Квантовая система с двумя состояниями

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Квантовая система с двумя состояниями»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Пучок электрически нейтральных атомов серебра через неоднородное магнитное поле в эксперименте Штерна-Герлаха разделяется на два, каждое из которых соответствует одному возможному значению спина самого дальнего электрона атома серебра.

В квантовой механике система с двумя состояниями (также известная как двухуровневая система ) - это квантовая система, которая может существовать в любой квантовой суперпозиции двух независимых (физически различимых) квантовых состояний . Гильбертово пространство описания такой системы является двух- мерным . Следовательно, полный базис, охватывающий пространство, будет состоять из двух независимых состояний. Любую систему с двумя состояниями также можно рассматривать как кубит .

Системы с двумя состояниями - это простейшие квантовые системы, которые могут существовать, поскольку динамика системы с одним состоянием тривиальна (т.е. нет другого состояния, в котором система может существовать). Математическая основа, необходимая для анализа систем с двумя состояниями, - это линейные дифференциальные уравнения и линейная алгебра двумерных пространств. В результате динамика системы с двумя состояниями может быть решена аналитически без какого-либо приближения. Общее поведение системы состоит в том, что амплитуда волновой функции колеблется между двумя состояниями.

Очень хорошо известным примером двух состояний системы является спин из спин-1/2 частицы , такие как электрон, чей спин может иметь значения + ħ / 2 или - ħ / 2, где ħ является приведенная постоянная Планка .

Система с двумя состояниями не может использоваться для описания поглощения или распада, потому что такие процессы требуют связи с континуумом. Такие процессы будут включать экспоненциальное затухание амплитуд, но решения системы с двумя состояниями являются колебательными.

Аналитические решения для энергий стационарного состояния и зависимости от времени [ править ]

Представление [ править ]

Предположим, что двумя доступными базисными состояниями системы являются и , тогда в общем случае состояние можно записать как суперпозицию этих двух состояний с амплитудами вероятности :${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 2 \ rangle}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = c_ {1} | 1 \ rangle + c_ {2} | 2 \ rangle}$

Так как базисные состояния ортонормированы , где и - дельта Кронекера , поэтому . Эти два комплексных числа можно рассматривать как координаты в двумерном комплексном гильбертовом пространстве . ^[1] Таким образом, вектор состояния, соответствующий состоянию, равен ${\ displaystyle \ langle i | j \ rangle = \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle i, j \ in {1,2}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle c_ {i} = \ langle i | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ Equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | \ psi \ rangle \\\ langle 2 | \ psi \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c_ {1 } \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = c_ {1} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + c_ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ конец {pmatrix}} = \ mathbf {c}}$

а базисные состояния соответствуют базисным векторам, и . ${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

Если состояние будет нормализована , то норма о statevector равна единице, то есть . ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$

Все наблюдаемые физические величины , такие как энергия, связаны с эрмитовыми операторами . В случае энергии и соответствующего гамильтониана , таким путем , то есть и настоящие, и . Таким образом, эти четыре матричных элемента образуют эрмитову матрицу 2 2 . ${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*}}$${\displaystyle H_{11}}$${\displaystyle H_{22}}$${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$${\displaystyle H_{ij}}$${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}}$.

Не зависящее от времени уравнение Шрёдингера утверждает, что , и заменяя его в терминах базисных состояний сверху, и предварительно умножая обе части на или дает систему двух линейных уравнений, которые могут быть записаны в матричной форме${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle 1|}$${\displaystyle \langle 2|}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}}$

или которая является проблемой собственных значений матрицы 2 2 и собственных векторов . Из-за того, что собственные значения являются реальными, или, скорее, наоборот, именно требование, чтобы энергии были реальными, подразумевает скрытность . Собственные векторы представляют собой стационарные состояния , то есть те, для которых абсолютная величина квадратов амплитуд вероятностей не меняется со временем.${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$

Собственные значения гамильтониана [ править ]

Наиболее общий вид эрмитовой матрицы 2 2, такой как гамильтониан системы с двумя состояниями, имеет вид${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\epsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\epsilon _{2}\end{pmatrix}}}$

где и - действительные числа с единицами энергии. Разрешенные уровни энергии системы, а именно собственные значения матрицы гамильтониана, можно найти обычным способом.${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\beta }$${\displaystyle \gamma }$

