Вязкоупругость

Вязкоупругость - это свойство материалов, которые при деформации проявляют как вязкие, так и упругие характеристики . Вязкие материалы, такие как вода, противостоят сдвиговому потоку и линейно деформируются со временем при приложении напряжения . Эластичные материалы деформируются при растяжении и сразу возвращаются в исходное состояние после снятия напряжения.

Вязкоупругие материалы обладают элементами обоих этих свойств и, как таковые, демонстрируют деформацию, зависящую от времени. В то время как эластичность обычно является результатом растяжения связей вдоль кристаллографических плоскостей в упорядоченном твердом теле, вязкость является результатом диффузии атомов или молекул внутри аморфного материала. ^[1]

Фон [ править ]

В девятнадцатом веке такие физики, как Максвелл , Больцман и Кельвин, исследовали и экспериментировали с ползучестью и восстановлением стекол , металлов и каучуков . Вязкоупругость была дополнительно исследована в конце двадцатого века, когда были созданы синтетические полимеры, которые использовались в различных областях. ^[2] Расчеты вязкоупругости сильно зависят от переменной вязкости η. Обратное к η также известно как текучесть φ. Значение любого из них может быть получено как функция температуры или как заданное значение (т. Е. Длядашпот ). ^[1]

Различные типы ответов ( ) на изменение скорости деформации (d / dt)${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

В зависимости от изменения скорости деформации в зависимости от напряжения внутри материала вязкость можно разделить на линейную, нелинейную или пластическую. Когда материал демонстрирует линейный отклик, он классифицируется как ньютоновский материал . В этом случае напряжение линейно пропорционально скорости деформации. Если материал демонстрирует нелинейный отклик на скорость деформации, он классифицируется как неньютоновская жидкость . Существует также интересный случай, когда вязкость уменьшается, поскольку скорость сдвига / деформации остается постоянной. Материал, демонстрирующий такое поведение, известен как тиксотропный . Кроме того, когда напряжение не зависит от этой скорости деформации, материал демонстрирует пластическую деформацию. ^[1]Многие вязкоупругие материалы демонстрируют поведение, подобное каучуку, что объясняется термодинамической теорией эластичности полимеров.

Некоторые примеры вязкоупругих материалов включают аморфные полимеры, полукристаллические полимеры, биополимеры, металлы при очень высоких температурах и битумные материалы. Растрескивание происходит, когда напряжение прикладывается быстро и за пределами предела упругости. Связки и сухожилия вязкоупругие, поэтому степень их потенциального повреждения зависит как от скорости изменения их длины, так и от приложенной силы. ^{[ необходима цитата ]}

Вязкоупругий материал обладает следующими свойствами:

• гистерезис виден на кривой напряжение-деформация
• происходит релаксация напряжений : ступенчатая постоянная деформация вызывает уменьшение напряжения
• происходит ползучесть : постоянное напряжение ступени вызывает увеличение деформации
• его жесткость зависит от скорости деформации ε ˙ {\ Displaystyle {\ точка {\ varepsilon}}} или скорости напряжения${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$

Упругое и вязкоупругое поведение [ править ]

Кривые напряжение – деформация для чисто упругого материала (а) и вязкоупругого материала (б). Красная область представляет собой петлю гистерезиса и показывает количество потерянной энергии (в виде тепла) в цикле загрузки и разгрузки. Он равен , где - напряжение, а - деформация. ^[1]${\ displaystyle \ oint \ sigma \, d \ varepsilon}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

В отличие от чисто эластичных веществ, вязкоупругое вещество имеет упругий компонент и вязкий компонент. Вязкость вязкоупругого вещества дает вещество , зависимость скорости деформации от времени. Чисто эластичные материалы не рассеивают энергию (тепло) при приложении, а затем снятии нагрузки. Однако вязкоупругое вещество рассеивает энергию при приложении нагрузки, а затем ее снятии. На кривой «напряжение – деформация» наблюдается гистерезис , при этом площадь петли равна потерям энергии во время цикла нагружения. Поскольку вязкость - это сопротивление термически активированной пластической деформации, вязкий материал теряет энергию в ходе цикла нагрузки. Пластическая деформация приводит к потерям энергии, что нехарактерно для реакции чисто упругого материала на цикл нагружения.^[1]

