В математике , матрица дополнением является операция сложения двух матриц , добавив соответствующие записи вместе. Однако есть и другие операции, которые также можно рассматривать как сложение для матриц, такие как прямая сумма и сумма Кронекера .
Две матрицы должны иметь равное количество строк и столбцов для добавления. [1] В этом случае, сумма двух матриц A и B будет матрица , которая имеет такое же число строк и столбцов , как A и B . Сумма A и B , обозначенная A + B , [2] вычисляется путем сложения соответствующих элементов A и B : [4]
Или более кратко (при условии, что A + B = C ): [5] [6]
Например:
Точно так же можно вычесть одну матрицу из другой, если они имеют одинаковые размеры. Разность A и B , обозначаемое A - B , [2] вычисляется путем вычитания элементов B из соответствующих элементов А , и имеет те же размеры, что A и B . Например:
Другая операция, которая используется реже, - это прямая сумма (обозначается). Обратите внимание, что сумма Кронекера также обозначается ⊕; контекст должен прояснять использование. Прямая сумма любой пары матриц A размера m × n и B размера p × q представляет собой матрицу размера ( m + p ) × ( n + q ), определяемую как: [7]
Например,
Прямая сумма матриц - это особый тип блочной матрицы . В частности, прямая сумма квадратных матриц представляет собой блочно-диагональную матрицу .
Матрица смежности объединения непересекающихся графов (или мультиграфов ) есть прямая сумма их матрицы смежности. Любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.
В общем, прямая сумма n матриц равна:
где нули на самом деле являются блоками нулей (т. е. нулевыми матрицами).
Сумма Кронекера отличается от прямой суммы, но также обозначается ⊕. Он определяется с помощью произведения Кронекера ⊗ и нормального матричного сложения. Если является п матрицы с размерностью п , В представляют м матрица с размерность м иобозначает K матрица с размерностью K единичной матрицы , то сумма Кронекера определяются по формуле: