Инвариант Кервера

В математике инвариант Кервера - это инвариант оснащенного -мерного многообразия, который измеряет, можно ли хирургическим путем преобразовать многообразие в сферу. Этот инвариант принимает значение 0, если многообразие может быть преобразовано в сферу, и 1 в противном случае. Этот инвариант был назван в честь Мишеля Кервера , построившего на работе Cahit Arf .${\ displaystyle (4k + 2)}$

Инвариантен Кервер определяются как Арфы инвариант от косой-квадратичной формы на средней размерную группе гомологии . Его можно рассматривать как односвязную квадратичную L-группу и, таким образом, аналогично другим инвариантам из L-теории: сигнатуре , a -мерному инварианту (симметричному или квадратичному ), и инварианту Де Рама , a - размерный симметричный инвариант .${\ displaystyle L_ {4k + 2}}$${\ displaystyle 4k}$${\ Displaystyle L ^ {4k} \ cong L_ {4k}}$${\ displaystyle (4k + 1)}$${\ displaystyle L ^ {4k + 1}}$

В любом заданном измерении есть только две возможности: либо все многообразия имеют инвариант Арфа – Кервера, равный 0, либо половина имеет инвариант Арфа – Кервера 0, а другая половина имеет инвариант Арфа – Кервера 1.

Проблема инварианта Кервера - это проблема определения, в каких размерностях инвариант Кервера может быть ненулевым. Для дифференцируемых многообразий это может происходить в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. Последний случай размерности 126 остается открытым.

Определение [ править ]

Инвариантен Кервер является Арфы инвариантны в квадратичной форме определяется обрамлениями на средней-мерной -коэффициент группы гомологии${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle q \ двоеточие H_ {2m + 1} (M; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) \ to \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z},}$

поэтому иногда его называют инвариантом Арфа – Кервера . Квадратичная форма (собственно косоквадратичная форма ) является квадратичным уточнением обычной ε-симметрической формы на гомологиях средней размерности (не обрамленных) четномерного многообразия; оснащение дает квадратичное уточнение.

Квадратичная форма q может быть определена алгебраической топологией с использованием функциональных квадратов Стинрода и геометрически через самопересечения погружений, определяемых оснащением, или тривиальностью / нетривиальностью нормальных пучков вложений (для ) и модулем 2 Инвариант Хопфа отображений (при ).${\ displaystyle S ^ {2m + 1}}$${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle M ^ {4m + 2}}$${\ displaystyle S ^ {2m + 1}}$${\ displaystyle \ to}$ ${\ displaystyle M ^ {4m + 2}}$${\ Displaystyle м \ neq 0,1,3}$${\ Displaystyle S ^ {4m + 2 + k} \ к S ^ {2m + 1 + k}}$${\ displaystyle m = 0,1,3}$

История [ править ]

Инвариант Кервера является обобщением инварианта Арфа оснащенной поверхности (то есть двумерного многообразия со стабильно тривиализованным касательным расслоением), который был использован Львом Понтрягиным в 1950 году для вычисления гомотопической группы отображений (для ), которая является группа кобордизмов поверхностей, вложенных в тривиализованное нормальное расслоение.${\ Displaystyle \ пи _ {п + 2} (S ^ {п}) = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\displaystyle S^{n+2}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle S^{n+2}}$

Кервэр (1960) использовал свой инвариант для n  = 10, чтобы построить многообразие Кервера , 10-мерное PL-многообразие без дифференцируемой структуры , первый пример такого многообразия, показав, что его инвариант не обращается в нуль на этом PL-многообразии, но обращается в нуль на всех гладких многообразиях размерности 10.

Кервэр и Милнор (1963) вычисляют группу экзотических сфер (в размерности больше 4) с одним шагом в вычислении в зависимости от проблемы инварианта Кервера. В частности, они показывают , что множество экзотических сфер размерности п - конкретно моноид гладких структур на стандартном п -сфере - изоморфно группу из й -cobordism классов ориентированного гомотопности п - мерных сфер . Они вычисляют это в терминах карты${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,\,}$

где - циклическая подгруппа n -сфер, ограничивающая параллелизуемое многообразие размерности , - n- я стабильная гомотопическая группа сфер , а J - образ J-гомоморфизма , который также является циклической группой. Группы и имеют легко понимаемые циклические факторы, которые тривиальны или второго порядка, за исключением размерности , в этом случае они большие, с порядком, связанным с числами Бернулли.${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle n=4k+3}$. Факторы - это сложные части групп. Отображение между этими фактор-группами является либо изоморфизмом, либо инъективным и имеет образ индекса 2. Он является последним тогда и только тогда, когда существует n- мерное оснащенное многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, и, таким образом, классификация экзотических сфер зависит от с точностью до множителя 2 в проблеме инвариантов Кервера.