В частности, вязкоупругость - это молекулярная перестройка. Когда к вязкоупругому материалу, такому как полимер , прикладывается напряжение , части длинной полимерной цепи меняют положение. Это движение или перестановка называется ползучестью . Полимеры остаются твердым материалом, даже когда эти части их цепей перестраиваются, чтобы сопровождать напряжение, и когда это происходит, это создает обратное напряжение в материале. Когда обратное напряжение имеет ту же величину, что и приложенное напряжение, материал больше не ползет. Когда исходное напряжение снимается, накопленные обратные напряжения заставят полимер вернуться к своей исходной форме. Материал ползет, что дает приставку вязко-, и материал полностью восстанавливается, что дает суффикс -эластичность. ^[2]

Типы [ править ]

Линейная вязкоупругость - это когда функция разделима как на ползучесть, так и на нагрузку. Все линейные вязкоупругие модели могут быть представлены уравнением Вольтерра, связывающим напряжение и деформацию :

${\ displaystyle \ varepsilon (t) = {\ frac {\ sigma (t)} {E _ {\ text {inst, creep}}}} + \ int _ {0} ^ {t} K (tt ^ {\ prime }) {\ dot {\ sigma}} (t ^ {\ prime}) dt ^ {\ prime}}$

или же

${\displaystyle \sigma (t)=E_{\text{inst,relax}}\varepsilon (t)+\int _{0}^{t}F(t-t^{\prime }){\dot {\varepsilon }}(t^{\prime })dt^{\prime }}$

куда

• т время
• ${\displaystyle \sigma (t)}$это стресс
• ${\displaystyle \varepsilon (t)}$является штамм
• ${\displaystyle E_{\text{inst,creep}}}$и являются мгновенными модулями упругости для ползучести и релаксации${\displaystyle E_{\text{inst,relax}}}$
• K (t) - функция ползучести
• F (t) - функция релаксации

Линейная вязкоупругость обычно применима только для небольших деформаций .

Нелинейная вязкоупругость - это когда функция не разделима. Обычно это происходит при больших деформациях или при изменении свойств материала при деформациях.

Неупругой материал представляет собой особый случай вязкоупругого материала: неупругой материал будет полностью восстановить в исходное состояние на удалении нагрузки.

Динамический модуль [ править ]

Вязкоупругость изучается с помощью динамического механического анализа , приложения небольшого колебательного напряжения и измерения результирующей деформации.

• В чисто эластичных материалах напряжение и деформация совпадают по фазе, поэтому реакция одного на другое происходит мгновенно.
• В чисто вязких материалах деформация отстает от напряжения на фазу 90 градусов.
• Вязкоупругие материалы демонстрируют поведение где-то посередине этих двух типов материалов, демонстрируя некоторое отставание в деформации.

Комплексный динамический модуль G может использоваться для представления отношений между колеблющимся напряжением и деформацией:

${\displaystyle G=G'+iG''}$

где ; - модуль накопления и - модуль потерь :${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G''}$

${\displaystyle G'={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\cos \delta }$

${\displaystyle G''={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\sin \delta }$

где и - амплитуды напряжения и деформации соответственно, а - фазовый сдвиг между ними.${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \delta }$

Учредительные модели линейной вязкоупругости [ править ]

Вязкоупругие материалы, такие как аморфные полимеры, полукристаллические полимеры, биополимеры и даже живые ткани и клетки ^[3], могут быть смоделированы, чтобы определить их взаимодействия напряжения и деформации или силы и смещения, а также их временные зависимости. Эти модели, которые включают модель Максвелла , в модели Кельвина-Фойгта , в стандартную линейную твердотельную модель , и модель Бюргерса , используются для прогнозирования реакции материала в при различных условиях нагружения.

