Матрицы Гелл-Манна

В матрицы Гелл-Манна , разработанные Мюррей Гелл-Манн , представляют собой набор из восьми линейно независимых 3 × 3 бесследовых эрмитовых матриц , используемых в исследовании сильного взаимодействия в физике элементарных частиц . Они покрывают алгебру Ли группы SU (3) в определяющем представлении.

Матрицы [ править ]

${\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle \ lambda _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$
${\ displaystyle \ lambda _ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Свойства [ править ]

Эти матрицы бесследовы , эрмитовы (поэтому они могут генерировать элементы унитарной группы матриц посредством возведения в степень) и подчиняются соотношению ортонормированности дополнительного следа. Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, потому что они затем естественным образом обобщают матрицы Паули для SU (2) на SU (3) , которые легли в основу кварковой модели Гелл-Манна . Обобщение Гелл-Манна распространяется и на общий SU ( n ) . Их связь со стандартным базисом алгебр Ли см. В базисе Вейля – Картана .

Следить за ортонормальностью [ править ]

В математике ортонормированность обычно подразумевает норму, которая имеет значение единицы (1). Однако матрицы Гелл-Манна нормализованы до значения 2. Таким образом, след попарного произведения приводит к условию ортонормировки.

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},}$

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{ij}}$

Таким образом, вложенные матрицы Паули, соответствующие трем вложенным подалгебрам в SU (2), обычно нормируются. В этом трехмерном матричном представлении подалгебра Картана представляет собой набор линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) двух матриц и , которые коммутируют друг с другом.${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{8}}$

Есть три независимых SU (2) подалгебры:

• ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}}$
• ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},}$ и
• ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},}$

где x и y являются линейными комбинациями и . SU (2) Казимиры этих подалгебр взаимно коммутируют.${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{8}}$

Однако любое унитарное преобразование подобия этих подалгебр приведет к подалгебрам SU (2). Таких преобразований бесчисленное множество.

Коммутационные отношения [ править ]

8 генераторов SU (3) удовлетворяют коммутационным и антикоммутационным соотношениям ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}}$

со структурными константами

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}}$

В структурные константы полностью антисимметричным в трех индексов, обобщающее антисимметрию символа Леви-Чивита из SU (2) . Для текущего порядка матриц Гелл-Манна они принимают значения${\displaystyle f^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

В общем, они оцениваются в ноль, если только они не содержат нечетное количество индексов из набора {2,5,7}, соответствующих антисимметричным (мнимым) λ s.

Используя эти коммутационные соотношения, произведение матриц Гелл-Манна можно записать как

${\displaystyle \lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},}$

где I - единичная матрица.

Отношения полноты Фирца [ править ]

Поскольку восемь матриц и единица представляют собой полный набор ортогональных следов, охватывающий все матрицы 3 × 3, несложно найти два отношения полноты Фирца (Li & Cheng, 4.134), аналогичные тем, которым удовлетворяют матрицы Паули . А именно, используя точку для суммирования по восьми матрицам и используя греческие индексы для их индексов строки / столбца, выполняются следующие тождества:

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }}$

и

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.}$

Можно предпочесть переработанную версию, полученную в результате линейной комбинации вышеперечисленного,

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.}$

Теория представлений [ править ]

Конкретный выбор матриц называется представлением группы , потому что любой элемент SU (3) может быть записан в форме , где восемь - действительные числа и подразумевается сумма по индексу j . Для одного представления эквивалентное может быть получено произвольным унитарным преобразованием подобия, поскольку при этом коммутатор остается неизменным.${\displaystyle \mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})}$${\displaystyle \theta ^{j}}$

Матрицы могут быть реализованы в виде представления бесконечно малых генераторов в специальных унитарных группы под названием SU (3) . Алгебра Ли этой группы (вещественная алгебра Ли на самом деле) имеет размерность восемь , и поэтому он имеет некоторый набор с восемью линейно независимых генераторов, которые могут быть записаны в виде , с я принимать значения от 1 до 8.${\displaystyle g_{i}}$

Операторы и инварианты Казимира [ править ]

Квадрат суммы матриц Гелл-Манна дает квадратичный оператор Казимира , групповой инвариант,

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I}$

где - единичная матрица 3 × 3. Есть и другой независимый кубический оператор Казимира .${\displaystyle I\,}$

Приложение к квантовой хромодинамике [ править ]

Эти матрицы служат для изучения внутренних (цветных) вращений глюонных полей, связанных с цветными кварками квантовой хромодинамики (ср. Цвета глюона ). Калибровочное изменение цвета - это элемент группы SU (3), зависящий от пространства-времени , где подразумевается суммирование по восьми индексам k .${\displaystyle U=\exp(i\theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\lambda _{k}/2)}$

См. Также [ править ]

• Специальная унитарная группа # Группа SU (3)
• Представительства группы
• Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)
• Форма убийства
• Элемент Казимира
• Матрицы Паули

Ссылки [ править ]

• Гелл-Манн, Мюррей (1962-02-01). «Симметрии барионов и мезонов» . Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 125 (3): 1067–1084. DOI : 10.1103 / Physrev.125.1067 . ISSN  0031-899X .
• Cheng, T.-P .; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851961-3.
• Георгий, Х. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press . ISBN 978-0-7382-0233-4.
• Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ; Харрис, ИП (2000). Математические методы для физиков (7-е изд.). Академическая пресса . ISBN 978-0-12-384654-9.
• Kokkedee, JJJ (1969). Модель кварка . WA Бенджамин . LCCN  69014391 .