Исчисление Джонса

В оптике , поляризованный свет может быть описан с помощью исчисления Джонса , обнаруженного RC Джонс в 1941 году поляризованного света представлен вектором Джонса , и линейные оптические элементы представлены Jones матриц . Когда свет проходит через оптический элемент, результирующая поляризация выходящего света определяется путем произведения матрицы Джонса оптического элемента и вектора Джонса падающего света. Обратите внимание, что исчисление Джонса применимо только к уже полностью поляризованному свету. Свет, который является случайно поляризованным, частично поляризованным или некогерентным, должен обрабатываться с помощью исчисления Мюллера .

Вектор Джонса [ править ]

Вектор Джонса описывает поляризацию света в свободном пространстве или другой однородной изотропной неослабляющей среде, где свет можно правильно описать как поперечные волны . Предположим, что плоская монохроматическая волна света распространяется в положительном направлении по оси z , с угловой частотой ω и волновым вектором k = (0,0, k ), где волновое число k = ω / c . Тогда электрическое и магнитное поля E и H ортогональны kв каждой точке; они оба лежат в плоскости, «поперечной» направлению движения. Кроме того, H определяется из E поворотом на 90 градусов и фиксированным множителем, зависящим от волнового сопротивления среды. Таким образом, поляризация света может быть определена путем изучения E . Комплексная амплитуда E записывается

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {x} (t) \\ E_ {y} (t) \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i ( kz- \ omega t + \ phi _ {x})} \\ E_ {0y} e ^ {i (kz- \ omega t + \ phi _ {y})} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i \ phi _ {x}} \\ E_ {0y} e ^ {i \ phi _ {y}} \\ 0 \ end {pmatrix}} e ^ {i (kz - \ omega t)}.}$

Обратите внимание, что физическое поле E является действительной частью этого вектора; комплексный множитель предоставляет информацию о фазе. Вот это мнимая единица с .${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

Вектор Джонса

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i \ phi _ {x}} \\ E_ {0y} e ^ {i \ phi _ {y}} \ end {pmatrix}}.}$

Таким образом, вектор Джонса представляет амплитуду и фазу электрического поля в направлениях x и y .

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонентов векторов Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно для упрощения в начальной точке вычислений его нормализуют до 1. Также принято ограничивать первый компонент векторов Джонса действительным числом . Это отбрасывает общую информацию о фазе, которая может потребоваться для расчета взаимных помех с другими лучами.

Обратите внимание, что все векторы и матрицы Джонса в этой статье используют соглашение, согласно которому задается фаза световой волны , соглашение, используемое Хехтом. Согласно этому соглашению, увеличение (или ) указывает на замедление (задержку) по фазе, а уменьшение указывает на продвижение по фазе. Например, компонент векторов Джонса в ( ) указывает замедление на (или 90 градусов) по сравнению с 1 ( ). Круговая поляризация, описанная в соответствии с соглашением Джонса, называется: «С точки зрения приемника». Коллетт использует противоположное определение фазы (${\ displaystyle \ phi = kz- \ omega t}$${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle = е ^ {я \ пи / 2}}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle =e^{0}}$${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$). Круговая поляризация, описанная в соответствии с соглашением Коллетта, называется: «С точки зрения источника». Читателю следует с осторожностью относиться к выбору условных обозначений при обращении к источникам по исчислению Джонса.

В следующей таблице приведены 6 общих примеров нормализованных векторов Джонса.

Поляризация	Вектор Джонса	Типичная кет- запись
Линейный поляризовано в й направлении обычно называется «горизонтальный»	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
Линейная поляризация в направлении y Обычно называется «вертикальной»	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
Линейная поляризация под углом 45 ° от оси x Обычно называется «диагональной» L + 45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +|V\rangle {\big )}}$
Линейная поляризация под углом -45 ° от оси x Обычно называется «антидиагональной» L-45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -|V\rangle {\big )}}$
Правая круговая поляризация Обычно называется "RCP" или "RHCP"	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -i|V\rangle {\big )}}$
Левая круговая поляризация Обычно называется "LCP" или "LHCP"	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +i|V\rangle {\big )}}$

Общий вектор, указывающий на любое место на поверхности, записывается как кет . При использовании сферы Пуанкаре (также известной как сфера Блоха ) базисные кеты ( и ) должны быть назначены противостоящим ( антиподальным ) парам кетов, перечисленных выше. Например, можно присвоить = и = . Эти назначения произвольны. Противостоящие пары${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$

• ${\displaystyle |H\rangle }$ и ${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$ и ${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$ и ${\displaystyle |L\rangle }$

Поляризация любой точки, не равной или не находящейся на проходящем круге, называется эллиптической поляризацией .${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$

Матрицы Джонса [ править ]