Вязкоупругое поведение включает упругие и вязкие компоненты, моделируемые как линейные комбинации пружин и дроссельных заслонок соответственно. Каждая модель отличается расположением этих элементов, и все эти вязкоупругие модели могут быть эквивалентно смоделированы как электрические цепи.

В эквивалентной электрической цепи напряжение представлено током, а скорость деформации - напряжением. Модуль упругости пружины аналогичен емкости цепи (она накапливает энергию), а вязкость демпфера - сопротивлению цепи (она рассеивает энергию).

Упругие компоненты, как упоминалось ранее, могут быть смоделированы как пружины с постоянной упругостью E по формуле:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

где σ - напряжение, E - модуль упругости материала, а ε - деформация, возникающая при заданном напряжении, аналогично закону Гука .

Вязкие компоненты могут быть смоделированы как контрольные точки , так что зависимость между напряжением и скоростью деформации может быть выражена как,

${\displaystyle \sigma =\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

где σ - напряжение, η - вязкость материала, а dε / dt - производная деформации по времени.

Связь между напряжением и деформацией может быть упрощена для конкретных скоростей напряжения или деформации. Для высоких скоростей напряжения или деформации / коротких периодов времени преобладают производные по времени компоненты зависимости напряжение-деформация. В этих условиях его можно представить как жесткий стержень, способный выдерживать высокие нагрузки без деформации. Следовательно, приборную панель можно рассматривать как "короткое замыкание". ^{[4] [5]}

И наоборот, для состояний с низким напряжением / более длительных периодов времени компоненты производной по времени пренебрежимо малы, и контрольная точка может быть эффективно удалена из системы - «разомкнутая» цепь. ^[5] В результате только пружина, подключенная параллельно к дроссельной заслонке, будет вносить вклад в общую нагрузку в системе. ^[4]

Модель Максвелла [ править ]

Модель Максвелла может быть представлена ​​чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной, соединенными последовательно, как показано на схеме. Модель может быть представлена ​​следующим уравнением:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E}}{\dot {\sigma }}=\eta {\dot {\varepsilon }}}$

Согласно этой модели, если материал подвергается постоянной деформации, напряжения постепенно расслабляются . Когда материал подвергается постоянному напряжению, деформация состоит из двух компонентов. Во-первых, мгновенно возникает упругий компонент, соответствующий пружине, и сразу же расслабляется после снятия напряжения. Второй - это вязкий компонент, который со временем растет, пока действует напряжение. Модель Максвелла предсказывает, что напряжение экспоненциально спадает со временем, что верно для большинства полимеров. Одним из ограничений этой модели является то, что она не дает точного предсказания ползучести. Модель Максвелла для условий ползучести или постоянного напряжения постулирует, что деформация будет линейно увеличиваться со временем. Однако полимеры по большей части показывают, что скорость деформации со временем уменьшается. ^[2]

Области применения для мягких твердых тел: термопластические полимеры с температурой, близкой к их температуре плавления, свежий бетон (без учета его старения), многие металлы при температуре, близкой к их температуре плавления.

Модель Кельвина – Фойгта [ править ]

Модель Кельвина – Фойгта, также известная как модель Фойгта, состоит из ньютоновского демпфера и упругой пружины Гука, соединенных параллельно, как показано на рисунке. Он используется для объяснения ползучести полимеров.

Материальное соотношение выражается в виде линейного дифференциального уравнения первого порядка:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon +\eta {\dot {\varepsilon }}}$

Эта модель представляет собой твердое тело, подвергающееся обратимой вязкоупругой деформации. При приложении постоянного напряжения материал деформируется с уменьшающейся скоростью, асимптотически приближаясь к установившейся деформации. Когда напряжение снимается, материал постепенно расслабляется до недеформированного состояния. При постоянном напряжении (ползучести) модель вполне реалистична, поскольку она предсказывает, что деформация будет стремиться к σ / E по мере того, как время продолжается до бесконечности. Подобно модели Максвелла, модель Кельвина – Фойгта также имеет ограничения. Модель очень хороша в моделировании ползучести материалов, но в отношении релаксации модель намного менее точна. ^[6]

Область применения: органические полимеры, резина, дерево при не слишком высоких нагрузках.

