В математике , и более конкретно в абстрактной алгебре , А * -алгебра (или инволютивно алгебра ) представляет собой математическую структуру , состоящую из двух инволютивными колец R и , где R коммутативности и имеет структуру ассоциативной алгебры над R . Инволютивные алгебры обобщают идею системы счисления, снабженной сопряжением, например комплексными числами и комплексным сопряжением , матрицами над комплексными числами и сопряженным транспонированием , илинейные операторы над гильбертовым пространством и эрмитовы сопряженные . Однако может случиться так, что алгебра вообще не допускает инволюции .
Определения
*-звенеть
В математике , A * -кольцо является кольцом с картой *: A → A , который представляет собой антиавтоморфизм и инволюции .
Точнее, * требуется для выполнения следующих свойств: [1]
- ( х + у ) * = х * + у *
- ( х у ) * = у * х *
- 1 * = 1
- ( х *) * = х
для всех х , у в А .
Это также называется инволютивным кольцом , инволютивным кольцом и кольцом с инволюцией . Обратите внимание, что третья аксиома на самом деле избыточна, потому что вторая и четвертая аксиомы подразумевают, что 1 * также является мультипликативным тождеством, и тождества уникальны.
Такие элементы, что x * = x , называются самосопряженными . [2]
Типичными примерами * -кольца являются поля комплексных чисел и алгебраических чисел с комплексным сопряжением в качестве инволюции. Можно определить полуторалинейную форму над любым * -кольцом.
Также можно определить * -версии алгебраических объектов, таких как идеал и подкольцо , с требованием быть * -инвариантным : x ∈ I ⇒ x * ∈ I и так далее.
*-алгебра
* -Алгебра является * -кольцо, [а] с инволюцией * , который является ассоциативной алгеброй над коммутативным * -кольцом R с инволюцией ' , такие , что ( г х ) * = г' х * ∀ г ∈ R , х ∈ . [3]
Основное * -кольцо R часто представляет собой комплексные числа (при этом * действует как комплексное сопряжение).
Это следует из аксиом , что * на А является сопряженно-линейным в R , смысл
- ( λ x + μ y ) * = λ ′ x * + μ ′ y *
для Х , ц ∈ R , х , у ∈ .
A * -гомоморфизм f : A → B - это гомоморфизм алгебр , согласованный с инволюциями A и B , т. Е.
- е ( *) = е ( ) * для всех а в А . [2]
Философия * -операции
* -Операция с * -кольцом аналогична комплексному сопряжению с комплексными числами. * -Операция над * -алгеброй аналогична взятию сопряжений в комплексных матричных алгебрах .
Обозначение
Инволюция * - это унарная операция, записанная с помеченным звездочкой глифом в центре над средней линией или рядом с ней :
- x ↦ x * или
- х ↦ х * ( TeX :
x^*
),
но не как « x ∗ »; подробности см. в статье о звездочке .
Примеры
- Любое коммутативное кольцо становится * -кольцом с тривиальной ( тождественной ) инволюцией.
- Самый известный пример * -кольца и * -алгебры над вещественными числами - это поле комплексных чисел C, где * - это просто комплексное сопряжение .
- В более общем смысле, расширение поля, сделанное добавлением квадратного корня (такого как мнимая единица √ −1 ), является * -алгеброй над исходным полем, рассматриваемой как тривиально - * - кольцо. Знак * меняет знак этого квадратного корня.
- Квадратичное целое кольцо (для некоторого D ) является коммутативным * -кольцом с * , определенными в аналогичном образе; квадратичные поля - это * -алгебры над соответствующими квадратичными целочисленными кольцами.
- Кватернионы , расщепленные комплексные числа , двойственные числа и, возможно, другие гиперкомплексные системы счисления образуют * -кольца (с их встроенной операцией сопряжения) и * -алгебры над вещественными числами (где * тривиально). Обратите внимание, что ни одна из трех не является сложной алгеброй.
- Кватернионы Гурвица образуют некоммутативное * -кольцо с кватернионным сопряжением.
- Матричная алгебра из п х п матриц над R с * задается транспозиции .
- Матричная алгебра n × n матриц над C с *, заданным сопряженным транспонированием .
- Его обобщение, эрмитово сопряженное соединение в алгебре ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, также определяет * -алгебру.
