В математике , в частности , абстрактная алгебре , то противоположное из кольца является еще одним кольцом с одними и теми же элементами и операциями сложения, но с умножением выполняется в обратном порядке. Более точно, в противоположность кольца ( R , +, ⋅ ) является кольцом ( R +, *) , умножение которой * определяется в * Ь = Ь ⋅ с для всех а , б в R . [1] [2] Противоположное кольцо можно использовать для определениямультимодули , обобщение бимодулей . Они также помогают прояснить отношения между левым и правым модулями (см. § Свойства ).
Моноиды , группы , кольца и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом . Конструкция противоположной категории обобщает противоположную группу , противоположное кольцо и т. Д.
Примеры [ править ]
Свободная алгебра с двумя образующими [ править ]
В свободной алгебре над полем с образующими есть умножение из умножения слов. Например,
Тогда в противоположной алгебре умножение задается формулой
которые не являются равными элементами.
Кватернионная алгебра [ править ]
Алгебра кватернионов [3] над полем - это алгебра с делением, определяемая тремя образующими с соотношениями
- , И
Все элементы имеют форму
Если умножение обозначаются , то есть таблица умножения
Тогда противоположная алгебра с обозначенным умножением имеет таблицу
Коммутативная алгебра [ править ]
Коммутативная алгебра является изоморфной к противоположной алгебре , так как для всех и в .
Свойства [ править ]
- Два кольца R 1 и R 2 являются изоморфны тогда и только тогда , когда их соответствующие противоположные кольца изоморфны
- Противоположно противоположной части кольца R изоморфна R .
- Кольцо и противоположное ему кольцо антиизоморфны .
- Кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда его действие совпадает с его противоположной операцией. [2]
- Левые идеалы кольца - правые идеалы его противоположности. [4]
- Противоположное кольцо уплотнительного кольца - это уплотнительное кольцо. [5]
- Левый модуль над кольцом - это правый модуль над своей противоположностью, и наоборот. [6]
Цитаты [ править ]
- ^ Беррик и Китинг (2000), стр. 19
- ^ a b Бурбаки 1989 , стр. 101.
- ^ Милн. Теория поля классов . п. 120.
- Перейти ↑ Bourbaki 1989 , p. 103.
- Перейти ↑ Bourbaki 1989 , p. 114.
- Перейти ↑ Bourbaki 1989 , p. 192.
Ссылки [ править ]
- Беррик, AJ; Китинг, ME (2000). Введение в кольца и модули с учетом K-теории . Кембриджские исследования в области высшей математики. 65 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63274-4.
- Николя, Бурбаки (1989). Алгебра я . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .
См. Также [ править ]
- Противоположная группа
- Противоположная категория