Примеры [ править ]

Для стандартного вложенного тора кососимметрическая форма задается формулой (относительно стандартного симплектического базиса ), а косоквадратичное уточнение задается формулой относительно этого базиса:: базисные кривые не самосвязываются; и : a (1,1) самозамыкания, как в расслоении Хопфа . Таким образом, эта форма имеет инвариант Arf 0 (большинство ее элементов имеет норму 0; у нее индекс изотропии 1), и, следовательно, стандартный вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle Q(1,0)=Q(0,1)=0}$${\displaystyle Q(1,1)=1}$

Проблема инварианта Кервера [ править ]

Вопрос о том, в каких размерностях n существуют n -мерные оснащенные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера, называется проблемой инварианта Кервера . Это возможно только в том случае, если n равно 2 по модулю 4, и действительно, нужно иметь n в форме (два меньше степени двойки). Вопрос почти полностью решен; с 2019 года открыт только случай размерности 126: есть многообразия с ненулевым инвариантом Кервера в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и ни одного во всех других измерениях, кроме, возможно, 126.${\displaystyle 2^{k}-2}$^[update]

Основные результаты принадлежат Уильяму Браудеру  ( 1969 ), который свел проблему с дифференциальной топологии к теории стабильной гомотопии и показал, что единственными возможными измерениями являются измерения Майкла А. Хилла, Майкла Дж. Хопкинса и Дугласа К. Равенеля. ( 2016 ), которые показали, что таких многообразий для ( ) не существует. Вместе с явными конструкциями для более низких измерений (до 62) это оставляет открытым только размер 126.${\displaystyle 2^{k}-2}$${\displaystyle k\geq 8}$${\displaystyle n\geq 254}$

Майкл Атия предположил, что такое многообразие существует в размерности 126, и что многомерные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера связаны с хорошо известными экзотическими многообразиями на два измерения выше, в размерностях 16, 32, 64 и 128, а именно проективная плоскость Кэли (размерность 16, октонионная проективная плоскость) и аналогичные проективные плоскости Розенфельда (биоктонионная проективная плоскость в размерности 32, кватероктонионная проективная плоскость в размерности 64 и октооктонионная проективная плоскость в размерности 128), в частности, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и дает многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже. ^[1]${\displaystyle \mathbf {O} P^{2}}$

История [ править ]

• Кервэр (1960) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 10, 18.
• Кервэр и Милнор (1963) доказали, что инвариант Кервера может быть ненулевым для многообразий размерности 6, 14.
• Андерсон, Браун и Петерсон (1966) доказали, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 8 n +2 при n > 1. harvtxt error: no target: CITEREFAndersonBrownPeterson1966 (help)
• Маховальд и Тангора (1967) доказали, что инвариант Кервера может быть ненулевым для многообразий размерности 30.
• Браудер (1969) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности n, отличной от формы 2 ^k  -  2 .
• Баррат, Джонс и Маховальд (1984) показали, что инвариант Кервера отличен от нуля для некоторого многообразия размерности 62. Альтернативное доказательство было дано позже Xu (2016) .
• Hill, Hopkins & Ravenel (2016) показали, что инвариант Кервера равен нулю для n -мерных оснащенных многообразий при n = 2 ^k - 2 с k ≥ 8. Они построили теорию когомологий Ω со следующими свойствами, из которых немедленно следует их результат:
  • Группы коэффициентов Ω ⁿ (точка) имеют период 2 ⁸  = 256 по n.
  • Группы коэффициентов Ω ⁿ (точка) имеют «пробел»: они обращаются в нуль при n = -1, -2 и -3.
  • Группы коэффициентов Ω ⁿ (точка) могут обнаруживать отличные от нуля инварианты Кервера: точнее, если инвариант Кервера для многообразий размерности n отличен от нуля, то он имеет ненулевой образ в Ω ^{- n} (точка)

Инвариант Кервера – Милнора [ править ]

Кервера Милнором инвариант является тесно связанной с инвариантом обрамлении хирургии 2, 6 или 14-мерного структурированном многообразия, что дает изоморфизм со 2 - й и 6 - й стабильной гомотопической группы сфер до , и гомоморфизм из четырнадцатого стабильной гомотопической группы сферы на . Для n = 2, 6, 14 существует экзотическое оснащение с инвариантом Кервера – Милнора 1.${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{n/2}\times S^{n/2}}$

См. Также [ править ]

• Подпись , 4 k -мерный инвариант
• Инвариант Де Рама , (4 k  + 1) -мерный инвариант

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Слайды и видео лекции Хопкинса в Эдинбурге, 21 апреля 2009 г.
• Домашняя страница Arf-Kervaire Дуга Равенела
• Летний семинар Гарварда и Массачусетского технологического института по инварианту Кервера
• Решенная проблема "неизменяемой одной проблемы Кервера" , 23 апреля 2009 г., сообщение в блоге Джона Баэза и обсуждение, кафе n-Category
• Экзотические сферы в многообразном атласе

Популярные новости [ править ]

• Hypersphere Exotica: проблема инварианта Кервера имеет решение! 45-летняя проблема многомерных сфер решена - вероятно , Давид Кастельвекки, журнал Scientific American , август 2009 г.
• Болл, Филипп (2009). «Скрытая загадка форм разгадана». Природа . DOI : 10.1038 / news.2009.427 .
• Математики решают загадку с инвариантом Кервера 45-летней давности , Эрика Кларрайх, 20 июля 2009 г.