Теорема о замкнутой подгруппе

В математике теорема о замкнутой подгруппе (иногда называемая теоремой Картана ) является теоремой теории групп Ли . Он утверждает, что если H - замкнутая подгруппа группы Ли G , то H - вложенная группа Ли с гладкой структурой (и, следовательно, топологией группы ), согласующейся с вложением. ^{[1] [2] [3]} Один из нескольких результатов, известных как теорема Картана , он был впервые опубликован в 1930 году Эли Картаном., ^[4], который был вдохновлен доказательством Джона фон Неймана 1929 г. частного случая для групп линейных преобразований . ^[5]

Обзор [ править ]

Позвольте быть группой Ли с алгеброй Ли . Теперь позвольте быть произвольной замкнутой подгруппой в . Наша цель - показать, что это гладкое вложенное подмногообразие в . Наш первый шаг - определить что-то, что могло бы быть алгеброй Ли , то есть касательным пространством в точке единицы. Проблема заключается в том, что не предполагается наличие какой-либо гладкости, и поэтому неясно, как можно определить его касательное пространство. Чтобы продолжить, мы определим «алгебру Ли» из по формуле${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle H}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbb {R} \}.}$

Нетрудно показать, что это подалгебра Ли в . ^[6] В частности, это подпространство , которое, как мы можем надеяться, может быть касательным пространством в тождестве. Однако для того, чтобы эта идея сработала, нам нужно знать, что она достаточно велика, чтобы собрать интересную информацию о ней . Если бы, например, была какая-то большая подгруппа, но оказалась бы нулевой, это не помогло бы нам.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Таким образом, ключевой шаг - показать, что на самом деле фиксируются все элементы , достаточно близкие к идентичности. То есть нам нужно показать, что верна следующая критическая лемма:${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$

Лемма : возьмем небольшую окрестность начала координат в такой, что экспоненциальное отображение диффеоморфно переходит в некоторую окрестность единицы в , и пусть будет обратным экспоненциальному отображению. Тогда существует некоторая меньшая окрестность, такая, что если принадлежит , то принадлежит . ^[7]${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \log :V\rightarrow U}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle h}$${\displaystyle W\cap H}$${\displaystyle \log(h)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Как только это будет установлено, можно использовать экспоненциальные координаты on , то есть записать каждое (не обязательно в ) as for . В этих координатах, согласно лемме, точка в точно соответствует, если принадлежит . Так сказать, в экспоненциальных координатах рядом с тождеством, выглядит так . Поскольку это просто подпространство , это означает, что это то же самое , что и с и . Таким образом, мы продемонстрировали « систему координат среза », в которой она выглядит локально , что является условием для вложенного подмногообразия. ^[8]${\displaystyle W}$${\displaystyle g\in W}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g=e^{X}}$${\displaystyle X=\log(g)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle H\subset G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

Стоит отметить , что Россмана показывает , что для любой подгруппы из (не обязательно замкнуты), алгебры Ли из подалгебры Ли . ^[9] Rossmann затем переходит ввести координаты ^[10] на том , что делает компонент идентичности в группу Ли. Однако важно отметить, что топология на основе этих координат не является топологией подмножества. Таким образом, тождественный компонент является погруженным подмногообразием, но не вложенным подмногообразием.${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

В частности, сформулированная выше лемма не выполняется, если она не замкнута.${\displaystyle H}$

Пример незамкнутой подгруппы [ править ]

Тор G . Представьте себе изогнутую спираль выложенную на поверхность ОТОБРАЖАЯ H . Если = ^р / _д в терминах низших, спираль будет закрыть на себе в (1, 1) после того, как р вращений в ф и д вращений в & thetas . Если a иррационально, спираль вьется бесконечно.

В качестве примера подгруппы, которая не является вложенной подгруппой Ли, рассмотрим тор и « иррациональную обмотку тора ».

${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

и его подгруппа

${\displaystyle H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\},}$

с нерационально. Тогда H является плотным в G и , следовательно , не закрыто. ^[11] В относительной топологии небольшое открытое подмножество H состоит из бесконечного множества почти параллельных отрезков прямых на поверхности тора. Это означает, что H не связан локально по путям . В топологии группы, малые открытые множества являются единичными отрезками на поверхности торы и Н является локально связно.

Пример показывает , что для некоторых групп Н можно найти точки в сколь угодно малых окрестностях U в относительной топологии т _р о личности , которые являются экспонентом элементов ч , пока они не могут быть подключены к идентичности с путем пребыванием в U . ^[12] Группа ( H , τ _r ) не является группой Ли. Хотя отображение exp: h → ( H , τ _r ) является аналитической биекцией, его обратное отображение не является непрерывным. То есть, если U ⊂ hсоответствует небольшому открытому интервалу - ε < θ < ε , не существует открытое V ⊂ ( H , τ _г ) с лог ( V ) ⊂ U из - за появление множества V . Тем не менее, с группой топологии τ _г , ( H , τ _г ) является группой Ли. В этой топологии инъекция ι :( H , τ _g ) → G является аналитическим инъективным погружением, но негомеоморфизм , следовательно, не вложение. Существуют также примеры групп H, для которых можно найти точки в сколь угодно малой окрестности (в относительной топологии) единицы, не являющиеся экспонентами элементов из h . ^[12] Для замкнутых подгрупп это не так, как показывает приведенное ниже доказательство теоремы.

