В математике , эрмитова матрица (или самосопряженная матрица ) представляет собой комплекс квадратная матрица , которая равна его собственному сопряженное транспонирование , то есть, элемент в я -й строке и J -го столбца равно комплексно сопряженное из элемент в j -й строке и i -м столбце для всех индексов i и j :
или в матричной форме:
Эрмитовы матрицы можно понимать как комплексное расширение вещественных симметричных матриц .
Если сопряженное транспонирование матрицы обозначается , то эрмитово свойство можно кратко записать как
Эрмитовы матрицы названы в честь Чарльза Эрмита , который продемонстрировал в 1855 году, что матрицы этой формы обладают общим свойством с реальными симметричными матрицами - всегда иметь действительные собственные значения . Другие, обычно используемые эквивалентные обозначения:, Хотя отмечают , что в квантовой механике ,обычно означает только комплексный конъюгат , а не транспонированный конъюгат .
Альтернативные характеристики
Эрмитовы матрицы можно охарактеризовать несколькими эквивалентными способами, некоторые из которых перечислены ниже:
Равенство с сопряженным
Квадратная матрица эрмитово тогда и только тогда, когда оно равно своему сопряженному , то есть удовлетворяет
Таким же образом определяется более общее понятие самосопряженного оператора .
Реальность квадратичных форм
Квадратная матрица эрмитово тогда и только тогда, когда
Спектральные свойства
Квадратная матрица является эрмитовым тогда и только тогда, когда он унитарно диагонализуем с действительными собственными значениями .
Приложения
Эрмитовы матрицы лежат в основе квантовой теории матричной механики, созданной Вернером Гейзенбергом , Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году.
Примеры
В этом разделе сопряженная транспонированная матрица обозначается как , транспонирование матрицы обозначается как и сопряженная матрица обозначается как .
См. Следующий пример:
Диагональные элементы должны быть действительными , поскольку они должны быть комплексно сопряженными.
Хорошо известные семейства эрмитовых матриц включают матрицы Паули , на матрицы Гелл-Манна и их обобщения. В теоретической физике такие эрмитовы матрицы часто умножаются на мнимые коэффициенты [1] [2], что приводит к косоэрмитовым матрицам .
Здесь мы предлагаем еще одну полезную эрмитову матрицу на абстрактном примере. Если квадратная матрицаравно умножению матрицы и сопряженного транспонирования, т. е., тогда является эрмитовой положительно полуопределенной матрицей . Кроме того, если полноранговая строка, то положительно определен.
Характеристики
- Элементы на главной диагонали (сверху слева направо снизу) любой эрмитовой матрицы действительны .
- Доказательство: по определению эрмитовой матрицы
- поэтому для i = j следует следующее.
- Только записи по главной диагонали обязательно являются настоящими; Эрмитовы матрицы могут иметь произвольные комплексные элементы в их недиагональных элементах , если диагонально противоположные элементы являются комплексно сопряженными.
- Матрица, которая имеет только действительные элементы, является симметричной тогда и только тогда, когда она является эрмитовой матрицей. Действительная и симметричная матрица - это просто частный случай эрмитовой матрицы.
- Доказательство:по определению. Таким образом (матричная симметрия) тогда и только тогда, когда ( это реально).
- Итак, если реальная антисимметричная матрица умножается на мнимую единицу , тогда он становится эрмитовым.
- Каждая эрмитова матрица является нормальной матрицей . То есть,.
- Доказательство:, так .
- Конечномерная спектральная теорема гласит, что любую эрмитову матрицу можно диагонализовать с помощью унитарной матрицы , и что полученная диагональная матрица имеет только действительные элементы. Это означает, что все собственные значения эрмитовой матрицы A размерности n действительны и что A имеет n линейно независимых собственных векторов . Более того, эрмитова матрица имеет ортогональные собственные векторы для различных собственных значений. Даже если есть вырожденные собственные значения, то всегда можно найти ортогональный базис из ℂ п , состоящий из п собственных векторов A .
- Сумма любых двух эрмитовых матриц эрмитова.
- Доказательство: как заявлено.
- Обратное обратимой эрмитовой матрица эрмиты , а также.
- Доказательство: если , тогда , так как заявлено.
- Продукт из двух эрмитовых матриц A и B эрмитов тогда и только тогда , когда АВ = ВА .
- Доказательство: обратите внимание, что Таким образом если и только если.