Матрицы Джонса - это операторы, которые действуют на векторы Джонса, определенные выше. Эти матрицы реализуются различными оптическими элементами, такими как линзы, светоделители, зеркала и т. Д. Каждая матрица представляет собой проекцию на одномерное комплексное подпространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный поляризатор с горизонтальной осью пропускания [1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания [1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания ± 45 ° по горизонтали [1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью передачи под углом от горизонтали [1]${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\sin(\theta )\\\cos(\theta )\sin(\theta )&\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}}$
Правый круговой поляризатор [1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
Левый круговой поляризатор [1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$

Фазовые замедлители [ править ]

Фазовые замедлители вносят фазовый сдвиг между вертикальной и горизонтальной составляющими поля и, таким образом, изменяют поляризацию луча. Фазовые замедлители обычно изготавливаются из двулучепреломляющих одноосных кристаллов, таких как кальцит , MgF ₂ или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну ось кристалла, которая отличается от двух других осей кристалла (т.е. n _i ≠ n _j = n _k ). Эта уникальная ось называется необычной осью или оптической осью.. Оптическая ось может быть быстрой или медленной осью кристалла в зависимости от кристалла. Свет распространяется с более высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эта ось называется быстрой осью. Точно так же ось с наибольшим показателем преломления называется медленной осью, поскольку фазовая скорость света вдоль этой оси наименьшая. «Отрицательные» одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO ₃ , сапфир Al ₂ O ₃ ) имеют n _e < n _o, поэтому для этих кристаллов необычная ось (оптическая ось) является быстрой осью, тогда как для «положительных» одноосных кристаллов (например, ,кварца SiO ₂ , фторида магния MgF ₂ , рутила TiO ₂ ), n _e > n _o и, таким образом, необычная ось (оптическая ось) является медленной осью.

Любой фазовый замедлитель с быстрой осью, равной оси x или y, имеет ноль недиагональных членов и, таким образом, может быть удобно выражен как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

где и фазовые сдвиги электрических полей и направлений соответственно. В соглашении о фазах определите относительную фазу между двумя волнами как . Тогда положительный результат (то есть > ) означает, что он не достигает того же значения, что и в более позднее время, то есть ведет . Аналогично, если , то ведет .${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \phi _{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \phi _{y}}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle \epsilon <0}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$

Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальна, то фазовая скорость в горизонтальном направлении опережает вертикальное направление, т. Е. Опережает . Таким образом, что для четвертьволновой пластины уступает .${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$

В противоположном соглашении определите относительную фазу как . Тогда означает, что это не достигает того же значения, что и в более позднее время, то есть ведет .${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$

Фазовые замедлители	Соответствующая матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с быстрой вертикальной осью [2] [примечание 1]	${\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой горизонтальной осью [2]	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом к горизонтальной оси${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом к горизонтальной оси [3]${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Произвольный двулучепреломляющий материал (как фазовый замедлитель) [4]	${\displaystyle e^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +e^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-e^{i\eta }\right)e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-e^{i\eta }\right)e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +e^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

Специальные выражения для фазовых замедлителей можно получить, взяв подходящие значения параметров в общем выражении для двулучепреломляющего материала. В общем выражении:

• Относительное запаздывание фазы, индуцированное между быстрой осью и медленной осью, определяется выражением ${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$ - ориентация быстрой оси относительно оси x.
• ${\displaystyle \phi }$ это округлость.

Обратите внимание, что для линейных замедлителей = 0 и для круговых замедлителей = ± / 2, = / 4. Обычно для эллиптических замедлителей принимает значения от - / 2 до / 2.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Элементы с осевым вращением [ править ]

Предположим, что оптическая ось оптического элемента ^{[ требуется пояснение ]} перпендикулярна вектору поверхности для плоскости падения ^{[ требуется пояснение ]} и вращается вокруг этого вектора поверхности на угол θ / 2 (т. Е. Главная плоскость, ^{[ требуется пояснение ]} через через которую проходит оптическая ось, ^{[ требуется пояснение ]} составляет угол θ / 2 по отношению к плоскости поляризации электрического поля ^{[ необходимо пояснение ]} падающей ТЕ-волны). Напомним, что полуволновая пластинка вращает поляризацию как дваждыугол между падающей поляризацией и оптической осью (главная плоскость). Следовательно, матрица Джонса для повернутого состояния поляризации M ( θ ) равна

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

где ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Это согласуется с выражением для полуволновой пластинки в таблице выше. Эти повороты идентичны преобразованию унитарного светоделителя в оптической физике:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

где коэффициенты со штрихом и без штрихов представляют лучи, падающие с противоположных сторон светоделителя. Отраженная и прошедшая компоненты приобретают фазу θ _r и θ _t соответственно. Требования к действительному представлению элемента: ^[5]

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

и${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

Оба эти представления являются унитарными матрицами, отвечающими этим требованиям; и как таковые, оба действительны.

