Квадратный корень из матрицы

В математике , то квадратный корень из матрицы расширяет понятие квадратного корня из чисел в матрицы . Матрица В называется квадратный корень из А , если произведение матриц ВВ равна A . ^[1]

Некоторые авторы используют квадратный корень имени или обозначение A ^1/2 только для конкретного случая, когда A является положительно полуопределенным , чтобы обозначить уникальную матрицу B, которая является положительно полуопределенной и такая, что BB = B ^T B = A (для действительных значений матрицы, где Б ^Т является транспонированной из B ).

Менее часто, название квадратный корень может быть использован для любого разложения положительной полуопределенной матрицы А , как B ^T B = A , как и в разложении Холецкого , даже если BB ≠ A . Это особое значение обсуждается в Положительно определенной матрице § Разложение .

Примеры [ править ]

Как правило, матрица может иметь несколько квадратных корней. В частности, если и тогда .${\ Displaystyle А = В ^ {2}}$${\ Displaystyle А = (- В) ^ {2}}$

Единичная матрица 2 × 2 имеет бесконечно много квадратных корней. Они даны${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ pm 1 & 0 \\ 0 & \ pm 1 \ end {pmatrix}}}$ и ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & -a \ end {pmatrix}}}$

где любые числа (действительные или комплексные) такие, что . В частности, if является любой тройкой Пифагора, т. Е. Любым набором положительных целых чисел, таким, что , то есть матрица квадратного корня, симметричная и имеющая рациональные элементы. ^[2] Таким образом${\ Displaystyle (а, б, в)}$${\ displaystyle a ^ {2} + bc = 1}$${\ Displaystyle (а, б, т)}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = t ^ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {t}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & -a \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{2}.}$

Минус идентичность имеет квадратный корень, например:

${\displaystyle -{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2},}$

который может использоваться для представления мнимой единицы i и, следовательно, всех комплексных чисел с использованием вещественных матриц 2 × 2, см. Матричное представление комплексных чисел .

Как и в случае с действительными числами , реальная матрица может не иметь действительного квадратного корня, но иметь квадратный корень с элементами со сложными значениями . Некоторые матрицы не имеют квадратного корня. Примером может служить матрица${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

В то время как квадратный корень неотрицательного целого числа снова является целым или иррациональным числом , в отличие от целочисленной матрицы, она может иметь квадратный корень, элементы которого рациональны, но не являются целыми, как в примерах выше.

Положительные полуопределенные матрицы [ править ]

Симметричная вещественная матрица размера n × n называется положительно полуопределенной, если для всех (здесь означает транспонирование , преобразование вектора-столбца x в вектор-строку). Квадратная вещественная матрица неотрицательно тогда и только тогда , когда для некоторой матрицы B . Таких матриц B может быть много разных . Положительно полуопределенная матрица A может также иметь много таких матриц B , что . Однако A всегда имеет ровно один квадратный корень B, который является положительно полуопределенным (и, следовательно, симметричным). В частности, поскольку B${\displaystyle x^{\textsf {T}}Ax\geq 0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A=B^{\textsf {T}}B}$${\displaystyle A=BB}$должен быть симметричным, поэтому два условия или эквивалентны.${\displaystyle B=B^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A=BB}$${\displaystyle A=B^{\textsf {T}}B}$

Для комплексных матриц вместо этого используется сопряженное транспонирование , а положительные полуопределенные матрицы являются эрмитовыми , что означает . ${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B^{*}=B}$

Эта уникальная матрица называется основным , неотрицательным , или положительный квадратный корень (последний в случае положительно определенных матриц ).

Главный квадратный корень вещественной положительно полуопределенной матрицы вещественен. ^[3] Главный квадратный корень положительно определенной матрицы положительно определен; в более общем плане , ранг главного квадратного корня из А так же , как в ранг A . ^[3]

Операция извлечения главного квадратного корня непрерывна на этом наборе матриц. ^[4] Эти свойства являются следствием применения голоморфного функционального исчисления к матрицам. ^{[5] [6]} Существование и единственность главного квадратного корня можно вывести непосредственно из жордановой нормальной формы (см. Ниже).

