В линейной алгебре , минор из матрицы А является определяющим фактором некоторой меньшей квадратной матрицы , срезал A пути удаления одного или несколько из ее строк и столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), требуются для вычисления матричных кофакторов , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного к квадратным матрицам.
Определение и иллюстрация [ править ]
Первые несовершеннолетние [ править ]
Если представляет собой квадратную матрицу, то незначительные вступления в я - й строки и J - го столбца (также называется ( я , J ) незначительные , или первый минор [1] ) является определяющим фактором в подматрицы образуется путем удаления я й строки и J - го столбца. Это число часто обозначают M i, j . Кофактор ( i , j ) получается умножением младшего на .
Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3,
Чтобы вычислить минор M 2,3 и кофактор C 2,3 , мы находим определитель указанной выше матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.
Таким образом, кофактор записи (2,3) равен
Общее определение [ править ]
Пусть A - матрица размера m × n, а k - целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . К × к незначительному из А , называемые также незначительный определителем порядка к части А , или, если т = п , ( п - к ) й минору определитель из А (слово «детерминант» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо "порядок") является определяющим факторомМатрица размером k × k, полученная из A путем удаления m - k строк и n - k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения K × K матрица , полученная из A , как указано выше (путем удаления м - K строк и п - K столбцов), но эта матрица должна называться (квадрат) подматрицы из А , в результате чего термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A, как указано выше, существует всего миноров размера k × к . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы, то нулевой минор только определитель матрицы. [2] [3]
Пусть и будут упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как это всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовите их I и J соответственно. Незначительный , соответствующие этот выбор индексов обозначаются или или или или или (там , где обозначает последовательность индексов I и т.д.), в зависимости от источника. Кроме того, в литературе используются два типа обозначений: второстепенные, связанные с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторыми авторами [4]означает определитель матрицы, которая формируется , как указано выше, принимая элементы исходной матрицы из строк , чьи индексы в I и столбцов, индексы в J , тогда как некоторые другие авторы имеют в виду несовершеннолетним , связанной с I и J в определитель матрицы , образованной из исходной матрицы путем удаления строк в I и столбцы J . [2] Выбор используемого обозначения всегда следует уточнять в соответствующем источнике. В этой статье мы используем широкое определение выбора элементов из рядов I и столбцов J . Исключительный случай - это случай первого несовершеннолетнего или ( i, j ) -минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение является стандартным во всей литературе и также используется в этой статье.
Дополнение [ править ]
Дополнение B ijk ..., pqr ... минора M ijk ..., pqr ... квадратной матрицы A образовано определителем матрицы A, из которой все строки ( ijk ... ) и столбцы ( pqr ... ), связанные с M ijk ..., pqr ... , были удалены. Дополнение к первому минорному элементу a ij является просто этим элементом. [5]
Заявления миноров и кофакторов [ править ]
Расширение кофактора определителя [ править ]
Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения детерминантов, которая представляет собой метод вычисления больших детерминантов через меньшие. Для матрицы размера n × n определитель матрицы A , обозначенный как det ( A ), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их сгенерировали. Другими словами, определение расширения кофактора по j- му столбцу дает:
Расширение кофактора по i- й строке дает:
Обратная матрица [ править ]
Можно записать инверсию обратимой матрицы , вычислив ее сомножители с помощью правила Крамера , как показано ниже. Матрица, образованная всеми кофакторами квадратной матрицы A , называется кофакторной матрицей (также называемой матрицей кофакторов или, иногда, коматриксом ):
Тогда обратное к A - это транспонирование матрицы кофакторов, умноженное на обратную величину определителя A :
Транспонированная матрица кофактора называется adjugate матрица (также называемой классическим сопряженным ) из A .
