Пространство Тома

В математике , то пространство Тома, комплекс Thom, или конструкция Понтрягина-Тома ( по имени Рене Тома и Понтрягин ) в алгебраической топологии и дифференциальной топологии является топологическим пространством , связанный с векторным расслоением , над любым паракомпактной пространства.

Построение пространства Тома [ править ]

Один из способов построить это пространство заключается в следующем. Позволять

${\ displaystyle p: E \ to B}$

быть ранга п реального векторное расслоение над паракомпакта B . Тогда для каждой точки Ь в B , то волокно представляет собой мерное вещественное векторное пространство . Выберите ортогональную структуру на E, плавно изменяющийся внутренний продукт на волокнах; мы можем сделать это, используя разбиения единицы. Пусть - расслоение единичных дисков по отношению к нашей ортогональной структуре, и пусть - расслоение единичных сфер, тогда пространство Тома - фактор топологических пространств. - заостренное пространство с изображением в частном в качестве базовой точки. Если B${\ displaystyle E_ {b}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle D (E)}$${\ Displaystyle S (E)}$ ${\ displaystyle T (E)}$${\ Displaystyle T (E): = D (E) / S (E)}$${\ displaystyle T (E)}$${\ Displaystyle S (E)}$компактно, то есть одна точка компактификацией Е .${\ displaystyle T (E)}$

Например, если E - тривиальное расслоение , то и . Запись для B с дизъюнктным базисным, является разбивал продукт от и ; то есть, п -й уменьшается суспензии из .${\ Displaystyle В \ раз \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle D (E) = В \ раз D ^ {п}}$${\ Displaystyle S (E) = В \ раз S ^ {п-1}}$${\ displaystyle B _ {+}}$${\ displaystyle T (E)}$${\ displaystyle B _ {+}}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle B _ {+}}$

Изоморфизм Тома [ править ]

Значение этой конструкции начинается со следующим результатом, который принадлежит к теме когомологий из пучков волокон . (Мы сформулировали результат в терминах коэффициентов, чтобы избежать осложнений, связанных с ориентируемостью ; см. Также Ориентация векторного расслоения # пространство Тома .)${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Пусть - вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует изоморфизм, который теперь называется изоморфизмом Тома${\ displaystyle p: E \ to B}$

${\ displaystyle \ Phi: H ^ {k} (B; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to {\ widetilde {H}} ^ {k + n} (T (E); \ mathbb {Z} _ {2}),}$

для всех k больше или равных 0, где правая часть - это приведенные когомологии .

Эта теорема была сформулирована и доказана Рене Томом в его знаменитой диссертации 1952 года.

Мы можем интерпретировать теорему в качестве глобального обобщения суспензионного изоморфизма на локальных тривиализациях, потому что пространство Тома тривиального расслоения на B ранг к изоморфно к - й суспензия , B с точкой дизъюнктной добавленной (см #Construction пространства Тома .) Это легче увидеть в формулировке теоремы, которая не ссылается на пространство Тома:${\ displaystyle B _ {+}}$

Вкратце, последняя часть теоремы говорит, что u свободно порождает как правый -модуль. Класс у обычно называется классом Тома из Е . Поскольку обратный вызов является изоморфизмом колец , он задается уравнением:${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

В частности, изоморфизм Тома переводит единичный элемент в u . Примечание: чтобы эта формула имела смысл, u рассматривается как элемент (мы опускаем кольцо )${\displaystyle H^{*}(B)}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

Значение работы Тома [ править ]

В своей статье 1952 года Том показал, что класс Тома, классы Штифеля – Уитни и операции Стинрода связаны между собой. Он использовал эти идеи, чтобы доказать в статье 1954 года Quelques propriétés globales des Varétés дифференцируемые, что группы кобордизмов могут быть вычислены как гомотопические группы некоторых пространств Тома MG ( n ). Доказательство зависит от свойств трансверсальности гладких многообразий и тесно связано с ними - см. Теорему Тома о трансверсальности . Переворачивая эту конструкцию, Джон Милнор и Сергей Новиков(среди многих других) смогли ответить на вопросы о существовании и единственности многомерных многообразий: теперь это известно как теория хирургии . Кроме того, пространства MG (n) подходят друг к другу, чтобы сформировать спектры MG, теперь известные как спектры Тома , и группы кобордизмов фактически стабильны . Таким образом, конструкция Тома также объединяет дифференциальную топологию и теорию стабильных гомотопий и, в частности, является неотъемлемой частью наших знаний о стабильных гомотопических группах сфер .