Стандартная линейная твердотельная модель [ править ]

Стандартная линейная твердотельная модель, также известная как модель Зенера, состоит из двух пружин и демпфера. Это простейшая модель, которая правильно описывает как ползучесть, так и релаксацию напряжений вязкоупругого материала. Для этой модели определяющими определяющими отношениями являются:

Представление Максвелла	Кельвин представление
${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$	${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

При постоянном напряжении моделируемый материал мгновенно деформируется до некоторой деформации, которая представляет собой мгновенную упругую часть деформации. После этого он будет продолжать деформироваться и асимптотически приближаться к установившейся деформации, которая представляет собой запаздывающую упругую часть деформации. Хотя Стандартная линейная твердотельная модель более точна, чем модели Максвелла и Кельвина – Фойгта в прогнозировании отклика материала, математически она дает неточные результаты для деформации при определенных условиях нагружения.

Модель Бюргерса [ править ]

Модель Бюргерса состоит либо из двух параллельно включенных компонентов Максвелла, либо из последовательно включенных компонентов Кельвина – Фойгта, пружины и датчика. Для этой модели определяющими определяющими отношениями являются:

Представление Максвелла	Кельвин представление
${\displaystyle \sigma +\left({\frac {\eta _{1}}{E_{1}}}+{\frac {\eta _{2}}{E_{2}}}\right){\dot {\sigma }}+{\frac {\eta _{1}\eta _{2}}{E_{1}E_{2}}}{\ddot {\sigma }}=\left(\eta _{1}+\eta _{2}\right){\dot {\varepsilon }}+{\frac {\eta _{1}\eta _{2}\left(E_{1}+E_{2}\right)}{E_{1}E_{2}}}{\ddot {\varepsilon }}}$	${\displaystyle \sigma +\left({\frac {\eta _{1}}{E_{1}}}+{\frac {\eta _{2}}{E_{1}}}+{\frac {\eta _{2}}{E_{2}}}\right){\dot {\sigma }}+{\frac {\eta _{1}\eta _{2}}{E_{1}E_{2}}}{\ddot {\sigma }}=\eta _{2}{\dot {\varepsilon }}+{\frac {\eta _{1}\eta _{2}}{E_{1}}}{\ddot {\varepsilon }}}$

Эта модель включает вязкое течение в стандартную линейную твердотельную модель, давая линейно возрастающую асимптоту для деформации при фиксированных условиях нагружения.

Обобщенная модель Максвелла [ править ]

Обобщенная модель Максвелла, также известная как модель Вихерта, является наиболее общей формой линейной модели вязкоупругости. При этом учитывается, что релаксация происходит не в один момент времени, а в распределении времен. Из-за того, что молекулярные сегменты разной длины, причем более короткие дают меньший вклад, чем более длинные, существует различное временное распределение. Модель Вихерта показывает это, имея столько элементов Максвелла, сколько необходимо для точного представления распределения. На рисунке справа показана обобщенная модель Вихерта. ^[7] Области применения: металлы и сплавы при температурах ниже четверти их абсолютной температуры плавления (выраженной в K).

Серия Прони [ править ]

В одномерном испытании на релаксацию материал подвергается внезапной деформации, которая сохраняется постоянной в течение всего испытания, и напряжение измеряется с течением времени. Начальное напряжение возникает из-за упругого отклика материала. Затем со временем напряжение спадает из-за вязких эффектов в материале. Обычно применяется растяжение, сжатие, объемное сжатие или сдвиг. Полученные в результате данные зависимости напряжения от времени можно описать с помощью ряда уравнений, называемых моделями. В зависимости от типа приложенной деформации меняются только обозначения: обозначена релаксация растяжения-сжатия, обозначен сдвиг, обозначен объем . Серия Прони для релаксации сдвига:${\displaystyle E}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle G(t)=G_{\infty }+\Sigma _{i=1}^{N}G_{i}\exp(-t/\tau _{i})}$