Матрицы с различными собственными значениями [ править ]

Матрица размера n × n с n различными ненулевыми собственными значениями имеет 2 ⁿ квадратных корня. Такая матрица A имеет собственное разложение VDV ^−1, где V - матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A, а D - диагональная матрица, диагональные элементы которой являются соответствующими n собственными значениями λ _i . Таким образом, квадратные корни из A задаются формулой VD ^1/2 V ⁻¹ , где D ^1/2 - любая матрица квадратного корня из D, который для различных собственных значений должен быть диагональным с диагональными элементами, равными квадратным корням из диагональных элементов D ; поскольку есть два возможных выбора для квадратного корня из каждого диагонального элемента D , есть 2 ⁿ вариантов для матрицы D ^1/2 .

Это также приводит к доказательству вышеупомянутого наблюдения, что положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень: положительно определенная матрица имеет только положительные собственные значения, и каждое из этих собственных значений имеет только один положительный квадратный корень; и поскольку собственные значения матрицы квадратного корня являются диагональными элементами D ^1/2 , для того, чтобы сама матрица квадратного корня была положительно определенной, необходимо использовать только уникальные положительные квадратные корни исходных собственных значений.

Решения в закрытом виде [ править ]

Если матрица идемпотентна , то есть по определению одним из ее квадратных корней является сама матрица.${\displaystyle A^{2}=A}$

Диагональные и треугольные матрицы [ править ]

Если D - диагональная матрица размера n × n , то некоторые из ее квадратных корней являются диагональными матрицами , где . Если диагональные элементы D являются реальными и неотрицательным то неотрицательно, а если квадратные корни берутся без отрицательного знака, результирующая матрица является главным корнем D . Диагональная матрица может иметь дополнительные недиагональные корни, если некоторые элементы на диагонали равны, как показано выше на единичной матрице.${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$${\displaystyle \mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}}$

Если U - верхнетреугольная матрица (то есть ее элементы предназначены для ) и не более одного из ее диагональных элементов равно нулю, то одно верхнетреугольное решение уравнения может быть найдено следующим образом. Поскольку уравнение должно выполняться, пусть будет главным квадратным корнем комплексного числа . По предположению , это гарантирует, что для всех i, j (потому что главные квадратные корни комплексных чисел все лежат на одной половине комплексной плоскости). Из уравнения${\displaystyle u_{i,j}=0}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle B^{2}=U}$${\displaystyle u_{i,i}=b_{i,i}^{2}}$${\displaystyle b_{i,i}}$${\displaystyle u_{i,i}}$${\displaystyle u_{i,i}\neq 0}$${\displaystyle b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0}$

${\displaystyle u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{i+2,j}+\dots +b_{i,j}b_{j,j}}$

мы делаем вывод, что можно вычислить рекурсивно для увеличения от 1 до n как:${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle j-i}$

${\displaystyle b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\right).}$

Если U является верхним треугольником, но имеет несколько нулей на диагонали, то квадратный корень может не существовать, как показано на примере . Обратите внимание, что диагональные элементы треугольной матрицы - это в точности ее собственные значения (см. Свойства треугольной матрицы ).${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

По диагонализации [ править ]

П × п матрица является диагонализируемы , если существует матрица V и диагональная матрица D , такие , что = VDV ^-1 . Это происходит тогда и только тогда, когда A имеет n собственных векторов, составляющих основу для C ⁿ . В этом случае V можно выбрать как матрицу с n собственными векторами в качестве столбцов, и, таким образом, квадратный корень из A равен

${\displaystyle R=VSV^{-1}~,}$

где S является любой квадратный корень из D . В самом деле,

${\displaystyle \left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{-1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.}$

Например, матрицу можно диагонализовать как VDV ⁻¹ , где ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)}$

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}}$и .${\displaystyle D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}}$

D имеет главный квадратный корень

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}}$,

давая квадратный корень

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}}$.

Когда A является симметричным, диагонализирующая матрица V может быть сделана ортогональной матрицей путем подходящего выбора собственных векторов (см. Спектральную теорему ). Тогда обратное к V - это просто транспонирование, так что

${\displaystyle R=VSV^{\textsf {T}}~.}$

По разложению Шура [ править ]

Каждая -комплекснозначная квадратная матрица , независимо от диагонализируемости, имеет разложение Шуру , данное , где находится верхняя треугольным и является унитарным (смысл ). Собственные значения в точности диагональные элементы ; если не более одного из них равно нулю, то следующий квадрат является корнем ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle A=QUQ^{*}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{*}=Q^{-1}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}.}$

