ε -квадратичная форма

В математике , в частности в теории квадратичных форм , ε- квадратичная форма является обобщением квадратичных форм на кососимметричные параметры и на * -кольца ; ε = ± 1 соответственно для симметричной или кососимметричной. Их также называют -квадратичными формами, особенно в контексте теории хирургии .${\ Displaystyle (-) ^ {п}}$

Существует родственное понятие ε -симметричных форм , которое обобщает симметричные формы , кососимметричные формы (= симплектические формы ), эрмитовы формы и косоэрмитовы формы . Короче говоря, можно ссылаться на квадратичные, косо-квадратичные, симметричные и кососимметричные формы, где «перекос» означает (-), а * (инволюция) подразумевается.

Теория 2-местная: от 2 , & epsi -Квадратных форм эквивалентны epsi ; -симметричных формы: половина карты симметрирования (ниже) дает явный изоморфизм.

Определение [ править ]

ε -симметричные формы и ε- квадратичные формы определяются следующим образом. ^[1]

Для модуля M над * -кольцом R пусть B ( M ) - пространство билинейных форм на M , и пусть T  : B ( M ) → B ( M ) - « сопряженная транспонированная » инволюция B ( u , v ) ↦ B ( v , u ) * . Поскольку умножение на −1 также является инволюцией и коммутирует с линейными отображениями, - T также является инволюцией. Таким образом, мы можем написать ε= ± 1 и εT - инволюция, либо T, либо - T (ε может быть более общим, чем ± 1; см. Ниже). Определит е -симметричной форму , что и инварианты из εT , а & epsi ; -Квадратные формы являются коинвариантами .

Как точная последовательность,

${\ Displaystyle 0 \ к Q ^ {\ varepsilon} (M) \ к B (M) {\ stackrel {1- \ varepsilon T} {\ longrightarrow}} B (M) \ to Q _ {\ varepsilon} (M) \ to 0}$

Как ядро и коядро ,

${\ Displaystyle Q ^ {\ varepsilon} (M): = {\ mbox {ker}} \, (1- \ varepsilon T)}$

${\ Displaystyle Q _ {\ varepsilon} (M): = {\ mbox {coker}} \, (1- \ varepsilon T)}$

Обозначения Q ^ε ( M ), Q _ε ( M ) следует стандартным обозначениям M ^G , M _G для инвариантов и коинвариантов для действия группы , здесь группы порядка 2 (инволюция).

Композиция включения и фактор-отображений (но не 1 - εT ) as дает отображение Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ): каждая ε -симметричная форма определяет ε- квадратичную форму.${\ Displaystyle Q ^ {\ varepsilon} (M) \ к B (M) \ to Q _ {\ varepsilon} (M)}$

Симметризация [ править ]

Наоборот, можно определить обратный гомоморфизм «1 + εT »: Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) , называемый отображением симметризации (поскольку он дает симметричную форму), взяв любой подъем квадратичной формы и умножив его на 1 + εT . Это симметричная форма, потому что (1 - εT ) (1 + εT ) = 1 - T ² = 0 , поэтому она находится в ядре. Точнее, . Карта хорошо определяется тем же уравнением: выбор другого подъемника соответствует добавлению кратного (1 - εT )${\ Displaystyle (1+ \ varepsilon T) B (M) <Q ^ {\ varepsilon} (M)}$, но это исчезает после умножения на 1 + εT . Таким образом, каждая ε- квадратичная форма определяет ε -симметричную форму.

Составление этих двух отображений любым способом: Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) или Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) дает умножение на 2, и, следовательно, эти отображения биективны, если 2 обратимо в R , а обратное - умножением на 1/2.

Ε -Квадратные форма г | ∈ Q _{& epsi} ; ( М ) называется невырожденной , если связанный ε -симметрической форме (1 + εT ) ( ф ) является невырожденной.

Обобщение от * [ править ]

Если * тривиально, то ε = ± 1 , а "от 2" означает , что 2 является обратимым: 1/2 ∈ R .

В более общем смысле, в качестве ε ∈ R можно взять любой элемент такой, что ε * ε = 1 . ε = ± 1 всегда удовлетворяет этому условию, но также и любой элемент нормы 1, например комплексные числа единичной нормы.

Аналогично, при наличии нетривиальной *, ε -симметричные формы эквивалентны ε- квадратичным формам, если существует элемент λ ∈ R такой, что λ * + λ = 1 . Если * тривиально, это эквивалентно 2 λ = 1 или λ = 1/2 , а если * нетривиально, может быть несколько возможных λ ; например, для комплексных чисел любое число с действительной частью 1/2 является таким λ .