В качестве альтернативы эта матрица может быть разложена как,

${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}}$

Вот и настоящие числа. Матрица - это единичная матрица 2 2, а матрицы - это матрицы Паули . Это разложение упрощает анализ системы, особенно в случае, когда значения и являются константами, не зависящими от времени .${\displaystyle \alpha ={\frac {(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}{2}}}$${\displaystyle \delta ={\frac {(\epsilon _{1}-\epsilon _{2})}{2}}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle (k=1,2,3)}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle \delta }$

Гамильтониан можно записать еще более компактно:

${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot \mathbf {\sigma } }$

Вектор задается и определяется . Это представление упрощает анализ эволюции системы во времени и его легче использовать с другими специализированными представлениями, такими как сфера Блоха .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

Если независимый от времени гамильтониан системы с двумя состояниями определяется, как указано выше, то его собственные значения задаются выражением . Очевидно , это средняя энергия двух уровней, а норма в это расщепление между ними. Соответствующие собственные векторы обозначены и .${\displaystyle H}$${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |-\rangle }$

Временная зависимость [ править ]

Теперь предположим, что амплитуды вероятностей зависят от времени, а базисные состояния - нет. Уравнение Шредингера, зависящее от времени, устанавливает и действует как раньше (замена и предварительное умножение на снова дает пару связанных линейных уравнений, но на этот раз они являются уравнениями в частных производных первого порядка:. Если время не зависит, существует несколько подходов, чтобы найти зависимость от времени , например, в нормальных режимах . В результате ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}}$.

где находится вектор состояний . Здесь экспоненту матрицы можно найти из разложения в ряд. Матрица называется матрицей временной эволюции (которая включает матричные элементы соответствующего оператора временной эволюции ). Легко доказать, что он унитарен , то есть . Можно показать, что ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$

${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }(\cos(|\mathbf {r} |t/\hbar )\sigma _{0}-i\sin(|\mathbf {r} |t/\hbar ){\hat {r}}\cdot \mathbf {\sigma } )}$

где . ${\displaystyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}}$

Когда один изменяет основу для собственных векторов гамильтониана, иными словами, если базисные состояния выбираются собственные векторы , то и поэтому гамильтониан диагоналей, то есть и формы,${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}};}$

Теперь легко увидеть, что оператор унитарной временной эволюции задается следующим образом:${\displaystyle U}$

${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }(\cos(\delta t/\hbar )\sigma _{0}-i\sin(\delta t/\hbar )\mathbf {\sigma } _{3})}$

Фактор способствует только к общей фазе оператора и обычно может быть проигнорирован , чтобы получить новый оператор эволюции времени, которое физически неотличим от исходного оператора. Более того, любое возмущение системы (которое будет иметь ту же форму, что и гамильтониан) может быть добавлено к системе в собственном базисе невозмущенного гамильтониана и проанализировано так же, как и выше. Следовательно, для любого возмущения новые собственные векторы возмущенной системы могут быть решены точно, как упомянуто во введении.${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$

Формула Раби для статического возмущения [ править ]

Предположим, что система начинается в одном из базовых состояний , скажем так , и нас интересует вероятность заполнения каждого из базовых состояний как функция времени, когда является независимым от времени гамильтонианом.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}}$

Вероятность оккупации государства есть . В случае исходного состояния, и сверху, . Следовательно ${\displaystyle i}$${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}(\cos(|\mathbf {r} |t/\hbar )-i\sin(|\mathbf {r} |t/\hbar ){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}})}$

${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}}$

Очевидно, из-за начального состояния. Частота называется обобщенной частотой Раби, называется частотой Раби и называется расстройкой. При нулевой расстройке, то есть происходит переход Раби от гарантированного занятия состояния 1 к гарантированному заполнению состояния 2 и обратно в состояние 1 и т. Д. С частотой . По мере увеличения расстройки от нуля частота флопа увеличивается (до ), а амплитуда уменьшается до . ${\displaystyle P_{1}(0)=1}$${\displaystyle \Omega =|\mathbf {r} |/\hbar ={\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}/\hbar ={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$${\displaystyle |\Omega _{R}|}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle 1-\Delta ^{2}/\Omega ^{2}}$

См. Также цикл Раби и приближение вращающейся волны для зависимых от времени гамильтонианов, индуцированных световыми волнами.

Некоторые важные системы с двумя состояниями [ править ]

Прецессия в поле [ править ]

Рассмотрим случай частицы со спином 1/2 в магнитном поле . Гамильтониан взаимодействия для этой системы равен${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$

где это величина частицы магнитного момента и представляет собой вектор матриц Паули . Решение зависящего от времени уравнения Шредингера дает${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$

${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$

где и . Физически это соответствует прецессии вектора Блоха с угловой частотой . Без ограничения общности предположим, что поле однородно в точках , так что оператор временной эволюции задается как${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle 2\omega }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$

Можно видеть, что такой оператор временной эволюции, действующий на общее состояние спина частицы со спином 1/2, приведет к прецессии вокруг оси, определяемой приложенным магнитным полем (это квантово-механический эквивалент ларморовской прецессии ) ^{[ 2]}

Вышеупомянутый метод может быть применен к анализу любой типовой системы с двумя состояниями, которая взаимодействует с некоторым полем (эквивалентным магнитному полю в предыдущем случае), если взаимодействие задается подходящим членом связи, аналогичным магнитному моменту . Прецессию вектора состояния (которая не обязательно должна быть физическим вращением, как в предыдущем случае) можно рассматривать как прецессию вектора состояния на сфере Блоха .

Представление на сфере Блоха для вектора состояния будет просто вектором ожидаемых значений . В качестве примера рассмотрим вектор состояния, который является нормализованной суперпозицией и , то есть вектор, который может быть представлен в базисе как${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$

Компоненты на сфере Блоха будут просто . Это единичный вектор, который начинает указывать и прецессирует в левом направлении. В общем, вращением вокруг любой вектор состояния может быть представлен как с действительными коэффициентами и . Такой вектор состояния соответствует вектору Блоха в плоскости xz, составляющему угол с осью z . Этот вектор продолжит прецессию вокруг . Теоретически, позволяя системе взаимодействовать с полем определенного направления и силы в течение определенных промежутков времени, можно получить любую ориентацию вектора Блоха.${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, что равносильно получению любой сложной суперпозиции. Это основа для множества технологий, включая квантовые вычисления и МРТ .

Эволюция в поле, зависящее от времени: Ядерный магнитный резонанс [ править ]

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) является важным примером динамики систем с двумя состояниями, поскольку он включает точное решение зависящего от времени гамильтониана. Явление ЯМР достигается помещением ядра в сильное статическое поле B ₀ («удерживающее поле») и последующим приложением слабого поперечного поля B _1, которое колеблется на некоторой радиочастоте ω _r . ^{[3] В} явном виде рассмотрим частицу со спином 1/2 в удерживающем поле и поперечное РЧ поле B _1, вращающееся в плоскости xy вправо вокруг B ₀ :${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$

Как и в случае свободной прецессии, гамильтониан равен , а эволюция вектора состояния находится путем решения нестационарного уравнения Шредингера . После некоторых манипуляций (приведенных в свернутом разделе ниже) можно показать, что уравнение Шредингера принимает вид${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$

где и .${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$

Как и в предыдущем разделе, решение этого уравнения имеет прецессию вектора Блоха с частотой, в два раза превышающей величину вектора. Если он достаточно сильный, некоторая часть спинов будет направлена ​​прямо вниз до введения вращающегося поля. Если угловая частота вращающегося магнитного поля выбрана так, что во вращающейся системе координат вектор состояния будет прецессировать с частотой и, таким образом, будет переключаться с вниз на вверх, высвобождая энергию в виде обнаруживаемых фотонов ^{[ необходима цитата ]} . Это фундаментальная основа ЯМР , и на практике это достигается путем сканирования${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle 2\omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{r}}$пока не будет найдена резонансная частота, при которой образец будет излучать свет. Подобные расчеты проводятся в атомной физике, и в случае, когда поле не вращается, а колеблется с комплексной амплитудой, для получения таких результатов используется приближение вращающейся волны .

