Матрица сдвига

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Матрица сдвига»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , A сдвиг матрица или трансвекция является элементарной матрицей , которая представляет собой добавление , кратные одной строки или столбца к другому. Такую матрицу можно получить, взяв единичную матрицу и заменив один из нулевых элементов ненулевым значением.

Типичная матрица сдвига показана ниже:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Название shear отражает тот факт, что матрица представляет собой преобразование сдвига . Геометрически, такое преобразование берет пары точек в линейном пространстве, которые чисто аксиально разделены вдоль оси, чья строка в матрице содержит элемент сдвига, и эффективно заменяет эти пары парами, разделение которых больше не является чисто осевым, а имеет два вектора составные части. Таким образом, ось сдвига всегда является собственным вектором из S .

Сдвиг, параллельный оси x, дает и . В матричной форме:${\displaystyle x'=x+\lambda y}$${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Точно так же сдвиг, параллельный оси y, имеет и . В матричной форме:${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+\lambda x}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Очевидно, что определитель всегда будет равен 1, так как независимо от того, где размещен элемент сдвига, он будет элементом косой диагонали, который также содержит нулевые элементы (поскольку все косые диагонали имеют длину не менее двух), поэтому его произведение останется ноль и не будет влиять на определитель. Таким образом, каждая матрица сдвига имеет обратную матрицу, а обратная матрица - это просто матрица сдвига с инвертированным элементом сдвига, представляющим преобразование сдвига в противоположном направлении. Фактически, это часть легко получаемого более общего результата: если S - матрица сдвига с элементом сдвига , то S ⁿ - матрица сдвига, элемент сдвига которой просто равен n . Следовательно, возведение матрицы сдвига в степень n умножает ее коэффициент сдвига.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$пользователя n .

Свойства [ править ]

Если S - матрица сдвига размера n × n , то:

• S имеет ранг n и поэтому обратима
• 1 является единственным собственным значением из S , поэтому Det S = 1 и следовые S = п
• подпространство из S (связанное с собственным значением 1) имеет п-1 размеры.
• S является дефектным
• S асимметричный
• S может быть преобразован в блочную матрицу с помощью не более 1 обмена столбцом и 1 операции обмена строкой.
• площадь , объем , или любой более внутренняя порядок емкость многогранника инвариантен относительно сдвига преобразования вершин многогранника в.

Приложения [ править ]

• Матрицы сдвига часто используются в компьютерной графике . ^[1]

См. Также [ править ]

• Матрица трансформации

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фоли, Джеймс Д .; ван Дам, Андрис; Файнер, Стивен К .; Хьюз, Джон Ф. (1991), Компьютерная графика: принципы и практика (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-12110-7