Вышеупомянутая формула может быть обобщена следующим образом: Пусть и будут упорядоченными последовательностями (в естественном порядке) индексов (здесь A - это матрица размера n × n ). Тогда [6]
где I ′ , J ′ обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополняющих I , J , так что каждый индекс 1, ..., n появляется ровно один раз в I или I ' , но не в обоих (аналогично для J и J' ) и обозначает определитель подматрицы A , образованного путем выбора строки индекса устанавливается I и столбцов множества индексов J . Также . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. Верно,
где - базисные векторы. Действуя А с обеих сторон, мы получаем
Знак может быть разработан , чтобы быть , таким образом , знак определяется суммами элементов в I и J .
Другие приложения [ править ]
Для матрицы размера m × n с действительными элементами (или элементами из любого другого поля ) и ранга r существует по крайней мере один ненулевой минор r × r , в то время как все более крупные миноры равны нулю.
Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A - матрица размера m × n , I - подмножество {1, ..., m } с k элементами, а J - подмножество {1, ..., n } с K элементов, то мы будем писать [ ] Я , J для K × K минор A , что соответствует строкам с индексом в I и столбцах с индексом в J .
- Если I = J , то [ A ] I , J называется главным минором .
- Если матрица, соответствующая главному минору, является квадратичной верхней левой частью большей матрицы (т. Е. Состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k ), то главный минор называется ведущим главным минором (из порядок k) или угловой (основной) минор (порядка k) . [3] Для квадратной матрицы размера n × n существует n старших главных миноров.
- Базисный минор матрицы является определителем квадратной подматрицы , который максимального размера с ненулевым определителем. [3]
- Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки на положительную определенность, а главные миноры могут использоваться для проверки на положительную полуопределенность . См . Критерий Сильвестра для более подробной информации.
И формула для обычного матричного умножения, и формула Коши – Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A - матрица размера m × n , B - матрица размера n × p , I - подмножество {1, ..., m } с k элементами, а J - подмножество {1, ..., p } с k элементами. Затем
где сумма распространяется на все подмножества K из {1, ..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.
Подход полилинейной алгебры [ править ]
Более систематическое, алгебраическое рассмотрение миноров дается в полилинейной алгебре с использованием произведения клина : k -миноры матрицы являются элементами k- го внешнего степенного отображения.
Если столбцы матрицы соединяются вместе k за раз, миноры k × k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы
равны −13 (из первых двух строк), −7 (из первой и последней строки) и 5 (из последних двух строк). Теперь рассмотрим произведение клина
где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства продукта клина, а именно его билинейность и чередование ,
и антисимметричный ,
мы можем упростить это выражение до
где коэффициенты согласуются с ранее вычисленными минорами.
Замечание о различных обозначениях [ править ]
В некоторых книгах вместо кофактора используется термин « добавка» . [7] Кроме того, он обозначается как A ij и определяется так же, как кофактор:
В этих обозначениях обратная матрица записывается так:
Имейте в виду , что придаток не adjugate или сопряженный . В современной терминологии «сопряженная» матрица чаще всего относится к соответствующему сопряженному оператору .
См. Также [ править ]
- Подматрица
Ссылки [ править ]
- ^ Бернсайд, Уильям Сноу и Пантон, Артур Уильям (1886) Теория уравнений: с введением в теорию двоичной алгебраической формы .
- ^ a b Элементарная матричная алгебра (третье издание), Франц Э. Хон, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
- ^ a b c "Незначительный". Энциклопедия математики .
- ^ Линейная алгебра и геометрия, Игорь Р. Шафаревич, Алексей О. Ремизов, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
- ^ Берта Джеффрис, Методы математической физики , стр.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 .
- ^ Виктор Vasil_evich Прасолов (13 июня 1994). Проблемы и теоремы линейной алгебры . American Mathematical Soc. С. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
- ^ Гантмахер , Теория матриц , Москва (1й изд, язык оригинала является русской.): Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953, p.491,
Внешние ссылки [ править ]
- Лекция MIT по линейной алгебре по кофакторам в Google Video, MIT OpenCourseWare
- PlanetMath запись кофакторов
- Энциклопедия математики Спрингера, запись для несовершеннолетних