Сфера Блоха

Сфера Блоха

В квантовой механике и вычислительной технике , то сфера Блох является геометрическим представлением чистого состояния пространства двухуровневый квантовой механической системы ( кубит ), названной в честь физика Феликс Блоха . ^[1]

Квантовая механика математически формулируется в гильбертовом пространстве или проективном гильбертовом пространстве . Чистые состояния квантовой системы соответствуют одномерным подпространствам соответствующего гильбертова пространства (или «точкам» проективного гильбертова пространства). Для двумерный гильбертова пространства, пространство всех таких состояний является комплексным проективной линией ℂℙ ¹ . Это сфера Блоха, также известная математикам как сфера Римана .

Сфера Блоха представляет собой единичную двумерную сферу с противоположными точками, соответствующими паре взаимно ортогональных векторов состояния. Северный и южный полюсы сферы Блоха обычно выбираются так, чтобы соответствовать стандартным базисным векторам и , соответственно, которые, в свою очередь, могут соответствовать, например, состояниям со спином вверх и со спином вниз электрона. Однако этот выбор произвольный. Точки на поверхности сферы соответствуют чистым состояниям системы, а внутренние точки соответствуют смешанным состояниям . ^{[2] [3]} Сфера Блоха может быть обобщена до n${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$-уровневая квантовая система, но тогда визуализация менее полезна.

По историческим причинам в оптике сфера Блоха также известна как сфера Пуанкаре и конкретно представляет различные типы поляризаций . Существует шесть общих типов поляризации, которые называются векторами Джонса . Действительно, Анри Пуанкаре был первым, кто предложил использовать такого рода геометрическое представление в конце 19 века ^[4] в качестве трехмерного представления параметров Стокса .

Естественной метрикой на сфере Блоха является метрика Фубини – Штуди . Отображение из блока 3-сферы в двумерном пространстве состояний ℂ ² к сфере Блох является расслоение Хопфа , причем каждый луч из спинорами привязки к одной точке на сфере Блоха.

Определение [ править ]

Учитывая ортонормированный базис, любое чистое состояние двухуровневой квантовой системы может быть записано как суперпозиция базисных векторов и , где коэффициент или количество каждого из двух базисных векторов является комплексным числом . Это означает, что состояние описывается четырьмя действительными числами. Однако только относительная фаза между коэффициентами двух базисных векторов имеет какой-либо физический смысл, так что в этом описании есть избыточность. Мы можем принять коэффициент при действительном и неотрицательном значении. Это позволяет описать состояние только тремя действительными числами, что дает начало трем измерениям сферы Блоха.${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

Мы также знаем из квантовой механики, что полная вероятность системы должна быть равна единице:

${\ Displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}$, или эквивалентно .${\ Displaystyle {\ big \ |} | \ psi \ rangle {\ big \ |} ^ {2} = 1}$

Учитывая это ограничение, мы можем написать, используя следующее представление:${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, e ^ {i \ phi} \ sin \ left (\ theta / 2 \ right) | 1 \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) \, \ sin \ left (\ theta / 2 \ right ) | 1 \ rangle}$, где и .${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$${\ Displaystyle 0 \ Leq \ phi <2 \ pi}$

Представление всегда уникально, потому что, даже если значение не уникально, когда это один из кет-векторов (см. Обозначение Бра-кет ), или точка, представленная и , уникальна.${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Параметры и , переинтерпретированные в сферических координатах как соответственно широта относительно оси z и долгота относительно оси x , определяют точку${\ displaystyle \ theta \,}$${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

на единичной сфере в .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Для смешанных состояний рассматривается оператор плотности . Любой двумерный плотность оператор ρ может быть расширен с помощью идентичности I и эрмитовой , бесследовые Паули матрицы ,${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$,

где называется вектором Блоха .${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Именно этот вектор указывает точку внутри сферы, которая соответствует данному смешанному состоянию. В частности, в качестве основной характеристики вектора Паули собственные значения ρ равны . Операторы плотности должны быть положительно-полуопределенными, отсюда следует, что .${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

Для чистых состояний тогда

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

в соответствии с вышеизложенным. ^[5]

Как следствие, поверхность сферы Блоха представляет все чистые состояния двумерной квантовой системы, тогда как внутренняя часть соответствует всем смешанным состояниям.