где квадратный корень из верхней треугольной матрицы можно найти, как описано выше.${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle U}$

Если положительно определено, то все собственные значения являются положительными действительными числами, поэтому выбранная диагональ также состоит из положительных действительных чисел. Следовательно, собственные значения являются положительными действительными числами, что означает, что полученная матрица является главным корнем .${\displaystyle A}$${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}}$${\displaystyle A}$

По разложению Жордана [ править ]

Точно так же , как и для разложения Шуры, каждая квадратная матрица может быть разложена , где Р является обратимым и J находится в нормальной форме Жордана .${\displaystyle A}$${\displaystyle A=P^{-1}JP}$

Чтобы увидеть, что любая комплексная матрица с положительными собственными значениями имеет квадратный корень той же формы, достаточно проверить это для жордановой клетки. Любой такой блок имеет вид λ ( I + N ) с λ> 0 и N нильпотентным . Если (1 + z ) ^1/2 = 1 + a ₁ z + a ₂ z ² + ⋯ является биномиальным разложением квадратного корня (действительным при | z | <1), то его квадрат в формальном степенном ряду равен 1 + z . Подставляя N для г , только конечное число слагаемых будет равно нулю и S = √λ ( I + a ₁ N + a ₂ N ² + ⋯) дает квадратный корень из жордановой клетки с собственным значением √λ .

Достаточно проверить единственность для жордановой клетки с λ = 1. Построенный выше квадрат имеет вид S = I + L, где L - многочлен от N без постоянного члена. Любой другой корень квадратный Т с положительными собственными значениями имеет вид T = I + M с M нильпогентных, коммутирующий с N и , следовательно , L . Но тогда 0 = S ² - T ² = 2 ( L - M ) ( I + ( L +М ) / 2) . Поскольку L и M коммутируют, матрица L + M нильпотентна, а I + ( L + M ) / 2 обратима с обратным, заданным рядом Неймана . Следовательно , L = М .

Если A - матрица с положительными собственными значениями и минимальным многочленом p ( t ) , то разложение Жордана на обобщенные собственные подпространства A можно вывести из разложения на частичные дроби p ( t ) ⁻¹ . Соответствующие проекции на обобщенные собственные подпространства задаются вещественных полиномов в А . На каждом собственном подпространстве A имеет вид λ ( I + N ), как указано выше. Выражение степенного ряда для квадратного корня в собственном подпространстве показывает, что главный квадратный корень из Aимеет вид q ( A ), где q ( t ) - многочлен с действительными коэффициентами.

Силовой ряд [ править ]

Вспомните формальный степенной ряд , который сходится при условии (поскольку коэффициенты степенного ряда суммируемы). Подключение к этому выражению дает${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\binom {1/2}{n}}\right|z^{n}}$${\displaystyle \|z\|\leq 1}$${\displaystyle z=I-A}$

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}:=I-\sum _{n=1}^{\infty }\left|{{\frac {1}{2}} \choose n}\right|(I-A)^{n}}$

при условии, что . В силу формулы Гельфанда это условие эквивалентно требованию, чтобы спектр содержался внутри диска . Этот метод определения или вычисления особенно полезен в случае положительного полуопределенного. В этом случае мы имеем и, следовательно , так что выражение определяет квадратный корень, из которого, кроме того, оказывается единственный положительный полуопределенный корень. Этот метод остается в силе для определения квадратных корней операторов в бесконечномерных банаховых или гильбертовых пространствах или некоторых элементах (C *) банаховых алгебр.${\textstyle \limsup _{n}\|(I-A)^{n}\|^{\frac {1}{n}}<1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(1,1)\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1}$${\textstyle \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1}$${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}\left(I-\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\binom {1/2}{n}}\right|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)}$${\displaystyle A}$

Итерационные решения [ править ]

Автор итерация Денмана – Биверса [ править ]

Другой способ найти квадратный корень из матрицы A размера n × n - это итерация квадратного корня Денмана – Биверса. ^[8]

Пусть Y ₀ = A и Z ₀ = I , где I - единичная матрица размера n × n . Итерация определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Поскольку здесь используется пара последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых меняются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов варианта метода Ньютона для вычисления обратных значений ,

