Адъюгированная матрица

В линейной алгебре , то adjugate или классическая сопряженный из квадратной матрицы является транспонированным его кофактором матрицы . ^[1] Он также иногда известен как вспомогательная матрица , ^{[2] [3],} хотя эта номенклатура, похоже, уменьшилась в использовании.

Сопряженный оператор ^[4] иногда называют «сопряженным» ^[5], но сегодня «сопряженный» матрицы обычно относится к соответствующему сопряженному оператору , который является сопряженным транспонированием .

Определение [ править ]

Adjugate из А является транспонированным из кофактора матрицы C из A ,

${\ displaystyle \ operatorname {adj} (\ mathbf {A}) = \ mathbf {C} ^ {\ mathsf {T}}.}$

Более подробно, предположим , что R представляет собой коммутативное кольцо и является п × п матрица с элементами из R . ( Я , J ) - минор из А , обозначим M _Ij , является определяющим фактором в ( п  - 1) × ( п  - 1) матрицы , которая является результатом удаления строки я и столбца J из A . Кофактором матрица из А является п × п матрица С которой ( я , J ) вход является ( я , J ) кофактором из А , который является ( я , J ) -минор раз в знаковый фактор:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Сопутствующим элементом A является транспонированная матрица C , то есть матрица размера n × n, чья запись ( i , j ) является кофактором ( j , i ) матрицы A ,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Сопряжение определяется так, что произведение A с его сопряженным элементом дает диагональную матрицу , диагональные элементы которой являются определителем det ( A ) . То есть,

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,}$

где I - единичная матрица размера n × n . Это следствие разложения определителя по Лапласу .

Выше формула предполагает один из основных результатов в матричной алгебре, что является обратимой тогда и только тогда , когда Det ( ) является обратимым элементом R . Когда это верно, приведенное выше уравнение дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}}$

Примеры [ править ]

Общая матрица 1 × 1 [ править ]

Сопряжение любой ненулевой матрицы 1 × 1 (комплексный скаляр) равно . По соглашению adj (0) = 0.${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$

Общая матрица 2 × 2 [ править ]

Адъюгат матрицы 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

является

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}$

Прямым вычислением

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}$

В этом случае, это также верно , что Det (прил ( )) = Det ( ) и , следовательно, прил (прил ( )) = .

Общая матрица 3 × 3 [ править ]

Рассмотрим матрицу 3 × 3

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.}$

Его матрица кофакторов равна

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}$

где

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.}$

Его сопутствующим элементом является транспонированная матрица кофакторов,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Числовая матрица 3 × 3 [ править ]

В качестве конкретного примера у нас есть

${\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.}$

Легко проверить, что адъюгат - это величина, обратная умноженной на определитель, −6 .

-1 во втором ряду, третий столбец adjugate был вычислен следующим образом . (2,3) вхождение adjugate является (3,2) кофактором A . Этот кофактор вычисляется с использованием подматрицы, полученной удалением третьей строки и второго столбца исходной матрицы A ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.}$

Кофактор (3,2) - это знак, умноженный на определитель этой подматрицы:

${\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,}$

и это (2, 3) запись сопряженного.

Свойства [ править ]

Для любой матрицы A размера n × n элементарные вычисления показывают, что адъюгаты обладают следующими свойствами.

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0} }$и , где и являются матрицами нуля и идентичности, соответственно.${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$для любого скаляра c .
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}}$.
• ${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}}$.
• Если A обратимо, то . Это следует из того:${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}}$
  • прил ( ) обратим с обратным (Det ) ^-1 .
  • прил ( А ^-1 ) = прил ( А ) ^-1 .
• прил ( ) является entrywise многочленом А . В частности, над вещественными или комплексными числами, то adjugate является гладкой функцией записей A .

Над комплексными числами

• ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\bar {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}}$, где чертой обозначено комплексное сопряжение.
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}}$, где звездочка означает сопряженное транспонирование.

Предположим, что B - еще одна матрица размера n × n . Затем

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Это можно доказать тремя способами. Один из способов, применимый для любого коммутативного кольца, - это прямое вычисление с использованием формулы Коши – Бине . Второй способ, действительный для действительных или комплексных чисел, состоит в том, чтобы сначала заметить, что для обратимых матриц A и B ,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).}$

Поскольку каждая необратимая матрица является пределом обратимых матриц , непрерывность сопряженного элемента означает, что формула остается верной, когда один из A или B не является обратимым.

Следствие предыдущей формулы состоит в том, что для любого неотрицательного целого k ,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.}$

Если A обратима, то приведенная выше формула верна и для отрицательного k .