u , v , w представление [ править ]

Вектор Блоха можно представить в следующем базисе со ссылкой на оператор плотности : ^[6]${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

куда

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

Эта основа часто используется в теории лазеров , известной как инверсия населенностей . ^[7] В этом базисе числа представляют собой математические ожидания трех матриц Паули , что позволяет идентифицировать три координаты с осями xy и z.${\displaystyle w}$${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

Чистые состояния [ править ]

Рассмотрим n- уровневую квантово-механическую систему. Эта система описывается n- мерным гильбертовым пространством H _n . Пространство чистых состояний по определению представляет собой набор одномерных лучей H _n .

Теорема . Пусть U ( n ) - группа Ли унитарных матриц размера n . Тогда чистое пространство состояний H _n можно отождествить с компактным пространством смежных классов

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

Чтобы доказать этот факт, заметим, что существует естественное групповое действие U ( n ) на множестве состояний H _n . Это действие непрерывно и транзитивно на чистых состояниях. Для любого состояния , то группа изотропии из , (определяется как множество элементов из U ( п ) такое , что ) изоморфна группе продуктов${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

В терминах линейной алгебры это можно обосновать следующим образом. Любой из U ( n ), который остается неизменным, должен иметь собственный вектор . Поскольку соответствующее собственное значение должно быть комплексным числом по модулю 1, это дает фактор U (1) группы изотропии. Другая часть группы изотропии параметризуется унитарными матрицами на ортогональном дополнении к , которое изоморфно U ( n - 1). Отсюда утверждение теоремы следует из основных фактов о транзитивных групповых действиях компактных групп.${\displaystyle g}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Важно отметить, что унитарная группа транзитивно действует на чистые состояния.

Теперь (реальная) размерность U ( n ) равна n ² . Это легко увидеть, поскольку экспоненциальное отображение

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

является локальным гомеоморфизмом из пространства самосопряженных комплексных матриц в U ( n ). Пространство самосопряженных комплексных матриц имеет вещественную размерность n ² .

Следствие . Реальная размерность чистого пространства состояний H _n равна 2 n - 2.

Фактически,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

Применим это, чтобы рассмотреть реальный размер квантового регистра m кубитов. Соответствующее гильбертово пространство имеет размерность 2 ^м .

Следствие . Реальная размерность чистого пространства состояний m - кубитного квантового регистра составляет 2 ^{m + 1} - 2.

Построение чистых двухспинорных состояний с помощью стереографической проекции [ править ]

Сфера Блоха с центром в начале . Пара точек на нем и была выбрана за основу. Математически они ортогональны, хотя графически угол между ними равен π. В этих точках есть координаты (0,0,1) и (0,0, −1). Произвольный спинор на сфере Блоха можно представить как уникальную линейную комбинацию двух базисных спиноров с коэффициентами, являющимися парой комплексных чисел; назовем их α и β . Пусть будет их соотношение , которое тоже является комплексным числом . Рассмотрим плоскость z  = 0, экваториальную плоскость сферы, как бы комплексную плоскость, и точка u нанесена на нее как${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$${\displaystyle u={\beta \over \alpha }}$${\displaystyle u_{x}+iu_{y}}$${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$. Стереографически спроецируйте точку u на сферу Блоха вдали от Южного полюса - как бы - (0,0, −1). Проекция выполняется на точку, отмеченную на сфере как .${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

Учитывая чистое состояние

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

где и - комплексные числа, которые нормализованы так, что ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

и такие, что и , т. е. такие, что и образуют основу и имеют диаметрально противоположные представления на сфере Блоха, то пусть${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

быть их соотношением.

Если представить себе сферу Блоха вложенной в нее с центром в начале координат и радиусом один, тогда можно представить плоскость z  = 0 (которая пересекает сферу Блоха по большому кругу; как бы экватор сферы) в виде диаграммы Аргана . Нарисуйте точку u на этой плоскости - так, чтобы в ней были координаты .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

Проведите прямую линию через u и через точку на сфере, которая представляет . (Пусть (0,0,1) представляет, а (0,0, −1) представляет .) Эта линия пересекает сферу в другой точке, кроме . (Единственное исключение, когда , то есть, когда и .) Назовем эту точку P . Точка u на плоскости z = 0 является стереографической проекцией точки P на сферу Блоха. Вектор с хвостом в начале координат и концом в точке P - это направление в трехмерном пространстве, соответствующее спинору . Координаты P равны${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle u=\infty }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$.

