Классификация многообразий

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Классификация многообразий»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , особенно в геометрии и топологии , классификация многообразий является основным вопросом, о котором известно много, и многие вопросы остаются открытыми.

Основные темы [ править ]

Обзор [ править ]

• Малоразмерные многообразия классифицируются по геометрической структуре; многомерные многообразия классифицируются алгебраически, с помощью теории хирургии .

«Низкие габариты» - габариты до 4-х; «большие размеры» означают 5 или более измерений. Случай размерности 4 в некотором роде является граничным случаем, поскольку он гладко (но не топологически) проявляет поведение «низкой размерности»; см. обсуждение «низкого» и «высокого» измерения .

• Различные категории многообразий дают разные классификации; они связаны понятием «структура», и более общие категории имеют более точные теории.
• Положительная кривизна ограничена, отрицательная кривизна является общей.
• Абстрактная классификация многомерных многообразий неэффективна : для данных двух многообразий (представленных , например, в виде комплексов CW ) не существует алгоритма определения их изоморфности.

Различные категории и дополнительная структура [ править ]

Формально классификация многообразий - это классификация объектов с точностью до изоморфизма . Существует много различных понятий «многообразие» и соответствующих понятий «отображение между многообразиями», каждое из которых порождает другую категорию и другой вопрос классификации.

Эти категории связаны между собой функторами забывчивости : например, дифференцируемое многообразие также является топологическим многообразием, и дифференцируемое отображение также непрерывно, поэтому существует функтор .${\ displaystyle {\ mbox {Diff}} \ to {\ mbox {Top}}}$

Эти функторы в общем случае не взаимно однозначны и не взаимно однозначны; эти отказы обычно называют «структурой» следующим образом. Говорят, что топологическое многообразие по образу «допускает дифференцируемую структуру», а слой над данным топологическим многообразием - это «различные дифференцируемые структуры на данном топологическом многообразии».${\ displaystyle {\ mbox {Diff}} \ to {\ mbox {Top}}}$

Таким образом, учитывая две категории, возникают два естественных вопроса:

• Какие многообразия данного типа допускают дополнительную структуру?
• Если он допускает дополнительную структуру, сколько он допускает?

Точнее, каков состав набора дополнительных конструкций?

В более общих категориях этот структурный набор более структурирован: в Diff это просто набор, а в Top это группа, причем функционально.

Многие из этих структур являются G-структурами , и вопрос заключается в редукции структурной группы . Самый известный пример - это ориентируемость: некоторые многообразия ориентируемы, некоторые нет, а ориентируемые многообразия допускают две ориентации.

Перечисление против инвариантов [ править ]

Есть два обычных способа дать классификацию: явно, путем перечисления, или неявно, в терминах инвариантов.

Например, для ориентируемых поверхностей классификация поверхностей перечисляет их как сумму связности торов, а инвариант, классифицирующий их, - это род или эйлерова характеристика .${\ Displaystyle п \ geq 0}$

У многообразий есть богатый набор инвариантов, в том числе:

• Точечная топология
  • Компактность
  • Связность
• Классическая алгебраическая топология
  • Эйлерова характеристика
  • Фундаментальная группа
  • Кольцо когомологий
• Геометрическая топология
  • нормальные инварианты ( ориентируемость , характеристические классы и характеристические числа)
  • Простая гомотопия ( кручение Рейдемейстера )
  • Теория хирургии

Современная алгебраическая топология (помимо теории кобордизмов ), такая как экстраординарные (ко) гомологии , мало используется в классификации многообразий, потому что эти инварианты гомотопически инвариантны и, следовательно, не помогают с более тонкой классификацией выше гомотопического типа.

Группы кобордизмов (группы бордизмов точки) вычисляются, но группы бордизмов пространства (например, ) обычно не вычисляются .${\ Displaystyle МО _ {*} (М)}$

Набор точек [ править ]

Классификация наборов точек является базовой: обычно фиксируются допущения о наборах точек, а затем исследуется этот класс многообразий. Наиболее часто классифицируемым классом многообразий являются замкнутые связные многообразия.

Будучи однородными (вдали от любой границы), многообразия не имеют инвариантов локальных точечных множеств, кроме их размерности и границы по сравнению с внутренностью, а наиболее часто используемыми глобальными свойствами точечного множества являются компактность и связность. Обычные названия их комбинаций:

• Компактное многообразие представляет собой компактное многообразие, возможно с краем, и не обязательно связаны (но обязательно с конечным числом компонентов).
• Замкнутое многообразие представляет собой компактное многообразие без края, не обязательно связаны между собой .
• Открытое многообразие является многообразием без края (не обязательно подключен), без компактного компонента.

Например, является компактным многообразием, является замкнутым многообразием и является открытым многообразием, но не является ни одним из них.${\ displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle [0,1)}$

Вычислимость [ править ]

Эйлерова характеристика является гомологическим инвариантом и, таким образом, может быть эффективно вычислена с учетом CW-структуры , поэтому 2-многообразия классифицируются гомологически.

