси, 1965. v + 116 с. Это дает доказательство для гладких многообразий.
- Рурк, Колин Патрик; Сандерсон, Брайан Джозеф, Введение в кусочно-линейную топологию , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . Это доказывает теорему для PL-многообразий.
- С. Смейл, "О строении многообразий" Амер. J. Math., 84 (1962), стр. 387–399
- Рудяк, Ю.Б. (2001) [1994], "h-кобордизм" , Энциклопедия математики , EMS Press