Унитарное преобразование (квантовая механика)

В квантовой механике , то уравнение Шредингера описывает , как система меняется со временем. Он делает это, связывая изменения в состоянии системы с энергией в системе (заданной оператором, называемым гамильтонианом ). Следовательно, как только гамильтониан известен, временная динамика в принципе известна. Все, что остается, - это вставить гамильтониан в уравнение Шредингера и найти состояние системы как функцию времени. ^[1]^[2]

Однако часто уравнение Шредингера трудно решить ( даже с помощью компьютера ). Поэтому физики разработали математические методы, чтобы упростить эти проблемы и прояснить, что происходит физически. Один из таких приемов - применить к гамильтониану унитарное преобразование. Это может привести к упрощенной версии уравнения Шредингера, которое, тем не менее, имеет то же решение, что и исходное.

Трансформация [ править ]

Унитарное преобразование (или изменение системы отсчета) может быть выражено в терминах зависящего от времени гамильтониана и унитарного оператора . При этом изменении гамильтониан преобразуется как: ${\ displaystyle H (t)}$ ${\ Displaystyle U (т)}$

${\ displaystyle H \ to UH {U ^ {\ dagger}} + я \ hbar \, {{\ dot {U}} U ^ {\ dagger}} =: {\ breve {H}} \ quad \ quad ( 0)}$ .

Уравнение Шредингера применимо к новому гамильтониану. Решения непреобразованных и преобразованных уравнений также связаны соотношением . В частности, если волновая функция удовлетворяет исходному уравнению, то будет удовлетворять новое уравнение. ^[3] ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ psi (т)}$ ${\ Displaystyle U \ фунт / кв. дюйм (т)}$

Вывод [ править ]

Напомним , что по определению унитарной матрицы , . Начиная с уравнения Шредингера, $U^{\dagger }U=1$

${\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi$ ,

поэтому мы можем вставить по желанию. В частности, вставив его после, а также предварительно умножив обе стороны на , мы получим $U^{\dagger }U$ $H/\hbar$ $U$

$U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)$ .

Затем обратите внимание, что по правилу продукта

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}$ .

Вставив еще одну и переставив, получаем $U^{\dagger }U$

$U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)$ .

Наконец, объединение приведенных выше пунктов (1) и (2) приводит к желаемому преобразованию:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)$ .

Если мы примем обозначения для описания преобразованной волновой функции, уравнения можно будет записать в более четкой форме. Например, можно переписать как ${\breve {\psi }}:=U\psi$ $(3)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)$ ,

которое можно переписать в виде исходного уравнения Шредингера,

${\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.$

Исходная волновая функция может быть восстановлена как . $\psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}$

Отношение к картинке взаимодействия [ править ]

Унитарные преобразования можно рассматривать как обобщение картины взаимодействия (Дирака) . В последнем подходе гамильтониан разбивается на не зависящую от времени часть и зависящую от времени часть,

$H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)$ .

В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

${\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}$ , с . ^[4] $\psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi$

Соответствие унитарному преобразованию можно показать, выбрав . Как результат, ${\textstyle U(t)=\exp \left[{+iH_{0}t/\hbar }\right]}$ ${U^{\dagger }}(t)=\exp \left[{-iH_{0}t}/\hbar \right].$

Используя обозначения сверху, наш преобразованный гамильтониан принимает вид $(0)$

${\breve {H}}=U\left[H_{0}+V(t)\right]U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)$

Во-первых, обратите внимание, что, поскольку это функция от , они должны коммутировать . потом $U$ $H_{0}$

$UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}$ ,

который заботится о первом члене в преобразовании в , т . е . Затем используйте цепное правило для вычисления $(b)$ ${\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }$

${\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}$

который отменяется с другим . Очевидно, мы остались с уступкой, как показано выше. $H_{0}$ ${\breve {H}}=UVU^{\dagger }$ ${\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}$

Однако при применении общего унитарного преобразования не обязательно, чтобы оно было разбито на части или даже было функцией какой-либо части гамильтониана. $H(t)$ $U(t)$

Примеры [ править ]

Вращающаяся рамка [ править ]

Рассмотрим атом с двумя состояниями : основным и возбужденным . Атом имеет гамильтониан , где является частотой от света , связанного с г переходом . Теперь предположим, что мы освещаем атом двигателем с частотой, которая связывает два состояния, и что управляемый во времени гамильтониан имеет вид $|g\rangle$ $|e\rangle$ $H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}$ $\omega$ $\omega _{d}$

$H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|$

для некоторой сложной силы привода . Из-за конкурирующих частотных масштабов ( , и ) трудно предвидеть влияние привода (см. Управляемое гармоническое движение ). $\Omega$ $\omega$ $\omega _{d}$ $\Omega$

Без привода фаза будет колебаться относительно . В представлении сферы Блоха системы с двумя состояниями это соответствует вращению вокруг оси z. Концептуально мы можем удалить этот компонент динамики, введя вращающуюся систему отсчета, определяемую унитарным преобразованием . При таком преобразовании гамильтониан принимает вид $|e\rangle$ $|g\rangle$ $U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}$

$H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|$ .

