В математике , особенно в линейной алгебре , ортогональный базис для внутреннего пространства продукта V является базисом для V , векторы которого взаимно ортогональны . Если векторы ортогонального базиса нормализованы , результирующий базис является ортонормированным базисом .
Как координаты [ править ]
Любой ортогональный базис может быть использован для определения системы ортогональных координат V . Ортогональные (не обязательно ортонормированные) базисы важны из-за их появления из криволинейных ортогональных координат в евклидовых пространствах , а также в римановых и псевдоримановых многообразиях.
В функциональном анализе [ править ]
В функциональном анализе ортогональный базис - это любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с использованием умножения на ненулевые скаляры .
Расширения [ править ]
Понятие ортогонального (но не ортонормированный) базис применит к векторному пространству V (над любым полем ) , снабженным симметричной билинейной формой ⟨·, ·⟩ , где ортогональность двух векторов v и ш означает ⟨ V , ш ⟩ = 0 . Для ортогонального базиса { e k } :
где Q является квадратичной формой , связанной с ⟨·, ·⟩ : д ( v ) = ⟨ v , v ⟩ (во внутреннем пространстве продукта д ( v ) = | v | 2 ).
Следовательно, для ортогонального базиса { e k } ,
где v k и w k - компоненты v и w в базисе.
Ссылки [ править ]
- Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
- Милнор, Дж ; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . п. 6. ISBN 3-540-06009-Х. Zbl 0292.10016 .
Внешние ссылки [ править ]