${\displaystyle X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.}$

При этом для более поздних значений k можно установить, а затем использовать для некоторого небольшого n (возможно, всего 1), и аналогично для${\displaystyle X_{0}=Z_{k-1}^{-1}}$${\displaystyle B=Z_{k},}$${\displaystyle Z_{k}^{-1}=X_{n}}$${\displaystyle Y_{k}^{-1}.}$

Сходимость не гарантируется даже для матриц, у которых есть квадратные корни, но если процесс сходится, матрица сходится квадратично к квадратному корню A ^1/2 , в то время как сходится к своему обратному корню A ^−1/2 .${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle Z_{k}}$

По вавилонскому методу [ править ]

Еще один итерационный метод получается, если взять известную формулу вавилонского метода вычисления квадратного корня из действительного числа и применить ее к матрицам. Пусть X ₀ = I , где I - единичная матрица . Итерация определяется как

${\displaystyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.}$

Опять же, сходимость не гарантируется, но если процесс сходится, матрица квадратично сходится к квадратному корню A ^1/2 . По сравнению с итерацией Денмана – Биверса преимущество вавилонского метода состоит в том, что за один шаг итерации необходимо вычислять только одну обратную матрицу . С другой стороны, поскольку итерация Денмана – Биверса использует пару последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых меняются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов вариант метода Ньютона для вычисления обратных (см. итерация Денмана – Биверса${\displaystyle X_{k}}$над); конечно, тот же подход можно использовать для получения единственной последовательности обратных чисел, необходимой для вавилонского метода. Однако, в отличие от итерации Денмана – Биверса, вавилонский метод численно нестабилен и с большей вероятностью не сможет сойтись. ^[1]

Вавилонский метод следует из метода Ньютона для уравнения и использования для всех ^[9]${\displaystyle X^{2}-A=0}$${\displaystyle AX_{k}=X_{k}A}$${\displaystyle k.}$

Квадратные корни из положительных операторов [ править ]

В линейной алгебре и теории операторов , учитывая ограниченный положительно полуопределенный оператор (неотрицательный оператор) T в комплексном гильбертовом пространстве, B является квадратным корнем из T, если T = B * B , где B * обозначает эрмитово сопряженное к B . ^{[ необходимая цитата ]} Согласно спектральной теореме , непрерывное функциональное исчисление может применяться для получения оператора T ^1/2, такого что T ^1/2сам по себе положительный и ( Т ^1/2 ) ² = Т . Оператор Т ^1/2 является уникальный неотрицательное корень квадратный из Т . ^{[ необходима цитата ]}

Ограниченный неотрицательный оператор в комплексном гильбертовом пространстве самосопряжен по определению. Итак, T = ( T ^1/2 ) * T ^1/2 . Наоборот, очевидно, что каждый оператор вида B * B неотрицателен. Следовательно, оператор T неотрицателен тогда и только тогда, когда T = B * B для некоторого B (эквивалентно, T = CC * для некоторого C ).

Факторизация Холецкая предоставляет другой конкретный пример квадратного корня, который не следует путать с уникальным неотрицательным квадратным корнем.

Унитарная свобода квадратных корней [ править ]

Если T - неотрицательный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то все квадратные корни из T связаны унитарными преобразованиями. Точнее, если T = A * A = B * B , то существует унитарный U такой, что A = UB .

Действительно, возьмем B = T ^½ , чтобы быть единственным неотрицательным квадратный корень из Т . Если T строго положительно, то B обратимо, и поэтому U = AB ⁻¹ унитарно:

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right)^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}}$

Если T неотрицательно, но не строго положительно, то обратное к B не может быть определено, но псевдообратное B ⁺ Мура – ​​Пенроуза может быть определено. В этом случае оператор B ⁺ A является частичной изометрией , то есть унитарным оператором из диапазона T в себя. Это может быть расширен до унитарного оператора U на всем пространстве, установив его равным идентичности на ядре Т . В более общем смысле это верно для бесконечномерного гильбертова пространства, если, кроме того, T имеет замкнутый диапазон значений . В общем, если A ,B - замкнутые и плотно определенные операторы в гильбертовом пространстве H , и A * A = B * B , тогда A = UB, где U - частичная изометрия.

Некоторые приложения [ править ]

Квадратные корни и унитарная свобода квадратных корней находят применение в функциональном анализе и линейной алгебре.