Характеристические классы и характеристические числа являются соответствующими обобщенными гомологическими инвариантами, но они не классифицируют многообразия в более высокой размерности (они не являются полным набором инвариантов ): например, ориентируемые трехмерные многообразия параллелизуются (теорема Стинрода в низкоразмерной топологии ) , поэтому все характеристические классы исчезают. В более высоких измерениях характеристические классы обычно не исчезают и предоставляют полезные, но не полные данные.

Многообразия размерности 4 и выше не могут быть эффективно классифицированы: даны два n -многообразия ( ), представленные как комплексы или тела CW , не существует алгоритма для определения, являются ли они изоморфными (гомеоморфными, диффеоморфными). Это происходит из-за неразрешимости проблемы слов для групп , или, точнее, проблемы тривиальности (учитывая конечное представление группы, является ли это тривиальной группой?). Любое конечное представление группы может быть реализовано как 2-комплекс и может быть реализовано как 2-скелет 4-многообразия (или выше). Таким образом, невозможно даже вычислить фундаментальную группу данного многомерного многообразия, не говоря уже о классификации.${\ displaystyle n \ geq 4}$

Эта неэффективность является фундаментальной причиной того, что теория хирургии не классифицирует многообразия с точностью до гомеоморфизма. Вместо этого, для любого фиксированного многообразия М оно классифицирует пар с N многообразием и Гомотопический эквивалентности , две такие пары, и , будучи считаются эквивалентными , если существует гомеоморфизм и гомотопию .${\ displaystyle (N, f)}$${\ displaystyle f \ двоеточие N \ to M}$${\ displaystyle (N, f)}$${\ displaystyle (N ', f')}$${\displaystyle h\colon N\to N'}$${\displaystyle f'h\sim f\colon N\to M}$

Положительная кривизна ограничена, отрицательная кривизна является общей [ править ]

Многие классические теоремы в римановой геометрии показывают, что многообразия с положительной кривизной ограничены, наиболее драматично теорема о 1/4 сжатой сфере . Наоборот, отрицательная кривизна является общей: например, любое многообразие размерности допускает метрику с отрицательной кривизной Риччи.${\displaystyle n\geq 3}$

Это явление очевидно уже для поверхностей: существует одна ориентируемая (и одна неориентируемая) замкнутая поверхность с положительной кривизной (сфера и проективная плоскость ), а также с нулевой кривизной ( тор и бутылка Клейна ) и все поверхности более высокого рода допускают только отрицательную метрику кривизны.

Аналогично для 3-многообразий: из 8 геометрий все, кроме гиперболических, весьма ограничены.

Обзор по параметрам [ править ]

• Размеры 0 и 1 тривиальны.
• Коллекторы малых размеров (размеры 2 и 3) допускают геометрию.
• Многообразия средней размерности (размерность 4 дифференцированно) демонстрируют экзотические явления.
• Многообразия высокой размерности (размерность 5 и более дифференцированно, размерность 4 и более топологически) классифицируются теорией хирургии .

Таким образом, дифференцируемые многообразия размерности 4 являются наиболее сложными: они не являются ни геометризуемыми (как в нижнем измерении), ни они не классифицируются хирургическим путем (как в более высоком измерении или топологически), и они демонстрируют необычные явления, наиболее поразительно несчетное бесконечное количество экзотических дифференцируемых многообразий. конструкции на R 4 . Примечательно, что дифференцируемые 4-многообразия - единственный оставшийся открытый случай обобщенной гипотезы Пуанкаре .

Можно взять низкоразмерную точку зрения на многомерные многообразия и спросить: «Какие многомерные многообразия можно геометризовать?» Для различных понятий геометризуемости (разрезать на геометрические части, как в трехмерном пространстве, на симплектические многообразия и т. Д. ). В размерности 4 и выше не все многообразия геометризуемы, но это интересный класс.

И наоборот, можно взять многомерную точку зрения на низкоразмерные многообразия и спросить: «Что хирургия предсказывает для низкоразмерных многообразий?», Имея в виду: «Если бы хирургия работала на низкоразмерных многообразиях, как бы выглядели низкоразмерные многообразия? " Затем можно сравнить реальную теорию низкоразмерных многообразий с низкоразмерным аналогом многомерных многообразий и посмотреть, ведут ли низкоразмерные многообразия «так, как вы ожидаете»: каким образом они ведут себя как многомерные многообразия (но по разным причинам или по разным доказательствам) и чем они необычны?

Размеры 0 и 1: тривиально [ править ]

Существует единственное связное 0-мерное многообразие, а именно точка, а несвязные 0-мерные многообразия - это просто дискретные множества, классифицируемые по мощности. У них нет геометрии, и они занимаются комбинаторикой.