От личности

${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),}$

мы делаем вывод

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .}$

Предположим , что A коммутирует с B . Умножение тождества AB = BA слева и справа на adj ( A ) доказывает, что

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Если обратим, то отсюда следует , что прил ( A ) также коммутирует с B . Для действительных или комплексных чисел непрерывность означает, что adj ( A ) коммутирует с B, даже если A необратим.

Наконец, существует более общее доказательство, чем второе доказательство, которое требует только, чтобы матрица n × n имела элементы над полем с по крайней мере 2 n +1 элементами (например, матрица 5 × 5 над целыми числами по модулю 11). det ( A + t I ) - многочлен от t со степенью не выше n , поэтому он имеет не более n корней. Обратите внимание, что ij- я запись в adj (( A + t I ) ( B )) является многочленом не более чем порядка n , и аналогично для adj ( A + t I) прил ( B ) . Эти два полинома в ij- м элементе согласуются по крайней мере по n +1 точкам, так как у нас есть по крайней мере n +1 элементов поля, в котором A + t I обратимо, и мы доказали тождество для обратимых матриц. Полиномы степени п , которые совпадают по п +1 точек должны быть одинаковыми (вычитать их друг от друга , и у вас есть п + 1 корней для многочлена степени не п - к противоречию , если их разность не тождественно равна нулю). Поскольку два полинома идентичны, они принимают одно и то же значение для каждого значения t. Таким образом, они принимают одинаковое значение при t = 0.

Используя указанные выше свойства и другие элементарные вычисления, несложно показать, что если A имеет одно из следующих свойств, то adj A также:

• Верхний треугольный,
• Нижняя треугольная,
• Диагональ,
• Ортогональный,
• Унитарный,
• Симметричный,
• Эрмитский,
• Кососимметричный,
• Косоэрмитский,
• Обычный.

Если обратим, то, как уже отмечалось выше, существует формула для ADJ ( A ) в терминах определителя и обратной А . Когда A необратимо, адъюгат удовлетворяет различным, но тесно связанным формулам.

• Если rk ( A ) ≤ n - 2 , то adj ( A ) = 0 .
• Если rk ( A ) = n - 1 , то rk (adj ( A )) = 1 . (Некоторый минор не равен нулю, поэтому adj ( A ) не равен нулю и, следовательно, имеет ранг не менее единицы; тождество adj ( A )  A = 0 означает, что размерность нулевого пространства adj ( A ) не меньше n - 1 , поэтому его ранг не превосходит единицы.) Отсюда следует, что adj ( A ) = α xy ^T , где α - скаляр, а x и y- векторы такие, что Ax = 0 и A ^T  y = 0 .

Подстановка столбцов и правило Крамера [ править ]

Разбейте A на векторы-столбцы:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Пусть b вектор-столбец размера n . Исправление 1 ≤ я ≤ п и рассмотрит матрицу , образованную путем замены столбца I из А от Ь :

${\displaystyle (\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Лаплас разложит определитель этой матрицы по столбцу i . Результатом является запись i продукта adj ( A ) b . Сбор этих определителей для различных возможных i дает равенство векторов-столбцов

${\displaystyle \left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .}$

Эта формула имеет следующее конкретное следствие. Рассмотрим линейную систему уравнений

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .}$

Предположим, что A неособая. Умножение этой системы слева на adj ( A ) и деление на определитель дает

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.}$

Применение предыдущей формулы к этой ситуации дает правило Крамера ,

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},}$

где x _i - i- я запись x .

Характеристический полином [ править ]

Пусть характеристический многочлен от А быть

${\displaystyle p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].}$

Первая разделенная разность числа p представляет собой симметричный многочлен степени n - 1 ,

${\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].}$

Умножьте s I - A на его сопутствующее значение. Поскольку p ( A ) = 0 по теореме Кэли – Гамильтона , некоторые элементарные манипуляции показывают

${\displaystyle \operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).}$

В частности, резольвентное из А определяется как

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},}$

и по приведенной выше формуле это равно

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.}$

Формула Якоби [ править ]

Adjugate также появляется в формуле Якоби для производной от определителя . Если A ( t ) непрерывно дифференцируема, то

${\displaystyle {\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).}$

Отсюда следует, что полная производная определителя - это транспонирование адъюгата:

${\displaystyle d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.}$

Формула Кэли – Гамильтона [ править ]

Пусть р _А ( т ) характеристический полином A . Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$

Разделение постоянного члена и умножение уравнения на adj ( A ) дает выражение для сопряженного элемента, которое зависит только от A и коэффициентов p _A ( t ) . Эти коэффициенты могут быть явно представлены в терминах следов степеней A с использованием полных экспоненциальных многочленов Белла . Результирующая формула

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},}$

где n - размерность A , а сумма берется по s и всем последовательностям k _l ≥ 0, удовлетворяющим линейному диофантову уравнению

${\displaystyle s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.}$

Для случая 2 × 2 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} .}$

Для случая 3 × 3 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} \left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)+\mathbf {A} ^{2}.}$

Для случая 4 × 4 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} ^{3}.}$

Же формула непосредственно следует из стадии завершающего от алгоритма Фаддеева-Леверье , который эффективно определяет характеристический полином из A .