Полярное разложение [ править ]

Если A - обратимый оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то существуют единственный унитарный оператор U и положительный оператор P такие, что

${\displaystyle A=UP;}$

это полярное разложение А . Положительный оператор P является единственным положительным квадратным корнем из положительного оператора A ^∗ A , а U определяется как U = AP ⁻¹ .

Если A необратим, то он все еще имеет полярную композицию, в которой P определен таким же образом (и уникален). Унитарный оператор U не единственен. Скорее можно определить «естественный» унитарный оператор следующим образом: AP ⁺ - это унитарный оператор из диапазона A в себя, который может быть расширен тождеством на ядре A ^∗ . В результате унитарный оператор U , то получается полярное разложение А .

Операторы Крауса [ править ]

По результату Чоя линейное отображение

${\displaystyle \Phi :C^{n\times n}\to C^{m\times m}}$

полностью положительна тогда и только тогда, когда она имеет вид

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}}$

где k ≤ нм . Пусть { E _pq } ⊂ C ^{n × n} - n ² элементарных матричных единиц. Положительная матрица

${\displaystyle M_{\Phi }=\left(\Phi \left(E_{pq}\right)\right)_{pq}\in C^{nm\times nm}}$

называется матрицей Чоя матрицы Φ. Операторы Kraus соответствуют к, не обязательно квадратному, квадратные корни из М _Ф : Для любого квадратного корня B из M _Ф , можно получить семейство операторов Крауса V _I , отменяя операцию Vec к каждому колонку Ь _I из B . Таким образом, все наборы операторов Крауса связаны частичными изометриями.

Смешанные ансамбли [ править ]

В квантовой физике матрица плотности для n -уровневой квантовой системы представляет собой комплексную матрицу ρ n × n, которая является положительно полуопределенной со следом 1. Если ρ можно выразить как

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}}$

где и ∑ p _i = 1, множество${\displaystyle p_{i}>0}$

${\displaystyle \left\{p_{i},v_{i}\right\}}$

называется ансамблем , описывающим смешанное состояние ρ . Уведомление { v _i } не обязательно должно быть ортогональным. Различные ансамбли, описывающие состояние ρ , связаны унитарными операторами через квадратные корни из ρ . Например, предположим

${\displaystyle \rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.}$

Условие трассировки 1 означает

${\displaystyle \sum _{j}a_{j}^{*}a_{j}=1.}$

Позволять

${\displaystyle p_{i}=a_{i}^{*}a_{i},}$

и v _i - нормализованный a _i . Мы видим, что

${\displaystyle \left\{p_{i},v_{i}\right\}}$

дает смешанное состояние ρ .

Фильтр Калмана без запаха [ править ]

В фильтре Калмана без оценки (UKF), ^[10] квадратный корень из ковариационной матрицы ошибки состояния требуется для преобразования без оценки, которое является используемым методом статистической линеаризации. Было представлено сравнение между различными методами вычисления квадратного корня матрицы в приложении UKF для объединения датчиков GPS / INS, которое показало, что метод разложения Холецкого лучше всего подходит для приложений UKF. ^[11]

См. Также [ править ]

• Матричная функция
• Голоморфное функциональное исчисление
• Логарифм матрицы
• Формула Сильвестра
• Квадратный корень из матрицы 2 на 2

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (2007), Теории спектров, главы 1 и 2 , Springer, ISBN 978-3540353317
• Конвей, Джон Б. (1990), Курс функционального анализа , Тексты для выпускников по математике, 96 , Springer, стр. 199–205, ISBN 978-0387972459, Глава IV, Функциональное исчисление Рейса
• Ченг, Шенг Хун; Хайэм, Николас Дж .; Кенни, Чарльз С .; Лауб, Алан Дж. (2001), «Приближение логарифма матрицы к заданной точности» (PDF) , Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям , 22 (4): 1112–1125, CiteSeerX  10.1.1.230.912 , doi : 10.1137 / S0895479899364015 , архивировано из оригинального (PDF) 09.08.2011
• Берлесон, Дональд Р., Вычисление квадратного корня из матрицы Маркова: собственные значения и ряд Тейлора
• Денман, Юджин Д .; Бобры, Алекс Н. (1976), "Функциональная матрица знака и вычисление в системах", прикладная математика и вычисления , 2 (1): 63-94, DOI : 10.1016 / 0096-3003 (76) 90020-5
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1994), Темы матричного анализа , Cambridge University Press, ISBN 978-0521467131
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .