Параметры Стокса

Параметры Стокса - это набор значений, описывающих состояние поляризации электромагнитного излучения . Они были определены Джорджем Габриэлем Стоксом в 1852 году ^{[1] [2]} как математически удобная альтернатива более распространенному описанию некогерентного или частично поляризованного излучения с точки зрения его полной интенсивности ( I ), (дробной) степени поляризации ( p ), а параметры формы эллипса поляризации. Влияние оптической системы на поляризацию света можно определить путем построения вектора Стокса для входящего света и применения исчисления Мюллера для получения вектора Стокса света, покидающего систему. Оригинальная статья Стокса была открыта независимо Фрэнсисом Перреном в 1942 г. ^[3] и Субрахаманьяном Чандрасекаром в 1947 г. ^{[4] [5],} который назвал ее параметрами Стокса.

Определения [ править ]

Эллипс поляризации, показывающий связь с параметрами сферы Пуанкаре ψ и χ.

Сфера Пуанкаре является параметризация последних трех параметров Стокса в сферических координатах .

Изображение состояний поляризации на сфере Пуанкаре

Связь параметров Стокса S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ с параметрами эллипса интенсивности и поляризации показана в уравнениях ниже и на рисунке справа.

${\ Displaystyle {\ begin {align} S_ {0} & = I \\ S_ {1} & = Ip \ cos 2 \ psi \ cos 2 \ chi \\ S_ {2} & = IP \ sin 2 \ psi \ cos 2 \ chi \\ S_ {3} & = Ip \ sin 2 \ chi \ end {выровнено}}}$

Here , и являются сферическими координатами из трехмерного вектора декартовых координат . - полная интенсивность луча; - степень поляризации, ограниченная . Фактор два перед представлением факта, что любой эллипс поляризации неотличим от эллипса, повернутого на 180 °, в то время как множитель два перед перед ним указывает, что эллипс неотличим от эллипса с измененными длинами полуосей и поворотом на 90 °. Фазовая информация поляризованного света не записывается в параметрах Стокса. Четыре параметра Стокса иногда обозначают I , Q , U${\ displaystyle Ip}$${\displaystyle 2\psi }$${\displaystyle 2\chi }$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \chi }$и V соответственно.

Учитывая параметры Стокса, можно решить сферические координаты с помощью следующих уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Векторы Стокса [ править ]

Параметры Стокса часто объединяются в вектор, известный как вектор Стокса :

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного света. Для сравнения, вектор Джонса охватывает только пространство полностью поляризованного света, но более полезен для задач, связанных с когерентным светом. Четыре параметра Стокса не являются предпочтительной системой координат пространства, а были выбраны потому, что их легко измерить или вычислить.

Обратите внимание на неоднозначный знак для компонента в зависимости от используемого физического соглашения. На практике используются два отдельных соглашения: либо определение параметров Стокса при взгляде вниз по лучу в сторону источника (противоположное направлению распространения света), либо при взгляде вниз по лучу в сторону от источника (совпадающему с направлением распространения света). Эти два соглашения приводят к разным знакам , и соглашение должно быть выбрано и соблюдено.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Примеры [ править ]

Ниже показаны некоторые векторы Стокса для общих состояний поляризации света.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (горизонтальный)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (вертикальный)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (+ 45 °)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (-45 °)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	Правая круговая поляризация
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	Левая круговая поляризация
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Неполяризованный

Альтернативное объяснение [ править ]

Монохроматическая плоская волна определяются ее вектором распространения , и в комплексных амплитудах в электрическом поле , и , в основе . Эта пара называется вектором Джонса . В качестве альтернативы, можно указать вектор распространения, на фазу , и состояние поляризации, где это кривая прослежена путем электрического поля как функцию времени в фиксированной плоскости. Наиболее известные состояния поляризации - это линейные и круговые, которые представляют собой вырожденные случаи самого общего состояния, эллипса .${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$

Один из способов описать поляризацию - задать большую и малую полуоси эллипса поляризации, его ориентацию и направление вращения (см. Рисунок выше). Параметры Стокса , , , и , обеспечить альтернативное описание состояния поляризации , которая является экспериментально удобно , поскольку каждый параметр соответствует сумме или разности измеряемых интенсивностей. На следующем рисунке показаны примеры параметров Стокса в вырожденных состояниях.${\displaystyle I}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Определения [ править ]

Параметры Стокса определены ^{[ ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

где нижние индексы относятся к трем различным базам пространства векторов Джонса : стандартный декартов базис ( ), декартов базис, повернутый на 45 ° ( ), и круговой базис ( ). Круглая основа определяются таким образом , что , .${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$

Символы ⟨⋅⟩ представляют собой ожидаемые значения . Свету можно рассматривать как случайную величину , принимающие значения в пространстве С ² из векторов Джонса . Любое данное измерение дает определенную волну (с определенной фазой, эллипсом поляризации и величиной), но она продолжает мерцать и колебаться между разными результатами. Ожидаемые значения представляют собой различные средние значения этих результатов. Интенсивный, но неполяризованный свет будет иметь I > 0, но Q = U = V = 0, отражая, что никакой тип поляризации не преобладает. Убедительная форма волны изображена в статье о когерентности .${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

Противоположным ему будет идеально поляризованный свет, который, кроме того, имеет фиксированную неизменяющуюся амплитуду - чистую синусоидальную кривую. Это представлено случайной величиной, скажем, с одним возможным значением . В этом случае можно заменить скобки полосами абсолютных значений, получив четко определенную квадратичную карту ^{[ необходима ссылка ]}${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

от векторов Джонса к соответствующим векторам Стокса; более удобные формы приведены ниже. Карта принимает свой образ в конусе, определяемом | Я | ² = | Q | ² + | U | ² + | V | ² , где чистота состояния p = 1 (см. Ниже).

На следующем рисунке показано, как знаки параметров Стокса определяются спиральностью и ориентацией большой полуоси эллипса поляризации.

Представления в фиксированных базах [ править ]

В базисе fixed ( ) параметры Стокса при использовании соглашения о возрастании фазы равны${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

в то время как они${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

и потому что они${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Свойства [ править ]

Для чисто монохроматического когерентного излучения из приведенных выше уравнений следует, что

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

тогда как для всего (некогерентного) излучения пучка параметры Стокса определяются как усредненные величины, а предыдущее уравнение становится неравенством: ^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Однако мы можем определить полную интенсивность поляризации , так что${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

где - полная доля поляризации.${\displaystyle I_{p}/I}$

Определим комплексную интенсивность линейной поляризации как

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

При повороте эллипса поляризации можно показать, что и инвариантны, но${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Обладая этими свойствами, параметры Стокса можно рассматривать как составляющие три обобщенных интенсивности:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

где - полная интенсивность, - интенсивность круговой поляризации, - интенсивность линейной поляризации. Полная интенсивность поляризации равна , а ориентация и направление вращения задаются выражением${\displaystyle I}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |L|}$${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Поскольку и , мы имеем${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

Связь с эллипсом поляризации [ править ]

В терминах параметров эллипса поляризации параметры Стокса равны

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Обращение предыдущего уравнения дает

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta =&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Связь с эрмитовыми операторами и квантовыми смешанными состояниями [ править ]

С геометрической и алгебраической точки зрения параметры Стокса находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым выпуклым 4-вещественным конусом неотрицательных эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве C ² . Параметр I служит следом оператора, тогда как элементы матрицы оператора представляют собой простые линейные функции четырех параметров I , Q , U , V , служащих коэффициентами в линейной комбинации операторов Стокса . Собственные значения и собственные векторы оператора могут быть вычислены из параметров эллипса поляризации I , p , ψ ,χ .

Параметры Стокса с I, установленным равным 1 (т.е. операторы следа 1), находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым единичным трехмерным шаром смешанных состояний (или операторов плотности ) квантового пространства C ² , граница которого Блох сферу . В Jones векторы соответствуют подстилающей пространства C ² , то есть, (ненормализованные) чистые состояния одной и той же системы. Обратите внимание, что фазовая информация теряется при переходе от чистого состояния | φ⟩ к соответствующему смешанному состоянию | φ⟩⟨φ |, точно так же, как она теряется при переходе от вектора Джонса к соответствующему вектору Стокса.

См. Также [ править ]

• Исчисление Мюллера
• Исчисление Джонса
• Поляризация (волны)
• Модель неба Рэлея
• Операторы Стокса
• Поляризационное смешение

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Коллетт, Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• Уильям Х. Макмастер (1954). «Поляризация и параметры Стокса». Являюсь. J. Phys . 22 : 351. Bibcode : 1954AmJPh..22..351M . DOI : 10.1119 / 1.1933744 .
• Уильям Х. Макмастер (1961). «Матричное представление поляризации». Ред. Мод. Phys . 33 : 8. Bibcode : 1961RvMP ... 33 .... 8M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.33.8 .

Внешние ссылки [ править ]