В математике , в частности в алгебраической топологии , инвариант Хопфа является гомотопическим инвариантом некоторых отображений между n-сферами .
Мотивация [ править ]
В 1931 году Хайнц Хопф использовал параллели Клиффорда для построения карты Хопфа.
- ,
и доказал, что это существенно, т. е. не гомотопно постоянному отображению, используя тот факт, что число зацеплений окружностей
равно 1 для любого .
Позже было показано, что гомотопическая группа - это бесконечная циклическая группа, порожденная . В 1951 году Жан-Пьер Серр доказал, что рациональные гомотопические группы
для нечетномерной сферы ( odd) равны нулю, если не равно 0 или n . Однако для четномерной сферы ( n четных) существует еще один бит бесконечной циклической гомотопии по степени .
Определение [ править ]
Позвольте быть непрерывным отображением (предположим ). Тогда мы можем сформировать клеточный комплекс
где - размерный диск, прикрепленный к переходному отверстию . Группы клеточных цепей только свободно генерироваться на -клетка в степени , поэтому они в степени 0, а и нуль везде. Клеточные (ко-) гомологии - это (ко-) гомологии этого цепного комплекса , и поскольку все граничные гомоморфизмы должны быть нулевыми (напомним, что ), когомологии
Обозначим образующие групп когомологий через
- а также
По габаритным соображениям все чашки между этими классами должны быть тривиальными, кроме . Таким образом, когомологии как кольцо
Целое число является инвариантом Хопфа карты .
Свойства [ править ]
Теорема : отображение является гомоморфизмом. Кроме того, если является четным, отображается на .
Инвариант Хопфа предназначен для отображений Хопфа , где , соответственно, вещественным алгебрам с делением и расслоению, передающему направление на сфере подпространству, которое оно охватывает. Это теорема, доказанная сначала Фрэнком Адамсом , а затем Адамсом и Майклом Атьей методами топологической K-теории , что это единственные отображения с инвариантом Хопфа 1.
Обобщения для стабильных карт [ править ]
Можно определить очень общее понятие инварианта Хопфа, но оно требует некоторого теоретического обоснования гомотопии:
Пусть обозначает векторное пространство и его одноточечной компактификации , то есть и
- для некоторых .
Если это любое заостренное пространство (как это неявно указано в предыдущем разделе), и если мы возьмем бесконечно удаленную точку за базовую точку , то мы можем сформировать произведения клина
- .
Теперь позвольте
быть стабильным отображением, т. е. устойчивым относительно функтора приведенной подвески . (Стабильный) геометрический инвариант Хопфа из IS
- ,
элемент стабильно -эквивариантной гомотопической группы отображений из в . Здесь «стабильный» означает «стабильный относительно подвешивания», т. Е. Прямой предел (или , если хотите) обычных эквивариантных гомотопических групп; и -action - это тривиальное действие и включение двух факторов . Если мы позволим
обозначим каноническое диагональное отображение и тождество, то инвариант Хопфа определяется следующим образом:
Эта карта изначально является картой из
- к ,
но при прямом пределе он становится объявленным элементом стабильной гомотопически -эквивариантной группы отображений. Существует также нестабильная версия инварианта Хопфа , для которой необходимо следить за векторным пространством .
Ссылки [ править ]
- Адамс, Дж Франк (1960), "О несуществовании элементов инвариантом Хопфа один", Анналы математики , 72 (1): 20-104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , DOI : 10,2307 / 1970147 , JSTOR 1970147 , Руководство по ремонту 0141119 CS1 maint: discouraged parameter (link)
- Адамс, Дж. Франк ; Атия, Майкл Ф. (1966), "К-теория и инвариант Хопфа", Ежеквартальный журнал математика , 17 (1): 31-38, DOI : 10,1093 / qmath / 17.1.31 , МР 0198460
- Крабб, Майкл; Раники, Эндрю (2006). «Геометрический инвариант Хопфа» (PDF) .
- Хопфа, Хайнц (1931), "Убер умереть Abbildungen дер dreidimensionalen Sphäre ауф умереть Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637-665, DOI : 10.1007 / BF01457962 , ISSN 0025-5831
- Шокуров, А.В. (2001) [1994], "Инвариант Хопфа" , Энциклопедия математики , EMS Press