Связь с внешними алгебрами [ править ]

Сопряжение можно рассматривать в абстрактных терминах, используя внешние алгебры . Пусть V - n -мерное векторное пространство. Внешнее произведение определяет билинейное спаривание

${\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.}$

Абстрактно, изоморфно R , и при любом таком изоморфизме внешнее произведение является совершенным спариванием . Следовательно, это дает изоморфизм${\displaystyle \wedge ^{n}V}$

${\displaystyle \phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).}$

Явно это спаривание переводит v ∈ V в , где${\displaystyle \phi _{\mathbf {v} }}$

${\displaystyle \phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .}$

Предположим, что T  : V → V - линейное преобразование. Возврат с помощью ( n - 1) -й внешней степени T индуцирует морфизм пространств Hom . Adjugate из Т является композицией

${\displaystyle V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.}$

Если V = R ^п наделена его координат базиса е ₁ , ..., е _п , и если матрица T в этом базисе , то adjugate из Т является adjugate из A . Чтобы понять почему, дайте основу${\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.}$

Зафиксируем базисный вектор e _i матрицы R ⁿ . Изображение e _i ниже определяется тем, куда он отправляет базисные векторы:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

На базисных векторах ( n - 1) -я внешняя степень T равна

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.}$

Каждый из этих членов отображается в ноль при условии, за исключением члена k = i . Следовательно, откат - это линейное преобразование, для которого${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}}$${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},}$

то есть это равно

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.}$

Применение обратного показывает, что сопряженное к T является линейным преобразованием, для которого${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.}$

Следовательно, его матрица представление является adjugate из A .

Если V наделен внутренним произведением и формой объема, то отображение φ можно разложить дальше. В этом случае φ можно понимать как композицию звездного оператора Ходжа и дуализации. В частности, если ω - форма объема, то она вместе со скалярным произведением определяет изоморфизм

${\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .}$

Это индуцирует изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.}$

Вектор v в R ⁿ соответствует линейному функционалу

${\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.}$

По определению звездного оператора Ходжа этот линейный функционал двойственен * v . То есть ω ^∨ ∘ φ равно v ↦ * v ^∨ .

Высшие адъюгаты [ править ]

Пусть A - матрица размера n × n , и зафиксируем r ≥ 0 . Г го высшего adjugate из A является матрицей, обозначается ADJ _г А , элементы которой проиндексированы по размерам г подмножеств I и J из {1, ..., т } . Пусть I ^c и J ^c обозначают дополнения к I и J соответственно. Также через обозначим подматрицу матрицы A${\textstyle {\binom {n}{r}}\times {\binom {n}{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}}$содержащие те строки и столбцы, индексы которых находятся в I ^c и J ^c соответственно. Тогда запись ( I , J ) в adj _r A равна

${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},}$

где σ ( I ) и σ ( J ) - сумма элементов I и J соответственно.

Основные свойства высших адъюгатов включают:

• прил ₀ ( ) = Det .
• прил ₁ ( ) = прил .
• прил _n ( A ) = 1 .
• прил _г ( ВА ) = прил _г ( А ) прил _г ( В ) .
• ${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}}$, где C _r ( A ) обозначает r- ю составную матрицу .

Более высокие adjugates могут быть определены в терминах абстрактных алгебраических аналогичным образом к обычному adjugate, заменяя и на и , соответственно.${\displaystyle \wedge ^{r}V}$${\displaystyle \wedge ^{n-r}V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \wedge ^{n-1}V}$

Итерированные адъюгаты [ править ]

Итеративное взятие адъюгата обратимой матрицы A k раз дает

${\displaystyle \overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,}$

${\displaystyle \det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.}$

Например,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .}$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.}$

См. Также [ править ]

• Теорема Кэли – Гамильтона
• Правило Крамера
• Диаграмма трассировки
• Формула Якоби
• Алгоритм Фаддеева – Леверье

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (2013), Матричный анализ , второе издание. Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-54823-6 
• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1 

Внешние ссылки [ править ]

• Справочное руководство по матрице
• Онлайн-калькулятор матриц (определитель, дорожка, обратная, сопряженная, транспонированная) Вычисление матрицы адъюгации до 8
• "Сопряжение {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}" . Вольфрам Альфа .