Связное одномерное многообразие без границы - это либо окружность (если она компактна), либо вещественная прямая (если нет). Однако отображения одномерных многообразий - нетривиальная область; см. ниже. ^{[ необходима цитата ]}

Размеры 2 и 3: геометризуемые [ править ]

Каждое связное замкнутое двумерное многообразие (поверхность) допускает метрику постоянной кривизны по теореме униформизации . Таких искривлений 3 (положительная, нулевая и отрицательная). Это классический результат и, как уже говорилось, простой (полная теорема униформизации более тонкая). Изучение поверхностей глубоко связано с комплексным анализом и алгебраической геометрией , поскольку любую ориентируемую поверхность можно рассматривать как риманову поверхность или комплексную алгебраическую кривую .

Каждое замкнутое трехмерное многообразие может быть разрезано на части, которые можно геометризовать, согласно гипотезе геометризации , и существует 8 таких геометрий. Это недавний результат, и он довольно сложен. Доказательство ( Решение гипотезы Пуанкаре ) аналитическое, а не топологическое.

В то время как классификация поверхностей является классической, карты поверхностей являются активной областью; см. ниже.

Измерение 4: экзотика [ править ]

Четырехмерные многообразия являются наиболее необычными: они не геометризуемы (как в нижних измерениях), и хирургия работает топологически, но не дифференцируемо.

Поскольку топологически 4-многообразия классифицируются хирургическим путем, вопрос о дифференцируемой классификации формулируется в терминах «дифференцируемых структур»: «какие (топологические) 4-многообразия допускают дифференцируемую структуру, а для тех, которые допускают, сколько существует дифференцируемых структур. ? "

Четырехмерные многообразия часто допускают множество необычных дифференцируемых структур, наиболее поразительно бесчисленное множество экзотических дифференцируемых структур на R 4 . Точно так же дифференцируемые 4-многообразия - единственный оставшийся открытый случай обобщенной гипотезы Пуанкаре .

Измерение 5 и более: хирургия [ править ]

В размерности 5 и выше (и в 4-х измерениях топологически) многообразия классифицируются по теории хирургии .

Причина измерения 5 заключается в том, что трюк Уитни работает в среднем измерении в измерении 5 и более: два диска Уитни обычно не пересекаются в измерении 5 и выше по общему положению ( ). В размерности 4 можно разрешить пересечения двух дисков Уитни с помощью маркеров Кассона , что работает топологически, но не дифференцируемо; см. Геометрическая топология: Размер для получения подробной информации о размере.${\displaystyle 2+2<5}$

Более тонко, размерность 5 является отсечением, потому что среднее измерение имеет коразмерность больше 2: когда коразмерность 2, мы сталкиваемся с теорией узлов , но когда коразмерность больше 2, теория вложения поддается изучению с помощью исчисления функторов. . Это обсуждается ниже.

Карты между коллекторами [ править ]

С точки зрения теории категорий , классификация многообразий - это часть понимания категории: она классифицирует объекты . Другой вопрос - это классификация отображений многообразий с точностью до различных эквивалентностей, и в этой области есть много результатов и открытых вопросов.

Для карт подходящим понятием «низкая размерность» является для некоторых целей «собственные карты многообразий низкой размерности», а для других целей - «низкая коразмерность ».

Самостоятельные карты малой размерности [ править ]

• 1-мерный: гомеоморфизмы окружности
• 2-мерный: группа классов отображений и группа Торелли

Низкая коразмерность [ править ]

Аналогична классификации коллекторов, в высоком совместном измерении (то есть более чем в 2 раза ), вложения классифицируются по хирургии, в то время как в условиях низкой коразмерности или в относительном измерении , они жесткие и геометрические, а в середине (коразмерности 2), один имеют сложная экзотическая теория ( теория узлов ).

• В коразмерности больше 2 вложения классифицируются теорией хирургии.
• В коразмерности 2, особенно вложения одномерных многообразий в трехмерные, есть теория узлов .
• В коразмерности 1 вложение коразмерности 1 разделяет многообразие, и они поддаются обработке.
• В коразмерности 0 (собственное) погружение коразмерности 0 представляет собой накрывающее пространство , которое классифицируется алгебраически, и их более естественно рассматривать как субмерсии.
• В относительной размерности субмерсия с компактной областью является расслоением (так же, как в коразмерности 0 = относительной размерности 0), которые классифицируются алгебраически.

Высокие размеры [ править ]

Особенно топологически интересные классы карт включают вложения, погружения и субмерсии.

Геометрически интересны изометрии и изометрические погружения.

Фундаментальные результаты встраивания и погружения включают:

• Теорема вложения Уитни
• Теорема Уитни об погружении
• Теорема вложения Нэша
• Теорема Смейла-Хирша

Ключевые инструменты при изучении этих карт:

• H -принципы Громова
• Исчисление функторов

Карты можно классифицировать до различных эквивалентностей:

• гомотопия
• кобордизм
• согласованность
• изотопия

Маттиас Крек классифицировал диффеоморфизмы с точностью до кобордизма :

• М. Крек, Бордизм диффеоморфизмов Бюлл. Амер. Математика. Soc. Том 82, номер 5 (1976), 759-761.
• М. Крек, Бордизм диффеоморфизмов и родственные темы, Springer Lect. Банкноты 1069 (1984)

См. Также [ править ]

• Berger классификация по голономиям групп.