Приложения [ править ]

Из-за заключения теоремы некоторые авторы решили определить линейные группы Ли или матричные группы Ли как замкнутые подгруппы в GL ( n , ℝ) или GL ( n , ℂ) . ^[13] В этом случае доказывается, что каждый элемент группы, достаточно близкий к единице, является экспонентой элемента алгебры Ли. ^[14] (Доказательство практически идентично доказательству теоремы о замкнутой подгруппе, представленной ниже.) Отсюда следует, что каждая замкнутая подгруппа является вложенным подмногообразием в GL ( n , ℂ) ^[15]

Теорема о построении однородного пространства утверждает

Если H ⊂ G - замкнутая подгруппа Ли , то G / H , левое пространство смежности, имеет единственную структуру вещественно-аналитического многообразия, такую ​​что фактор-отображение π : G → G / H является аналитической субмерсией . Левое действие, задаваемое формулой g ₁ ⋅ ( g ₂ H) = ( g ₁ g ₂ ) H, превращает G / H в однородное G -пространство .

Теорема о замкнутой подгруппе теперь значительно упрощает гипотезы, априори расширяя класс однородных пространств. Каждая замкнутая подгруппа дает однородное пространство.

Аналогичным образом теорема о замкнутой подгруппе упрощает гипотезу следующей теоремы.

Если X - множество с транзитивным действием группы, а группа изотропии или стабилизатор точки x ∈ X - замкнутая подгруппа Ли, то X имеет единственную структуру гладкого многообразия, такую ​​что действие гладкое.

Условия закрытия [ править ]

Ниже приведены несколько достаточных условий замкнутости H ⊂ G , а значит, вложенной группы Ли.

• Все классические группы замкнуты в GL ( F , n ) , где F = ℝ, ℂ или ℍ , кватернионы .
• Подгруппа, которая является локально замкнутой , замкнута. ^[16] Подгруппа локально замкнуто , если каждая точка имеет окрестность в U ⊂ G такое , что Н ∩ U замкнуто в U .
• Если H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B }, где A - компактная группа, а B - замкнутое множество, то H замкнуто. ^[17]
• Если ч ⊂ г подалгебры Ли такой , что ни для какой X ∈ г \ ч , [ Х , ч ] ∈ ч , то Γ ( ч ) , группа , порожденная й ^ч , замкнут в G . ^[18]
• Если X ∈ g , то однопараметрическая подгруппа, порожденная X , не замкнута тогда и только тогда, когда X подобна над ℂ диагональной матрице с двумя элементами иррационального отношения. ^[19]
• Пусть h ⊂ g - подалгебра Ли. Если есть односвязная компактная группа К с к изоморфной ч , то Γ ( ч ) замкнуто в G . ^[20]
• Если G односвязна и h ⊂ g - идеал , то связная подгруппа Ли с алгеброй Ли h замкнута. ^[21]

Converse [ править ]

Вложенная подгруппа Ли H ⊂ G замкнута ^[22], поэтому подгруппа является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда она замкнута. Эквивалентно, H является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда ее групповая топология равна ее относительной топологии. ^[23]

Доказательство [ править ]

Доказательство приводится для групп матриц с G = GL ( n , ℝ) для конкретности и относительной простоты, поскольку матрицы и их экспоненциальное отображение - более простые понятия, чем в общем случае. Исторически этот случай был впервые доказан Джоном фон Нейманом в 1929 г. и вдохновил Картана на доказательство теоремы о полной замкнутой подгруппе в 1930 г. ^[5] Доказательство для общей группы G формально идентично ^[24], за исключением того, что элементы алгебры Ли - левоинвариантные векторные поля на G, а экспоненциальное отображение - это единичный поток векторного поля. Если H ⊂ Gесли G замкнута в GL ( n , ℝ) , то H замкнуто в GL ( n , ℝ) , поэтому специализация на GL ( n , ℝ) вместо произвольной G ⊂ GL ( n , ℝ) имеет мало значения.

Доказательство ключевой леммы [ править ]

Начнем с установления ключевой леммы, сформулированной в разделе «Обзор» выше.

Наделяет г с внутренним произведением (например, Гильберт-Шмидт скалярного произведения ), и пусть ч алгебры Ли Н определяется как ч = { X ∈ M _п (ℝ) = г | e ^tX ∈ H ∀ t ∈ ℝ }. Пусть s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h }, ортогональное дополнение к h . Тогда гразлагается как прямая сумма g = s ⊕ h , поэтому каждый X ∈ g однозначно выражается как X = S + T, где S ∈ s , T ∈ h .