Если доступны операции Стинрода, мы можем использовать их и изоморфизм теоремы для построения классов Штифеля – Уитни. Напомним, что операции Стинрода (mod 2) являются естественными преобразованиями

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

определен для всех неотрицательных целых чисел m . Если , то совпадает с квадратом чашки. Мы можем определить i- й класс Штифеля – Уитни векторного расслоения следующим образом:${\displaystyle I=m}$${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle w_{i}(p)}$${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

Последствия для дифференцируемых многообразий [ править ]

Если мы возьмем расслоение из приведенного выше расслоения как касательное расслоение гладкого многообразия, вывод из приведенного выше называется формулой Ву и имеет следующее сильное следствие: поскольку операции Стинрода инвариантны относительно гомотопической эквивалентности, мы заключаем, что Классы Штифеля – Уитни многообразия тоже. Это необычный результат, который не распространяется на другие характеристические классы. Существует аналогичный известный и трудный результат, устанавливающий топологическую инвариантность для рациональных классов Понтрягина , принадлежащий Сергею Новикову .

Спектр Тома [ править ]

Настоящий кобордизм [ править ]

Есть два способа думать о бордизмах: во-первых, рассмотрение двух -многообразий кобордантно, если существует -многообразие с краем такое, что${\displaystyle n}$${\displaystyle M,M'}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

Другой метод кодирования такой информации - это вложение и рассмотрение нормального пакета${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

Вложенное многообразие вместе с классом изоморфизма нормального расслоения фактически кодирует ту же информацию, что и класс кобордизма . Это можно показать ^[2] , используя кобордизм и находя вложение в некоторые, которые дают гомотопический класс отображений в пространство Тома, определенный ниже. Показывая изоморфизм${\displaystyle [M]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{*}MO(n)\cong \Omega _{n}^{O}}$

требует немного больше работы. ^[3]

Определение спектра Тома [ править ]

По определению спектр Тома ^[4] представляет собой последовательность пространств Тома

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

где мы написали для универсального векторного расслоения ранга n . Последовательность образует спектр . ^[5] Теорема Тома утверждает, что это кольцо неориентированных кобордизмов ; ^[6] доказательство этой теоремы во многом опирается на теорему Тома о трансверсальности . ^[7] Отсутствие трансверсальности не позволяет вычислить кольца кобордизмов, скажем, топологических многообразий из спектров Тома.${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

См. Также [ править ]

• Кобордизм
• Операция когомологии
• Проблема Стинрода
• Теорема Хаттори – Стонга.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Салливан, Деннис (2004). "Работа Рене Тома по геометрическим гомологиям и бордизмам" . Бюллетень Американского математического общества . 41 (3): 341–350. DOI : 10.1090 / S0273-0979-04-01026-2 .
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90613-4.Классическая ссылка для дифференциальной топологии , рассматривая ссылку на двойственность Пуанкара и класс Эйлера из пучков Sphere
• Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета . С. 183–198. ISBN 0-226-51182-0.
• «Объяснение конструкции Понтрягина – Тома» . MathOverflow .
• Стонг, Роберт Э. (1968). Заметки по теории кобордизма . Издательство Принстонского университета .
• Том, Рене (1954). " Quelques propriétés globales des varétés différentiables ". Commentarii Mathematici Helvetici . 28 : 17–86. DOI : 10.1007 / BF02566923 . S2CID  120243638 .
• Андо, Мэтью; Блумберг, Эндрю Дж .; Гепнер, Дэвид Дж .; Хопкинс, Майкл Дж .; Резк, Чарльз (2014). «Единицы кольцевых спектров и спектры Тома». Журнал топологии . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . DOI : 10,1112 / jtopol / jtu009 . Руководство по ремонту  0286898 . S2CID  119613530 .

Внешние ссылки [ править ]

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• "Пространство Тома" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Сообщения в блоге Ахила Мэтью: https://amathew.wordpress.com/tag/thom-space/