Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , антигомоморфизм представляет собой тип функции , определенный на множествах с умножением, реверсирует порядок умножения . Антиавтоморфизм является биективен антигомоморфизмом, т.е. антиизоморфизм , из набора к себе. Из биективности следует, что у антиавтоморфизмов есть обратные, и что обратное к антиавтоморфизму также является антиавтоморфизмом.
Определение [ править ]
Неформально антигомоморфизм - это карта, меняющая порядок умножения. Формально, антигомоморфизм между структурами и является гомоморфизмом , где равно как множество, но имеет его умножение, обратное тому, что определено на . Обозначив ( как правило , не- коммутативное ) умножение на с , умножение на , обозначаемой , определяется . Объект называется противоположный объект к (соответственно, противоположной группе , противоположной алгебра , противоположная категории и т.д.).
Это определение эквивалентно определению гомоморфизма (обращение операции до или после применения карты эквивалентно). Формально, посылая к и действует тождественно на картах является функтор (действительно, инволюция ).
Примеры [ править ]
В теории групп антигомоморфизм - это отображение между двумя группами, которое меняет порядок умножения на противоположный. Итак, если φ : X → Y - групповой антигомоморфизм,
- ф ( ху ) = ф ( у ) ф ( х )
для всех х , у в X .
Отображение, которое переводит x в x −1, является примером группового антиавтоморфизма. Другой важный примером является транспонированной операцией в линейной алгебре , которая принимает векторы - строки для векторов - столбцов . Любое векторно-матричное уравнение может быть преобразовано в эквивалентное уравнение, в котором порядок факторов обратный.
В случае матриц примером антиавтоморфизма является транспонированная карта. Поскольку инверсия и транспонирование дают антиавтоморфизмы, их композиция является автоморфизмом. Эту инволюцию часто называют контрагредиентным отображением, и она дает пример внешнего автоморфизма общей линейной группы GL ( n , F ) , где F - поле, за исключением случаев, когда | F | = 2 и n = 1 или 2 , или | F | = 3 и n = 1 (т. Е. Для групп GL (1, 2) , GL (2, 2) и GL (1, 3) ).
В теории колец антигомоморфизм - это отображение между двумя кольцами, которое сохраняет сложение, но меняет порядок умножения на противоположный. Итак, φ : X → Y - кольцевой антигомоморфизм тогда и только тогда, когда:
- φ (1) = 1
- ф ( х + у ) = ф ( х ) + ф ( у )
- ф ( ху ) = ф ( у ) ф ( х )
для всех х , у в X . [1]
Для алгебр над полем K , φ должен быть К - линейное отображение базового векторного пространства . Если основное поле имеет инволюцию, можно вместо этого попросить φ быть сопряженно-линейным , как в сопряженном транспонировании, как показано ниже.
Инволюции [ править ]
Часто антиавтоморфизмы являются инволюциями , т. Е. Квадрат антиавтоморфизма является тождественным отображением ; они также называются инволютивно антиавтоморфизм s . Например, в любой группе отображение, которое отправляет x своему обратному x − 1, является инволютивным антиавтоморфизмом.
Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется * -кольцом , и они составляют важный класс примеров .
Свойства [ править ]
Если цель Y коммутативна, то антигомоморфизм - это то же самое, что гомоморфизм, а антиавтоморфизм - то же самое, что автоморфизм .
Состав двух antihomomorphisms всегда есть гомоморфизм, так как изменить порядок заказа дважды пресервы. Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом дает другой антигомоморфизм.
См. Также [ править ]
- Полугруппа с инволюцией
Ссылки [ править ]
- ^ Джейкобсон, Натан (1943). Теория колец . Математические обзоры и монографии. 2 . Американское математическое общество . п. 16 . ISBN 0821815024. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Вайсштейн, Эрик В. «Антигомоморфизм» . MathWorld .