где - длительный модуль упругости после полного расслабления материала, - времена релаксации (не путать с диаграммой); чем выше их значения, тем больше времени требуется для снятия стресса. Данные подбираются с уравнением с помощью алгоритма минимизации, который регулирует параметры ( ), чтобы минимизировать ошибку между прогнозируемыми значениями и значениями данных. ^[8]${\displaystyle G_{\infty }}$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle G_{\infty },G_{i},\tau _{i}}$

Альтернативная форма получена с учетом того, что модуль упругости связан с длительным модулем упругости соотношением

${\displaystyle G(t=0)=G_{0}=G_{\infty }+\Sigma _{i=1}^{N}G_{i}}$

Следовательно,

${\displaystyle G(t)=G_{0}-\Sigma _{i=1}^{N}G_{i}[1-\exp(-t/\tau _{i})]}$

Эта форма удобна, когда модуль упругости сдвига получается из данных, независимых от данных релаксации, и / или для компьютерной реализации, когда желательно указать упругие свойства отдельно от вязких свойств, как в ^[9].${\displaystyle G_{0}}$

Эксперимент на ползучесть обычно легче выполнить, чем эксперимент на релаксацию, поэтому большинство данных доступно в виде зависимости (ползучести) податливости от времени. ^[10] К сожалению, нет известной закрытой формы для (ползучести) податливости в терминах коэффициента ряда Прони. Таким образом, при наличии данных о ползучести непросто получить коэффициенты (релаксационного) ряда Прони, которые необходимы, например, в ^[9] . Целесообразный способ получения этих коэффициентов состоит в следующем. Во-первых, сопоставьте данные о ползучести с моделью, которая имеет решения в замкнутой форме как в отношении соответствия, так и релаксации; например, модель Максвелла-Кельвина (уравнение 7.18-7.19) в ^[11] или Стандартная твердотельная модель (уравнение 7.20-7.21) в ^[11](раздел 7.1.3). Как только параметры модели ползучести известны, сгенерируйте псевдоданные релаксации с помощью модели сопряженной релаксации для тех же времен, что и исходные данные. Наконец, сопоставьте псевдоданные с рядом Прони.

Влияние температуры на вязкоупругие свойства [ править ]

Вторичные связи полимера постоянно разрушаются и преобразовываются из-за теплового движения. Приложение напряжения благоприятствует одним конформациям по сравнению с другими, поэтому молекулы полимера будут постепенно «перетекать» в предпочтительные конформации с течением времени. ^[12] Поскольку тепловое движение является одним из факторов, способствующих деформации полимеров, вязкоупругие свойства изменяются с повышением или понижением температуры. В большинстве случаев модуль ползучести, определяемый как отношение приложенного напряжения к зависящей от времени деформации, уменьшается с повышением температуры. Вообще говоря, повышение температуры коррелирует с логарифмическим уменьшением времени, необходимого для создания одинаковой деформации при постоянном напряжении. Другими словами, растяжение вязкоупругого материала на равное расстояние при более высокой температуре требует меньше работы, чем при более низкой температуре.

Более подробно влияние температуры на вязкоупругое поведение полимера можно изобразить, как показано.

В типичные полимеры входят в основном пять областей (некоторые обозначены как четыре, которые объединяют вместе VI и V). ^[13]

Область I: Стекловидное состояние полимера представлено в этой области. Температура в этой области для данного полимера слишком низкая, чтобы обеспечить движение молекул. Следовательно, движение молекул в этой области заморожено. Механические свойства в этой области жесткие и хрупкие. ^[14]

Область II: в этой области полимер проходит температуру стеклования. За пределами Tg тепловой энергии, обеспечиваемой окружающей средой, достаточно, чтобы разморозить движение молекул. Молекулы могут иметь локальное движение в этой области, что приводит к резкому падению жесткости по сравнению с областью I.