Так , например, в кольце (интегральную решетка для квадратичной формы 2 х ² - 2 х + 1 ), с комплексным сопряжением, два таких элемента, хотя 1/2 ∉ R .${\ Displaystyle R = \ mathbf {Z} \ left [\ textstyle {\ frac {1 + i} {2}} \ right]}$${\ displaystyle \ lambda = \ textstyle {\ frac {1 \ pm i} {2}}}$

Интуиция [ править ]

В терминах матриц (мы считаем V двумерным), если * тривиально:

• матрицы соответствуют билинейным формам${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$
• подпространству симметричных матриц соответствуют симметричные формы${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$
• подпространству (−1) -симметричных матриц соответствуют симплектические формы${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}}$
• билинейная форма дает квадратичную форму${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,}$,

• отображение 1 + T из квадратичных форм в симметричные формы отображает ${\displaystyle ex^{2}+fxy+gy^{2}}$

в , например, подняв, а затем добавив, чтобы транспонировать. Mapping обратно к квадратным формам урожайности в два раза оригинал: .${\displaystyle {\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}}$${\displaystyle 2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})}$

Если - комплексное сопряжение, то${\displaystyle {\bar {\cdot }}}$

• подпространство симметричных матриц - это эрмитовы матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}}$
• подпространство кососимметричных матриц - это косоэрмитовы матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}}$

Уточнения [ править ]

Интуитивно понятный способ понять ε- квадратичную форму состоит в том, чтобы думать о ней как о квадратичном уточнении связанной с ней ε -симметричной формы.

Например, при определении алгебры Клиффорда над общим полем или кольцом, можно выделить тензорную алгебру соотношениями, вытекающими из симметрической формы и квадратичной формы: vw + wv = 2 B ( v , w ) и . Если 2 обратимо, это второе соотношение следует из первого (поскольку квадратичная форма может быть восстановлена ​​из ассоциированной билинейной формы), но при 2 это дополнительное уточнение необходимо.${\displaystyle v^{2}=Q(v)}$

Примеры [ править ]

Простым примером ε- квадратичной формы является стандартная гиперболическая ε- квадратичная форма . (Здесь R *: = Hom _R ( R , R ) обозначает двойственный к R -модулю R. ) Он задается билинейной формой . Стандартная гиперболическая ε- квадратичная форма необходима для определения L -теории .${\displaystyle H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }(R\oplus R^{*})}$${\displaystyle ((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})}$

Для поля двух элементов R = F ₂ нет разницы между (+1) -квадратичной и (−1) -квадратичной формами, которые просто называются квадратичными формами . Арф инвариант из невырожденной квадратичной формы над F ₂ представляет собой F ₂ значной инвариантно важных приложений как в алгебре и топологии, и играет ту же роль, что играет дискриминанта квадратичной формы в характеристике не равна двум.

Коллекторы [ править ]

Свободная часть средней группы гомологий (с целыми коэффициентами) ориентированного четномерного многообразия имеет ε -симметричную форму через двойственность Пуанкаре , форму пересечения . В случае однократной четной размерности 4 k + 2 это кососимметрично, в то время как для дважды четной размерности 4 k это симметрично. Геометрически это соответствует пересечению, когда два n / 2-мерных подмногообразия в n -мерном многообразии в общем случае пересекаются в 0-мерном подмногообразии (множестве точек) путем добавления коразмерности. Для однократной четной размерности порядок меняет знак, а для двумерной четности порядок не меняет знака, отсюда и ε -симметрия. Простейшие случаи относятся к произведению сфер, где произведение S ^{2 k} × S ^{2 k} и S ^{2 k +1} × S ^{2 k +1} соответственно дает симметричную форму и кососимметричную форму. В размерности два это дает тор , и принимая подключенную сумму из г торов дает поверхность рода г , чей средней гомологии имеют стандартную гиперболическую форму.${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).}$

При дополнительной структуре эта ε -симметричная форма может быть уточнена до ε- квадратичной формы. Для дважды четного измерения это целочисленное значение, в то время как для однозначного измерения это определяется только с точностью до четности и принимает значения в Z / 2. Например, для оснащенного многообразия можно произвести такое уточнение. Для однократной четной размерности инвариант Арфа этой косо-квадратичной формы является инвариантом Кервера .

Для ориентированной поверхности Σ, вложенной в R ³ , средняя группа гомологий H ₁ (Σ) несет не только кососимметрическую форму (через пересечение), но и косо-квадратичную форму, которую можно рассматривать как квадратичное уточнение с помощью самосвязывание. Кососимметрическая форма является инвариантом поверхности Е, в то время как косо-квадратичная форма является инвариантом вложения Е С R ³ , например , для поверхности Зейферты в виде узла . Арфы инвариантные из косой квадратичной формы является обрамлением кобордизма инвариантно генерации первой стабильного гомотопической группы .${\displaystyle \pi _{1}^{s}}$

Для стандартного вложенного тора кососимметрическая форма задается выражением (относительно стандартного симплектического базиса ), а косо-квадратичное уточнение задается выражением xy относительно этого базиса: Q (1, 0) = Q (0 , 1) = 0 : базисные кривые не самосвязываются; и Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) самосвязь, как в расслоении Хопфа . (Эта форма имеет инвариант Arf 0, и, следовательно, этот вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.)${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)}$

Приложения [ править ]

Ключевое приложение в алгебраической теории хирургии , где даже L-группы определяются как Витта группа по й -Квадратным формам, по CTCWall

Ссылки [ править ]