Интегральное уравнение Вольтерра

В математике , то интегральные уравнения Вольтерра представляют собой особый тип интегральных уравнений . ^[1] Они делятся на две группы: первого и второго типа.

Линейное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид

{\ Displaystyle е (т) = \ int _ {а} ^ {т} К (т, з) \, х (з) \, дс}

где ƒ - заданная функция, а x - неизвестная функция, которую необходимо решить. Линейное уравнение Вольтерра второго рода имеет вид

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие операторы называются операторами Вольтерра . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомяну .

Линейное интегральное уравнение Вольтерра является уравнением свертки, если

x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.

Функция в интеграле называется ядром . Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью методов преобразования Лапласа . $K$

Интегральные уравнения Вольтерры были введены Вито Вольтеррой, а затем изучены Траяном Лалеску в его диссертации 1908 года Sur les équations de Volterra , написанной под руководством Эмиля Пикара . В 1911 году Лалеску написал первую книгу по интегральным уравнениям.

Интегральные уравнения Вольтерра находят применение в демографии , изучении вязкоупругих материалов и в актуарной науке через уравнение восстановления . ^[2]

Преобразование уравнения Вольтерра первого рода во второй [ править ]

При этом линейное уравнение Вольтерра первого рода всегда можно свести к линейному уравнению Вольтерра второго рода . Взяв производную от уравнения Вольтерра первого рода, мы получаем: $K(t,t)\neq 0$

{df \over {dt}}=\int _{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)

Разделение по урожайности:

K(t,t)

x(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds

Определение и завершение преобразования уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерра второго рода.

{\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}}

{\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}

Численное решение с использованием правила трапеции [ править ]

Стандартный метод вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерра второго рода - это правило трапеций , которое для равноотстоящих подинтервалов задается следующим образом: $\Delta x$

\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]

Предполагая равные интервалы для подынтервалов, интегральный компонент уравнения Вольтерра может быть аппроксимирован следующим образом:

\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]

Определяя , и , имеем систему линейных уравнений:

x_{i}=x(s_{i})

f_{i}=f(t_{i})

K_{ij}=K(t_{i},s_{j})

{\begin{aligned}x_{0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}

Это эквивалентно матричному уравнению:

x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f

Для ядер с хорошим поведением хорошо работает правило трапеции.

Применение: теория разорения [ править ]

Одна из областей, где появляются интегральные уравнения Вольтерра, - это теория разорения , исследование риска неплатежеспособности в актуарной науке. Цель состоит в том, чтобы количественно оценить вероятность разорения , где - первоначальный избыток, а - время разорения. В классической модели теории разорения чистая денежная позиция является функцией начального излишка, дохода от премий, полученного по ставке , и исходящих требований : $\psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]$ $u$ $\tau (u)$ $X_{t}$ $c$ $\xi$

X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i},\quad t\geq 0

где - процесс Пуассона для количества претензий с интенсивностью . В этих условиях вероятность разорения может быть представлена интегральным уравнением Вольтерра вида ^[3] :

N_{t}

\lambda

\psi (u)={\lambda \over {c}}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (u-x)S(x)dx

где - функция выживаемости распределения требований.

S(\cdot )

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Полянин, Андрей Д .; Манжиров, Александр В. (2008). Справочник интегральных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1584885078.
Перейти ↑ Brunner, Hermann (2017). Интегральные уравнения Вольтерра: введение в теорию и приложения . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107098725.
^ «Лекционные заметки по теории риска» (PDF) . Школа математики, статистики и актуарных наук . Кентский университет. 20 февраля 2010 г. С. 17–22.

Дальнейшее чтение [ править ]

Траян Лалеску, Введение в интегральную теорию уравнений. Avec une préface de É. Пикар , Париж : A. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 с.
"Уравнение Вольтерра" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. "Интегральное уравнение Вольтерра первого рода" . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Интегральное уравнение Вольтерра второго рода" . MathWorld .
Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений
Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.2. Уравнения Вольтерра» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.

Внешние ссылки [ править ]

IntEQ: пакет Python для численного решения интегральных уравнений Вольтерра

[1] Полянин, Андрей Д .; Манжиров, Александр В. (2008). Справочник интегральных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1584885078.

[2] Перейти ↑ Brunner, Hermann (2017). Интегральные уравнения Вольтерра: введение в теорию и приложения . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107098725.

[3] «Лекционные заметки по теории риска» (PDF) . Школа математики, статистики и актуарных наук . Кентский университет. 20 февраля 2010 г. С. 17–22.

[1]