В области топологии , то подпись представляет собой целое число инвариантна , который определяется для ориентированного многообразия М размерности делится на четыре .
Этот инвариант многообразия подробно изучен, начиная с теоремы Рохлина для 4-многообразий и теоремы Хирцебруха о сигнатуре .
Определение
Учитывая соединено и ориентированное многообразие М размерности 4 к , то продукт чашки приводит к квадратичной форме Q на «средней» реальную группу когомологий
- .
Основная идентичность чашечного продукта
показывает, что при p = q = 2 k произведение симметрично . Он принимает значения в
- .
Если мы предположим также , что M является компактным , двойственность Пуанкаре идентифицирует это с
который можно отождествить с . Следовательно, чашечное произведение при этих гипотезах порождает симметричную билинейную форму на H 2 k ( M , R ); и , следовательно , к квадратичной форме Q . Форма Q является невырожденной из - за двойственности Пуанкаре, так как она пар , не дегенеративно с самим собой. [1] [2] В более общем плане сигнатура может быть определена таким образом для любого общего компактного многогранника с 4n -мерной двойственностью Пуанкаре.
Подпись из М есть по определению подпись из Q , упорядоченная тройка в соответствии с ее определением. Если M не связан, его сигнатура определяется как сумма сигнатур его связных компонентов.
Другие размеры
Если размерность M не делится на 4, ее сигнатура обычно определяется как 0. В L-теории есть альтернативные обобщения : сигнатуру можно интерпретировать как 4 k -мерную (односвязную) симметрическую L-группу.или как 4 k -мерную квадратичную L-группуи эти инварианты не всегда исчезают для других измерений. Инвариант Кервера это моды 2 (то есть, элемент) для оснащенных многообразий размерности 4 k +2 (квадратичная L-группа), а инвариант де Рама является инвариантом по модулю 2 многообразий размерности 4 k +1 (симметрическая L-группа); остальные размерные L-группы обращаются в нуль.
Инвариант Кервера
Когда является дважды нечетным целым ( однократно четным ), та же конструкция приводит к антисимметричной билинейной форме . Такие формы не имеют инварианта подписи; если они невырождены, любые две такие формы эквивалентны. Однако, если взять квадратичное измельчение формы, которое имеет место, если имеется оснащенное многообразие , то результирующие ε-квадратичные формы могут не быть эквивалентными, так как они различаются инвариантом Арфа . Полученный инвариант многообразия называется инвариантом Кервера .
Характеристики
Рене Том (1954) показал, что сигнатура многообразия является инвариантом кобордизма и, в частности, задается некоторой линейной комбинацией его чисел Понтрягина . [3] Например, в четырех измерениях он определяется как. Фридрих Хирцебрух (1954) нашел явное выражение для этой линейной комбинации как L-рода многообразия. Уильям Браудер (1962) доказал, что односвязный компактный многогранник с 4 n -мерной двойственностью Пуанкаре гомотопически эквивалентен многообразию тогда и только тогда, когда его сигнатура удовлетворяет выражению теоремы о сигнатуре Хирцебруха .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Милнор, Джон; Сташеф, Джеймс (1962). Характерные классы . Анналы математических исследований 246. с. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN 978-0691081229.
- ^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология (PDF) (Repr. Ed.). Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п. 250. ISBN 978-0521795401. Проверено 8 января 2017 года .
- ^ Том, Рене. «Quelques proprietes globales des varietes дифференцируемые» (PDF) (на французском языке). Comm. Математика. Helvetici 28 (1954), S. 17–86 . Проверено 26 октября 2019 года .