Связь с уравнениями Блоха [ править ]

Эти оптические уравнения Блоха для сбора спина-1/2 частиц могут быть получены из уравнения времени зависит Шредингер для системы из двух уровней. Исходя из ранее сформулированного гамильтониана , его можно записать в суммирующих обозначениях после некоторой перестановки как${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$

Умножение на матрицу Паули и сопряженное транспонирование волновой функции с последующим разложением произведения двух матриц Паули дает${\displaystyle \sigma _{i}}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$

Добавление этого уравнения к его собственному сопряженному транспонированию дает левую часть формы

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$

И правая часть формы

${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$

Как упоминалось выше, среднее значение каждой матрицы Паули является компонентом вектора Блоха , . Приравнивая левую и правую части и отмечая, что это гиромагнитное отношение , получаем другую форму для уравнений движения вектора Блоха${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$

где тот факт, что был использован. В векторной форме эти три уравнения могут быть выражены через перекрестное произведение${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial t}}=\gamma {\vec {R}}\times {\vec {B}}}$

Классически это уравнение описывает динамику спина в магнитном поле. Идеальный магнит состоит из набора идентичных спинов, ведущих себя независимо, и, таким образом, общая намагниченность пропорциональна вектору Блоха . Все, что осталось для получения окончательной формы оптических уравнений Блоха, - это учет феноменологических релаксационных членов.${\displaystyle {\vec {M}}}$ ${\displaystyle {\vec {R}}}$

В заключение, приведенное выше уравнение может быть получено путем рассмотрения временной эволюции оператора углового момента в картине Гейзенберга .

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=[\sigma _{j},H]=[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$

В сочетании с тем, что это уравнение является тем же уравнением, что и раньше.${\displaystyle {\vec {R_{i}}}=\langle \sigma _{i}\rangle }$

Срок действия [ править ]

Системы с двумя состояниями - это простейшие нетривиальные квантовые системы, встречающиеся в природе, но вышеупомянутые методы анализа применимы не только для простых систем с двумя состояниями. Любую общую квантовую систему с несколькими состояниями можно рассматривать как систему с двумя состояниями, если наблюдаемая система имеет два собственных значения. Например, частица со спином 1/2 в действительности может иметь дополнительные поступательные или даже вращательные степени свободы, но эти степени свободы не имеют отношения к предыдущему анализу. Математически неучтенные степени свободы соответствуют вырождению собственных значений спина.

Другой случай, когда применим эффективный формализм двух состояний, - это когда рассматриваемая система имеет два уровня, которые эффективно отделены от системы. Так обстоит дело при анализе спонтанного или вынужденного излучения света атомами и зарядовых кубитов . В этом случае следует иметь в виду, что возмущения (взаимодействия с внешним полем) находятся в нужном диапазоне и не вызывают переходов в состояния, отличные от тех, которые представляют интерес.

Значение и другие примеры [ править ]

С педагогической точки зрения формализм двух состояний является одним из простейших математических методов, используемых для анализа квантовых систем. Его можно использовать для иллюстрации фундаментальных квантово-механических явлений, таких как интерференция, проявляемая частицами состояний поляризации фотона ^[4], а также более сложных явлений, таких как осцилляция нейтрино или осцилляция нейтрального K-мезона .

Формализм двух состояний может использоваться для описания простого смешивания состояний, которое приводит к таким явлениям, как стабилизация резонанса и другие симметрии, связанные с пересечением уровней . Подобные явления находят широкое применение в химии. Явления с огромными промышленными применениями, такими как мазеры и лазеры, можно объяснить с помощью формализма двух состояний.

Формализм двух состояний также составляет основу квантовых вычислений . Кубиты , которые являются строительными блоками квантового компьютера, представляют собой не что иное, как системы с двумя состояниями. Любая квантовая вычислительная операция - это унитарная операция, которая вращает вектор состояния на сфере Блоха.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Прекрасное описание формализма двух состояний и его применение почти ко всем приложениям, упомянутым в этой статье, представлено в третьем томе Лекций Фейнмана по физике .
• Следующий набор лекций охватывает необходимую математику, а также более подробно рассматривает несколько примеров:
  • из курса квантовой механики II, предлагаемого в Массачусетском технологическом институте , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • из того же курса, посвященного колебаниям нейтральных частиц, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • из курса квантовой механики I, предлагаемого в TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf охватывает основы математики
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf  ; из того же курса рассматриваются некоторые физические системы с двумя состояниями и другие важные аспекты формализма.
  • математика в начальном разделе выполняется аналогично этим заметкам http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf , которые взяты из курса « Квантовая механика для математиков», предлагаемого в Колумбийском университете. .
  • книжная версия того же; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • Системы с двумя состояниями и сфера, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973) 55-58

См. Также [ править ]

• Цикл Раби
• Дублет
• Ядерный магнитный резонанс
• Квантовая оптика

Ссылки [ править ]