- Кольцо многочленов Р [ х ] над коммутативным тривиально - * - кольцо R является * -алгебра над Р с Р * ( х ) = Р (- х ) .
- Если ( A , +, ×, *) одновременно является * -кольцом, алгеброй над кольцом R (коммутативным) и ( r x ) * = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , то A является * -алгебра над R (где * тривиально).
- Как частный случай, любое * -кольцо является * -алгеброй над целыми числами .
- Любое коммутативное * -кольцо является * -алгеброй над собой и, в более общем смысле, над любым его * -подкольцом .
- Для коммутативного * -кольца R , его фактор любого его * -идеал является * -алгебра над R .
- Например, любое коммутативное тривиально - * - кольцо является * -алгеброй над своим двойственным кольцом чисел , * -кольцом с нетривиальным *, потому что фактор по ε = 0 образует исходное кольцо.
- То же самое о коммутативном кольце K и его кольце многочленов К [ х ] : фактор по й = 0 восстанавливает K .
- В алгебре Гекке инволюция важна для полинома Каждана – Люстига .
- Кольцо эндоморфизмов из эллиптических кривых становится * -алгеброй над целыми числами, где инволюция даются, беря двойную изогению . Аналогичная конструкция работает для абелевых многообразий с поляризацией , и в этом случае она называется инволюцией Розати (см. Примечания к лекции Милна об абелевых многообразиях).
Инволютивные алгебры Хопфа являются важными примерами * -алгебр (с дополнительной структурой совместимого коумножения ); наиболее знакомый пример:
- Группа алгебра Хопфа : а групповое кольцо с инволюцией дается г ↦ г -1 .
Не пример
Не всякая алгебра допускает инволюцию:
Рассмотрим матрицы 2x2 над комплексными числами.
Рассмотрим следующую подалгебру:
Любой нетривиальный антиавтоморфизм обязательно имеет вид:
для любого комплексного числа .
Отсюда следует, что любой нетривиальный антиавтоморфизм не может быть идемпотентным:
Таким образом, подалгебра не допускает инволюции.
Дополнительные конструкции
Многие свойства транспонирования сохраняются для общих * -алгебр:
- В Эрмитовы элементы образуют алгебру Иорданскую ;
- Косые эрмитовы элементы образуют алгебру Ли ;
- Если 2 обратима в * -кольце, то операторы 1/2(1 + *) и 1/2(1 - *) являются ортогональными идемпотентами , [2] называется симметрирования и анти-симметрирования , поэтому алгебра разлагается в прямую сумму модулей ( векторных пространств , если * -кольцо является полем) симметричных и анти-симметричных (эрмитова и косые эрмитовы) элементы. Эти пространства, как правило, не образуют ассоциативных алгебр, потому что идемпотенты являются операторами , а не элементами алгебры.
Наклонные конструкции
Для * -кольца существует также отображение - *: x ↦ - x * . Он не определяет структуру * -кольца (если характеристика не равна 2, и в этом случае - * идентично исходному *), так как 1 ↦ −1 , и не является антимультипликативным, но удовлетворяет другим аксиомам (линейная, инволюция ) и, следовательно, очень похожа на * -алгебру, где x ↦ x * .
Элементы, фиксируемые этим отображением (т. Е. Такие, что a = - a * ), называются косоэрмитовыми .
Для комплексных чисел с комплексным сопряжением действительные числа - это эрмитовы элементы, а мнимые числа - косые эрмитовы.
Смотрите также
- Полугруппа с инволюцией
- B * -алгебра
- C * -алгебра
- Категория кинжала
- алгебра фон Неймана
- Кольцо Baer
- Операторная алгебра
- Сопряжение (алгебра)
- Конструкция Кэли-Диксона
- Составная алгебра
Заметки
- ^ Большинство определений не требует, чтобы * -алгебра имела единицу , то есть * -алгебра может быть только * -алгеброй .
Рекомендации
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (2015). "C-Star Algebra" . Wolfram MathWorld .
- ^ а б в Баэз, Джон (2015). «Октонионы» . Кафедра математики . Калифорнийский университет, Риверсайд. Архивировано 25 марта 2015 года . Проверено 27 января 2015 года .
- ^ звездная алгебра в nLab