Обобщения матриц Паули

В математике и физике , в частности в квантовой информации , термин обобщенные матрицы Паули относится к семействам матриц, которые обобщают (линейные алгебраические) свойства матриц Паули . Здесь кратко описаны несколько классов таких матриц.

Обобщенные матрицы Гелл-Манна (эрмитовы) [ править ]

Строительство [ править ]

Пусть E _jk - матрица с 1 в jk -м элементе и 0 в другом месте. Рассмотрим пространство д × д комплексных матриц, ℂ ^{д × d} , для фиксированного д .

Определите следующие матрицы,

f _{k, j} ^d =

E _kj  +  E _jk для k < j .

- i ( E _jk - E _kj ) при k > j .

h _k ^d =

I _d , единичная матрица, для k = 1 ,.

h _k ^{d −1} ⊕ 0 , если 1 < k < d .

${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {2} {d (d-1)}}} \ left (h_ {1} ^ {d-1} \ oplus (1-d) \ right) = {\ sqrt { \ tfrac {2} {d (d-1)}}} \ left (I_ {d-1} \ oplus (1-d) \ right),}$для k = d .

Набор матриц, определенных выше без единичной матрицы, называется обобщенными матрицами Гелл-Манна в размерности d . ^[1] Символ ⊕ (использованный в подалгебре Картана выше) означает матричную прямую сумму .

Обобщенные матрицы Гелл-Манна эрмитовы и бесследовы по построению, как и матрицы Паули. Можно также проверить, что они ортогональны в скалярном произведении Гильберта – Шмидта на ℂ ^{d × d} . По размерности видно, что они охватывают векторное пространство d × d комплексных матриц, ( d , ℂ). Затем они обеспечивают базис генератора алгебры Ли, действующий на фундаментальном представлении ( d ).${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}}}$

В размерностях d = 2 и 3 вышеуказанная конструкция восстанавливает матрицы Паули и Гелл-Манна соответственно.

Неэрмитово обобщение матриц Паули [ править ]

Матрицы Паули и удовлетворяют следующему:${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ sigma _ {3}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = I, \ quad \ sigma _ {1} \ sigma _ {3} = - \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = e ^ {\ pi i} \ sigma _ {3} \ sigma _ {1}.}$

Так называемая матрица сопряжения Уолша – Адамара имеет вид

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Как и матрицы Паули, W одновременно эрмитова и унитарна . и W удовлетворяют соотношению${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{3}}$

${\displaystyle \;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.}$

Теперь цель состоит в том, чтобы распространить вышеупомянутое на более высокие измерения, d , проблему, решенную Дж. Дж. Сильвестром (1882).

Конструкция: матрицы часов и сдвига [ править ]

Зафиксируем размер d, как и раньше. Пусть ω = exp (2 πi / d ) , корень из единицы. Поскольку ω ^d = 1 и ω ≠ 1 , сумма всех корней аннулируется:

${\displaystyle 1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.}$

Тогда целочисленные индексы могут быть циклически идентифицированы по модулю d .

Теперь определите с Сильвестром матрицу сдвига ^[2]

${\displaystyle \Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}}$

и тактовая матрица ,

${\displaystyle \Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Эти матрицы обобщают σ ₁ и σ ₃ соответственно.

Обратите внимание, что унитарность и бесследовательность двух матриц Паули сохраняется, но не эрмитичность в размерностях больше двух. Поскольку матрицы Паули описывают кватернионы , Сильвестр назвал многомерные аналоги «нонионами», «седенионами» и т. Д.

Эти две матрицы также являются краеугольным камнем квантовой динамики в конечномерных векторных пространствах ^{[3] [4] [5],} сформулированных Германом Вейлем , и находят рутинные приложения во многих областях математической физики. ^[6] Матрица часов представляет собой экспоненту положения в «часах», равную d часам, а матрица сдвига - это просто оператор сдвига в этом циклическом векторном пространстве, то есть экспонента импульса. Они являются (конечномерными) представлениями соответствующих элементов Вейля-Гейзенберга в d -мерном гильбертовом пространстве.

Следующие соотношения повторяют и обобщают соотношения матриц Паули:

${\displaystyle \Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I}$

и отношение плетения,

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},}$

препарат Вейля CCR , и может быть переписано в виде

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.}$

С другой стороны, чтобы обобщить матрицу Уолша – Адамара W , отметим

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Определите, снова с Сильвестром, следующую аналоговую матрицу ^[7], все еще обозначаемую W с небольшим злоупотреблением обозначениями,

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.}$

Очевидно, что W больше не эрмитово, но по-прежнему унитарно. Прямой расчет доходности

${\displaystyle \Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,}$

что является желаемым аналоговым результатом. Таким образом, W , матрица Вандермонда , упорядочивает собственные векторы матрицы Σ ₁ , которая имеет те же собственные значения, что и Σ ₃ .

Когда d = 2 ^k , W * является в точности матрицей дискретного преобразования Фурье , преобразующего координаты положения в координаты импульса и наоборот.

Полный набор d ² унитарных (но неэрмитовых) независимых матриц

предоставляет известный ортогональный базис Сильвестра для ( d , ℂ), известный как «неионы» (3, ℂ), «седенионы» (4,) и т. д. ^{[8] [9]}${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$

Этот базис можно систематически связать с указанным выше эрмитовым базисом. ^[10] (Например, степени Σ ₃ , подалгебры Картана , отображаются в линейные комбинации h _k ^d s.) Его можно дополнительно использовать для отождествления ( d , ℂ) при d → ∞ с алгеброй из скобок Пуассона .${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$

См. Также [ править ]

• Группа Гейзенберга # Группа Гейзенберга по нечетному простому модулю p
• Эрмитова матрица
• Сфера Блоха
• Дискретное преобразование Фурье
• Обобщенная алгебра Клиффорда
• Матрицы Вейля – Брауэра
• Циркулянтная матрица
• Оператор сдвига
• Квантовое преобразование Фурье

Заметки [ править ]