Если частота возбуждения равна частоте перехода ge , возникнет резонанс , и тогда приведенное выше уравнение сводится к $\omega _{d}=\omega$

${\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|$ .

Не вдаваясь в подробности ^{[ почему? ]} , мы уже можем предсказать, что динамика будет включать колебания между основным и возбужденным состояниями с частотой . ^[4] $\Omega$

В качестве другого предельного случая предположим, что привод находится далеко от резонанса . Мы можем выяснить динамику в этом случае, не решая непосредственно уравнение Шредингера. Предположим, система запускается в основном состоянии . Первоначально гамильтониан будет заполнять некоторую компоненту . Однако через некоторое время он заполнит примерно такое же количество, но с совершенно другой фазой. Таким образом, эффект нерезонансного возбуждения будет иметь тенденцию нейтрализоваться. Это также можно выразить, сказав, что в структуре атома быстро вращается нерезонансный двигатель . $|\omega _{d}-\omega |\gg 0$ $|g\rangle$ $|e\rangle$ $|e\rangle$

Эти концепции проиллюстрированы в таблице ниже, где сфера представляет сферу Блоха , стрелка представляет состояние атома, а рука представляет двигатель.


	Лабораторная рама	Вращающаяся рамка
Резонансный драйв	Резонансный драйв в лабораторной раме	Резонансный драйв в кадре, вращающемся вместе с атомом
Внерезонансный привод	Нерезонансный привод в лабораторной раме	Внерезонансный драйв в раме, вращающейся с атомом

Смещенная рамка [ править ]

Приведенный выше пример также можно было бы проанализировать на картинке взаимодействия. Однако следующий пример труднее проанализировать без общей формулировки унитарных преобразований. Рассмотрим два гармонических осциллятора , между которыми мы хотели бы создать взаимодействие светоделителя ,

$g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b$ .

Это было достигнуто экспериментально с помощью двух резонаторов СВЧ-диапазона, служащих как и . ^[5] Ниже мы делаем набросок анализа упрощенной версии этого эксперимента. $a$ $b$

В дополнении к микроволновым полостям, эксперимент также вовлечен transmon кубит , в сочетание с обоих режимами. Кубит запускается одновременно на двух частотах, и , для которых . $c$ $\omega _{1}$ $\omega _{2}$ $\omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}$

$H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left[\epsilon _{1}e^{i\omega _{1}t}+\epsilon _{2}e^{i\omega _{2}t}\right](c+c^{\dagger }).$

Кроме того, существует много членов четвертого порядка, связывающих моды , но большинством из них можно пренебречь. В этом эксперименте важными станут два таких члена:

$H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c$ .

(Hc - это сокращение от эрмитова сопряженного .) Мы можем применить преобразование смещения к моде ^[^{требуется пояснение}^] . Для получения {{тщательно подобранных амплитуд, это преобразование будет отменена в то же время перемещения оператора лестницы, . Это оставляет нас с $U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$ $c$ $H_{\textrm {drive}}$ $c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}$

$H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$ .

Расширяя это выражение и отбрасывая быстро вращающиеся члены, мы получаем желаемый гамильтониан:

$H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b$ .

Ссылки [ править ]

^ Сакураи, JJ; Наполитано, Джим Дж. (2014). Современная квантовая механика (ред. Индийского субконтинента). Пирсон. С. 67–72. ISBN 978-93-325-1900-8.
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (второе изд.). Пирсон. стр. 24 -29. ISBN 978-0-13-191175-8.
^ Axline, Кристофер Дж. (2018). "Глава 6". Building Blocks for Modular Circuit QED Quantum Computing (PDF) (кандидатская диссертация) . Проверено 4 августа 2018 .
^ a b Сакурай, стр. 346-350.
↑ Ивонн Ю. Гао; Брайан Дж. Лестер; и другие. (21 июня 2018 г.). «Программируемая интерференция между двумя микроволновыми квантовыми воспоминаниями». Phys. Rev. X . 8 (2). Дополнительный материал. arXiv : 1802.08510 . DOI : 10.1103 / PhysRevX.8.021073 .

[1] Сакураи, JJ; Наполитано, Джим Дж. (2014). Современная квантовая механика (ред. Индийского субконтинента). Пирсон. С. 67–72. ISBN 978-93-325-1900-8.

[2] Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (второе изд.). Пирсон. стр. 24 -29. ISBN 978-0-13-191175-8.

[3] Axline, Кристофер Дж. (2018). "Глава 6". Building Blocks for Modular Circuit QED Quantum Computing (PDF) (кандидатская диссертация) . Проверено 4 августа 2018 .

[:0-4] Сакурай, стр. 346-350.

[5] Ивонн Ю. Гао; Брайан Дж. Лестер; и другие. (21 июня 2018 г.). «Программируемая интерференция между двумя микроволновыми квантовыми воспоминаниями». Phys. Rev. X . 8 (2). Дополнительный материал. arXiv : 1802.08510 . DOI : 10.1103 / PhysRevX.8.021073 .

[1]