Определим отображение Ф: г → GL ( п , ℝ) по ( S , T ) ↦ е ^С е ^Т . Разложите экспоненты,

${\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),}$

и прямой образ или дифференциальный на 0 , Φ _* ( S , T ) = ^г / _{г т} Ф ( Ts , Tt ) | _{t = 0} рассматривается как S + T , т. е. Φ _∗ = Id , тождество. Условие теоремы об обратной функции выполняется с аналитичностью Φ , и, следовательно, существуют открытые множества U ₁ ⊂ g , V ₁ ⊂ GL ( n, ℝ) с 0 ∈ U ₁ и I ∈ V ₁ такой, что Φ - вещественно-аналитическая биекция из U ₁ в V ₁ с аналитическим обратным. Осталось показать, что U ₁ и V ₁ содержат открытые множества U и V такие, что справедливо заключение теоремы.

Рассмотрим счетный базис окрестностей Β в точке 0 ∈ g , линейно упорядоченный обратным включением с B ₁ ⊂ U ₁ . ^[25] Предположим , что с целью получения противоречие , что для всех I , Φ ( B _я ) ∩ H содержит элемент час _я , которое не в виде ч _я = е ^{Т _я} , Т _я ∈ ч . Тогда, поскольку Φ - биекция наB _i существует уникальная последовательность X _i = S _i + T _i , где 0 ≠ S _i ∈ s и T _i ∈ h, такая, что X _i ∈ B _i сходится к 0, поскольку Β является базисом окрестности, причем e ^{S _i} е ^{Т _я} = h _я . Поскольку e ^{T _i} ∈ H и h _i ∈Н , е ^{S _я} ∈ H , а также.

Нормализация последовательность в S , Y _я = ^{S _I} / _{|| S i ||} . Он принимает значения в единичной сфере в s, и, поскольку он компактен , существует сходящаяся подпоследовательность, сходящаяся к Y ∈ s . ^[26] В дальнейшем индекс i относится к этой подпоследовательности. Будет показано, что e ^tY ∈ H , ∀ t ∈ ℝ . Зафиксируем t и выберем последовательность m _i целых чисел так, чтобы m _i|| S _i || → t при i → ∞ . Например, m _i такой, что m _i || S _i || ≤ t ≤ ( m _i + 1) || S _i || будет делать, если S _i → 0. Тогда

${\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}$

Поскольку H группа, левая часть принадлежит H для всех i . Поскольку H замкнуто, e ^tY ∈ H , ∀ t , ^[27], значит, Y ∈ h . Получили противоречие. Следовательно, для некоторого i множества U = Β _i и V = Φ (Β _i ) удовлетворяют условию e ^{( U ∩ h )} = H ∩ V и экспоненте, ограниченной на открытое множество ( U∩ ч ) ⊂ ч в аналитической биекции с открытым множеством Φ ( U ) ∩ H ⊂ H . Это доказывает лемму.

Доказательство теоремы [ править ]

Для J ≥ I , изображение в H из B _J под Ф образуют базис в окрестности I . Это, по способу построения, базис соседства как в групповой топологии, так и в относительной топологии . Поскольку умножение в G аналитично, левый и правый сдвиги этого базиса окрестности на элемент группы g ∈ G дают базис окрестности в g . Эти ограниченные на H базисы дают базисы окрестностей во всех h ∈ H. Топология, порожденная этими базами, является относительной топологией. Вывод состоит в том, что относительная топология совпадает с топологией группы.

Далее конструкция координат диаграммы на H . Сначала определим φ ₁ : e ^{( U )} ⊂ G → g , g ↦ log ( g ) . Это аналитическая биекция с аналитическим обратным. Кроме того, если h ∈ H , то φ ₁ ( h ) ∈ h . Зафиксировав базис для g = h ⊕ s и отождествив g с ℝ ⁿ , тогда в этих координатах φ ₁ ( h) = (x ₁ ( h ),…, x _m ( h ), 0,…, 0) , где m - размерность h . Это показывает, что (e ^U , φ ₁ ) - диаграмма срезов . Переводя диаграммы , полученные из счетной базы окрестностей использованной выше, получаем срез диаграммы вокруг каждой точки Н . Это показывает , что Н представляет собой встроенное подмногообразие G .

Более того, умножение m и инверсия i в H являются аналитическими, поскольку эти операции аналитичны в G, а ограничение на подмногообразие (вложенное или погруженное) с относительной топологией снова дает аналитические операции m : H × H → G и i : H × H → G . ^[28] Но поскольку H вложено, m : H × H → H и i : H × H→ H также аналитичны. ^[29]

См. Также [ править ]

• Теорема об обратной функции
• Ложная переписка

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бохнер, С. (1958), «Джон фон Нейман 1903–1957» (PDF) , Биографические воспоминания Национальной академии наук : 438–456. См., В частности, стр. 441 .
• Картан, Эли (1930), "Теория конечных групп и непрерывный и др. Анализ Situs ", Mémorial Sc. Математика. , XLII , стр. 1–61
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Ли, JM (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer Graduate Texts in Mathematics, 218 , ISBN 0-387-95448-1
• фон Нейман, Джон (1929), "Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen", Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 30 (1): 3–42, doi : 10.1007 / BF01187749
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение через линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Dover Publications, ISBN 0-486-43479-6