Произвольно повернутые элементы [ править ]

Это будет включать трехмерную матрицу вращения . См. Проделанную работу Рассела А. Чипмана и Гарама Юна. ^{[6] [7] [8] [9]}

Ось поляризации от вектора Джонса [ править ]

Угол эллипса поляризации вектора Джонса можно рассчитать следующим образом:${\displaystyle {\mid }\psi \rangle }$

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {\langle \psi {\mid }\operatorname {Ref} (45\deg ){\mid }\psi \rangle }{\langle \psi {\mid }\operatorname {Ref} (0\deg ){\mid }\psi \rangle }}={\frac {2E_{0x}E_{0y}\cos(\phi _{x}-\phi _{y})}{E_{0x}^{2}-E_{0y}^{2}}}}$

где - угол большой или малой оси, а - матрица отражения .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \operatorname {Ref} }$

См. Также [ править ]

• Поляризация
• Параметры рассеяния
• Параметры Стокса
• Исчисление Мюллера
• Поляризация фотона

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Коллетт, Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Д. Гольдштейн и Э. Коллетт, Поляризованный свет , 2-е изд., CRC Press (2003). ISBN 0-8247-4053-X . 
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• Франк Л. Педротти, SJ Лено С. Педротти, Введение в оптику , 2-е изд., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6 
• А. Джеральд и Дж. М. Берч, Введение в матричные методы в оптике , 1-е изд., John Wiley & Sons (1975). ISBN 0-471-29685-6 
• Джонс, Р. Кларк (1941). "Новое исчисление для обработки оптических систем, I. Описание и обсуждение исчисления". Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 488–493. DOI : 10.1364 / JOSA.31.000488 .
• Гурвиц, Генри; Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для обработки оптических систем, II. Доказательство трех общих теорем эквивалентности». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 493–499. DOI : 10.1364 / JOSA.31.000493 .
• Джонс, Р. Кларк (1941). "Новый расчет для обработки оптических систем, III Теория Зонке оптической активности". Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 500–503. DOI : 10.1364 / JOSA.31.000500 .
• Джонс, Р. Кларк (1942). «Новый камень для лечения оптических систем, IV». Журнал Оптического общества Америки . 32 (8): 486–493. DOI : 10.1364 / JOSA.32.000486 .
• Фымат А.Л. (1971). "Матричное представление оптических инструментов Джонса. I: светоделители". Прикладная оптика . 10 (11): 2499–2505. Bibcode : 1971ApOpt..10.2499F . DOI : 10,1364 / AO.10.002499 . PMID  20111363 .
• Фымат А.Л. (1971). "Матричное представление оптических инструментов Джонса. 2: Интерферометры Фурье (спектрометры и спектрополяриметры)". Прикладная оптика . 10 (12): 2711–2716. Bibcode : 1971ApOpt..10.2711F . DOI : 10,1364 / AO.10.002711 . PMID  20111418 .
• Фымат А.Л. (1972). "Эффекты поляризации в Фурье-спектроскопии. I: Матричное представление когерентности". Прикладная оптика . 11 (1): 160–173. Bibcode : 1972ApOpt..11..160F . DOI : 10,1364 / AO.11.000160 . PMID  20111472 .
• Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эйсебио (1987). «Получение параметров поляризации и запаздывания недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Оптик . 76 : 67–71.
• Бросо, Кристиан; Гивенс, Кларк Р .; Костинский, Александр Б. (1993). «Обобщенное условие следа на матрице поляризации Мюллера-Джонса». Журнал Оптического общества Америки A . 10 (10): 2248–2251. Bibcode : 1993JOSAA..10.2248B . DOI : 10.1364 / JOSAA.10.002248 .
• Макгуайр, Джеймс П .; Чипман, Рассел А. (1994). «Поляризационные аберрации. 1. Вращательно-симметричные оптические системы» . Прикладная оптика . 33 (22): 5080–5100. Bibcode : 1994ApOpt..33.5080M . DOI : 10,1364 / AO.33.005080 . PMID  20935891 . S2CID  3805982 .
• Пистони, Натале С. (1995). «Упрощенный подход к исчислению Джонса в восстановлении оптических схем». Прикладная оптика . 34 (34): 7870–7876. Bibcode : 1995ApOpt..34.7870P . DOI : 10,1364 / AO.34.007870 . PMID  21068881 .
• Морено, Игнасио; Изуэль, Мария Дж .; Кампос, Хуан; Варгас, Астицио (2004). «Матричная обработка Джонса для поляризационной фурье-оптики». Журнал современной оптики . 51 (14): 2031–2038. Bibcode : 2000JMOp ... 51.2031M . DOI : 10.1080 / 09500340408232511 . hdl : 10533/175322 . S2CID  120169144 .
• Морено, Иван (2004). «Матрица Джонса для призм поворота изображения» . Прикладная оптика . 43 (17): 3373–3381. Bibcode : 2004ApOpt..43.3373M . DOI : 10,1364 / AO.43.003373 . PMID  15219016 . S2CID  24268298 .
• Уильям Шурклифф (1966) Поляризованный свет: производство и использование , глава 8 Исчисление Мюллера и исчисление Джонса, стр. 109, Издательство Гарвардского университета .

Внешние ссылки [ править ]

• Исчисление Джонса, написанное Э. Коллеттом на Optipedia