Район III: Район каучукового плато. Материалы, находящиеся в этой области, будут обладать большой эластичностью, обусловленной энтропией. Например, в исходном состоянии этой области неупорядочена резинка. Растягивая резинку, вы также выравниваете структуру, чтобы она была более упорядоченной. Следовательно, при отпускании резиновой ленты он самопроизвольно будет искать состояние с более высокой энтропией, а следовательно, возвращается в исходное состояние. Это то, что мы назвали восстановлением формы упругости за счет энтропии.

Область IV: поведение в области эластичного течения сильно зависит от времени. Полимеры в этой области должны использовать суперпозицию время-температура, чтобы получить более подробную информацию, чтобы осторожно решить, как использовать материалы. Например, если материал используется для решения задачи с коротким временем взаимодействия, он может быть «твердым». При использовании для целей длительного взаимодействия он будет действовать как «мягкий» материал. ^[15]

Область V: Вязкий полимер легко течет в этой области. Еще одно существенное падение жесткости.

Экстремальные низкие температуры могут вызвать переход вязкоупругих материалов в стеклообразную фазу и их хрупкость . Например, воздействие на адгезивы, чувствительные к давлению, воздействию сильного холода ( сухой лед , спрей для замораживания и т. Д.) Приводит к потере их липкости, что приводит к расслоению.

Вязкоупругая ползучесть [ править ]

Под действием ступенчатого постоянного напряжения вязкоупругие материалы испытывают зависящее от времени увеличение деформации. Это явление известно как вязкоупругая ползучесть.

Время от времени вязкоупругий материал нагружается постоянным напряжением, которое сохраняется в течение достаточно длительного периода времени. Материал реагирует на напряжение напряжением, которое увеличивается до тех пор, пока материал не разрушится, если это вязкоупругая жидкость. Если, с другой стороны, это вязкоупругое твердое тело, оно может или не может разрушиться, в зависимости от приложенного напряжения по сравнению с предельным сопротивлением материала. Когда напряжение сохраняется в течение более короткого периода времени, материал испытывает начальную деформацию до некоторого времени , по истечении которого деформация немедленно уменьшается (неоднородность), а затем постепенно уменьшается время от времени до остаточной деформации.${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t>t_{1}}$

Данные вязкоупругой ползучести можно представить путем построения графика модуля ползучести (постоянное приложенное напряжение, деленное на общую деформацию в конкретный момент времени) как функцию времени. ^[16] Ниже критического напряжения модуль вязкоупругой ползучести не зависит от приложенного напряжения. Семейство кривых, описывающих зависимость деформации от времени на различные приложенные напряжения, может быть представлена ​​одной кривой зависимости модуля вязкоупругой ползучести от времени, если приложенные напряжения ниже критического значения напряжения материала.

Вязкоупругая ползучесть важна при рассмотрении долгосрочного проектирования конструкций. Учитывая условия нагрузки и температуры, конструкторы могут выбрать материалы, которые лучше всего подходят для срока службы компонентов.

Измерение [ править ]

Хотя существует множество инструментов, которые проверяют механическую и вязкоупругую реакцию материалов, широкополосная вязкоупругая спектроскопия (BVS) и резонансная ультразвуковая спектроскопия (RUS) чаще используются для проверки вязкоупругого поведения, поскольку они могут использоваться при температурах выше и ниже окружающей среды и являются более конкретными к испытанию вязкоупругости. В этих двух приборах используется механизм демпфирования на различных частотах и ​​временных диапазонах без обращения к наложению времени и температуры . Использование BVS и RUS для изучения механических свойств материалов важно для понимания того, как будет работать материал, демонстрирующий вязкоупругость. ^[17]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Силби и Олберти (2001): Physical Chemistry , 857. John Wiley & Sons, Inc.
• Алан С. Уайнман и К. Р. Раджагопал (2000): Механический отклик полимеров: Введение
• Аллен и Томас (1999): Структура материалов , 51.
• Crandal et al. (1999): Введение в механику твердого тела 348
• J. Lemaitre и JL Chaboche (1994) Механика твердых материалов.
• Ю. Димитриенко (2011) Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации , Springer, 772p.