Примечание: математически сфера Блоха для двухспинорного состояния может рассматриваться как сфера Римана или комплексное 2-мерное проективное гильбертово пространство , обозначаемое как . Комплексное 2-мерное гильбертово пространство (которое является проекцией) является пространством представления SO (3) . ^[8]${\displaystyle \mathbb {P} \mathbf {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} \mathbf {H} ^{2}}$

Операторы плотности [ править ]

Формулировки квантовой механики в терминах чистых состояний подходят для изолированных систем; в целом квантово-механические системы необходимо описывать в терминах операторов плотности . Сфера Блоха параметризует не только чистые состояния, но и смешанные состояния для двухуровневых систем. Оператор плотности, описывающий смешанное состояние двухуровневой квантовой системы (кубита), соответствует точке внутри сферы Блоха со следующими координатами:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

где - вероятность отдельных состояний в ансамбле, - координаты отдельных состояний (на поверхности сферы Блоха). Набор всех точек на сфере Блоха и внутри нее известен как шар Блоха.${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

Для состояний более высоких измерений трудно распространить это на смешанные состояния. Топологическое описание осложняется тем, что унитарная группа не действует транзитивно на операторы плотности. Более того, орбиты чрезвычайно разнообразны, как следует из следующего наблюдения:

Теорема . Предположим, что A - оператор плотности на квантово-механической системе уровня n , различные собственные значения которой равны μ ₁ , ..., μ _k с кратностями n ₁ , ..., n _k . Тогда группа унитарных операторов V таких, что VAV * = A , изоморфна (как группа Ли) группе

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

В частности, орбита A изоморфна

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

Можно обобщить конструкцию шара Блоха на размеры больше 2, но геометрия такого «тела Блоха» более сложна, чем у шара. ^[9]

Вращения [ править ]

Полезным преимуществом представления сферы Блоха является то, что эволюция состояния кубита описывается вращениями сферы Блоха. Наиболее краткое объяснение того, почему это так, состоит в том, что алгебра Ли для группы унитарных и эрмитовых матриц изоморфна алгебре Ли группы трехмерных вращений . ^[10]${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SO(3)}$

Операторы вращения относительно базиса Блоха [ править ]

Повороты сферы Блоха вокруг декартовых осей в базисе Блоха даются формулами ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Вращения вокруг общей оси [ править ]

Если - действительный единичный вектор в трех измерениях, вращение сферы Блоха вокруг этой оси определяется выражением:${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

Интересно отметить, что это выражение идентично расширенной формуле Эйлера для кватернионов при переименовании .

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Вывод генератора вращения Блоха [ править ]

Баллентин ^[12] представляет интуитивный вывод инфинитезимального унитарного преобразования. Это важно для понимания того, почему вращения сфер Блоха являются экспонентами линейных комбинаций матриц Паули . Поэтому здесь дается краткое описание этого вопроса. Более полное описание в квантовомеханическом контексте можно найти здесь .

Рассмотрим семейство унитарных операторов, представляющих вращение вокруг некоторой оси. Поскольку вращение имеет одну степень свободы, оператор действует на поле скаляров так , что:${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

Где ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

Мы определяем бесконечно малую унитарную как разложение Тейлора, усеченное во втором порядке.

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{dS}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

По унитарному условию:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

Следовательно

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{dS}}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

Чтобы это равенство выполнялось (предполагая, что оно незначительно), мы требуем${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{dS}}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}=0}$.

Это приводит к решению формы:

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}=iK}$

Где - унитарное эрмитово преобразование, и называется генератором унитарного семейства.${\displaystyle K}$

Следовательно:

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

Поскольку матрицы Паули являются унитарными эрмитовыми матрицами и имеют собственные векторы, соответствующие базису Блоха , мы, естественно, можем увидеть, как вращение сферы Блоха вокруг произвольной оси описывается формулой${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

С генератором вращения, заданным ${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные со сферами Блоха .

• Конкретные реализации сферы Блоха перечислены в статье о кубитах .
• Атомный электронный переход
• Гировекторное пространство
• Версоры

Ссылки [ править ]