- Таким образом, A n эрмитово, если A эрмитово, а n - целое число.
- Если A и B эрмитовы, то ABA также эрмитовы.
- Для произвольного комплекснозначного вектора v произведение реально из-за . Это особенно важно в квантовой физике, где эрмитовы матрицы - это операторы, которые измеряют свойства системы, например полный спин, который должен быть действительным.
- Эрмитова комплекса N матрицу с размерностью п матрицы не образуют векторное пространство над комплексными числами , ℂ , так как единичной матрицы I п эрмитов, но я я п нет. Однако сложные эрмитовых матрицы делают образуют векторное пространство над вещественными числами ℝ . В 2 л 2 - мерное векторного пространства комплексного п х п матриц над ℝ , комплексные эрмитовы матрицы образуют подпространство размерности п 2 . Если Е JK обозначает в н матрице с размерностью п матрицы с 1 в J , K позиции и нули в других местах, базис (ортонормированный относительно фробениусовый внутренний продукт) может быть описана следующим образом :
- вместе с набором матриц вида
- и матрицы
- где обозначает комплексное число , называемая мнимой единицей .
- Если n ортонормированных собственных векторовэрмитовой матрицы выбираются и записываются в качестве столбцов матрицы U , то один eigendecomposition из А является где и поэтому
- где - собственные значения на диагонали диагональной матрицы .
- Определитель эрмитовой матрицы действительный:
- Доказательство:
- Следовательно, если .
- (В качестве альтернативы определитель является произведением собственных значений матрицы, и, как упоминалось ранее, собственные значения эрмитовой матрицы действительны.)
Разложение на эрмитово и косоэрмитово
Дополнительные факты, относящиеся к эрмитовым матрицам, включают:
- Сумма квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной эрмитово.
- Разница квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной является косоэрмитовым (также называемым антиэрмитовым). Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитов.
- Произвольная квадратная матрица С может быть записана в виде суммы эрмитовой матрицы А и косоэрмитов матрицы B . Это известно как разложение Теплицы из C . [3] : с. 7
Фактор Рэлея
В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы M и ненулевого вектора x фактор Рэлея [4] , определяется как: [3] : p. 234 [5]
Для вещественных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к тому, чтобы быть симметричным, и сопряженные транспонированные к обычному транспонированию . Обратите внимание, что для любого ненулевого действительного скаляра . Также напомним, что эрмитова (или вещественная симметричная) матрица имеет действительные собственные значения.
Можно показать [ необходима цитата ], что для данной матрицы коэффициент Рэлея достигает минимального значения (наименьшее собственное значение M), когда является (соответствующий собственный вектор). По аналогии, а также .
Фактор Рэлея используется в теореме min-max для получения точных значений всех собственных значений. Он также используется в алгоритмах собственных значений для получения приближения собственного значения из приближения собственного вектора. В частности, это основа для итерации фактора Рэлея.
Диапазон отношения Рэлея (для матрицы, которая не обязательно является эрмитовой) называется числовым диапазоном (или спектром в функциональном анализе). Когда матрица эрмитова, числовой диапазон равен спектральной норме. Еще в функциональном анализе,известен как спектральный радиус. В контексте C * -алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая связывает с M фактор Рэлея R ( M , x ) для фиксированного x и M, изменяющегося через алгебру, будет называться «векторным состоянием» алгебры .
Смотрите также
- Векторное пространство
- Косоэрмитова матрица (антиэрмитова матрица)
- Формула аддитивности инерции Хейнсворта
- Эрмитова форма
- Самосопряженный оператор
- Унитарная матрица
- Нормальная матрица
Рекомендации
- ^ Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение . Издательство Кембриджского университета . п. 652. ISBN. 0-521-53927-7.
- ^ Физика 125 Курсовые заметки в Калифорнийском технологическом институте
- ^ а б Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ, второе издание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
- ^ Также известное как отношение Рэлея – Ритца ; назван в честь Вальтера Ритца и лорда Рэлея .
- ^ Парле Б.Н. Симметричная проблема собственных значений , SIAM, Classics in Applied Mathematics, 1998
Внешние ссылки
- "Эрмитова матрица" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- «Визуализация эрмитовой матрицы в виде эллипса с доктором Гео» , написанная Чао-Гуй Хунгом из Университета Чаоян, дает более геометрическое объяснение.
- «Эрмитовы матрицы» . MathPages.com .