Метод Винера – Хопфа - математический прием, широко используемый в прикладной математике . Первоначально он был разработан Норбертом Винером и Эберхардом Хопфом как метод решения систем интегральных уравнений , но нашел более широкое применение при решении двумерных уравнений в частных производных со смешанными граничными условиями на той же границе. В целом метод работает, используя комплексно-аналитические свойства преобразованных функций. Обычно используется стандартное преобразование Фурье , но существуют примеры с использованием других преобразований, таких как преобразование Меллина .
Как правило, основные уравнения и граничные условия преобразуются, и эти преобразования используются для определения пары комплексных функций (обычно обозначаемых нижними индексами '+' и '-'), которые являются соответственно аналитическими в верхней и нижней половинах комплексной плоскости. , и имеют рост не быстрее, чем полиномы в этих областях. Эти две функции также будут совпадать в некоторой области комплексной плоскости , обычно на тонкой полосе, содержащей действительную линию . Аналитическое продолжение гарантирует, что эти две функции определяют единственную функцию, аналитическую на всей комплексной плоскости, а из теоремы Лиувилля следует, что эта функция является неизвестным многочленом , который часто равен нулю или константе. Анализ условий на краях и углах границы позволяет определить степень этого многочлена.
Разложение Винера – Хопфа
Ключевым шагом во многих задачах Винера – Хопфа является разложение произвольной функции на две функции с желаемыми свойствами, описанными выше. В общем, это можно сделать, написав
а также
где контуры а также параллельны реальной прямой, но проходят выше и ниже точки , соответственно.
Точно так же произвольные скалярные функции могут быть разложены на произведение +/− функций, т. Е. , сначала логарифмируя, а затем выполняя разложение суммы. Произведение матричных функций (которые происходят в связанных многомодальных системах, таких как упругие волны) значительно более проблематично, поскольку логарифм не определен должным образом, и можно ожидать, что любое разложение будет некоммутативным. Небольшой подкласс коммутативных разложений был получен Храпковым, а также были разработаны различные приближенные методы. [ необходима цитата ]
Пример
Рассмотрим линейное уравнение в частных производных
где - линейный оператор, содержащий производные по x и y , при смешанных условиях на y = 0, для некоторой заданной функции g ( x ) ,
и распадаются на бесконечности, т.е. f → 0 при.
Принимая преобразование Фурье относительно х приводит к следующему обыкновенного дифференциального уравнения
где - линейный оператор, содержащий только производные по y , P ( k, y ) - известная функция от y и k и
Если частное решение этого обыкновенного дифференциального уравнения, которое удовлетворяет необходимому убыванию на бесконечности, обозначить F ( k , y ) , общее решение можно записать как
где C ( k ) - неизвестная функция, которая должна определяться граничными условиями на y = 0.
Ключевая идея - разделить на две отдельные функции, а также которые аналитичны в нижней и верхней половине комплексной плоскости соответственно,
Тогда граничные условия дают
и, взяв производные по ,
Устранение дает
где
Сейчас можно разложить на произведение функций а также аналитические в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.
Точнее, где
(Обратите внимание, что иногда это связано с масштабированием так что это имеет тенденцию в виде .) Также разложим в сумму двух функций а также которые аналитичны в нижней и верхней полуплоскостях соответственно, т. е.
Это можно сделать так же, как мы разложили на множители Вследствие этого,
Теперь, поскольку левая часть приведенного выше уравнения аналитична в нижней полуплоскости, а правая часть аналитична в верхней полуплоскости, аналитическое продолжение гарантирует существование целой функции, которая совпадает с левой. или правые части в соответствующих полуплоскостях. Кроме того, поскольку можно показать, что функции по обе стороны от приведенного выше уравнения убывают при больших k , применение теоремы Лиувилля показывает, что вся эта функция тождественно равна нулю, поэтому
и другие
Смотрите также
Рекомендации
- «Категория: Винер-Хопф - WikiWaves» . wikiwaves.org . Проверено 19 мая 2020 .
- "Метод Винера-Хопфа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Форнберг, Бенгт. Комплексные переменные и аналитические функции: иллюстрированное введение . Пирет, Сесиль. Филадельфия. ISBN 978-1-61197-597-0. OCLC 1124781689 .