Минор (линейная алгебра)

В линейной алгебре , минор из матрицы А является определяющим фактором некоторой меньшей квадратной матрицы , срезал A пути удаления одного или несколько из ее строк и столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), требуются для вычисления матричных сомножителей , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц.

Определение и иллюстрация [ править ]

Первые несовершеннолетние [ править ]

Если представляет собой квадратная матрица, то незначительные вступлений в я -  й строке и J -  го столбец (также называется ( я , J ) незначительным , или первый вспомогательный ^[1] ) является определяющим фактором в подматрице образуется путем удаления я  й строки и J -  го столбца. Это число часто обозначают M _{i, j} . Кофактор ( i , j ) получается умножением младшего на .${\displaystyle (-1)^{i+j}}$

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$

Чтобы вычислить минор M _2,3 и кофактор C _2,3 , мы находим определитель вышеуказанной матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.

${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$

Таким образом, кофактор записи (2,3) равен

${\displaystyle \ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$

Общее определение [ править ]

Пусть A - матрица размера m  ×  n, k - целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . К  ×  к незначительному из А , называемые также незначительный определителем порядка к части А , или, если т = п , ( п - к ) й минору определитель из А (слово «детерминант» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо "порядок") является определяющим факторомМатрица размера k  ×  k, полученная из A путем удаления m - k строк и n - k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения K  ×  K матрица , полученная из A , как указано выше (путем удаления м - K строк и п - K столбцов), но эта матрица должна называться (квадрат) подматрицы из А , в результате чего термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A, как указано выше, существует всего миноров размера k${\displaystyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ ×  к . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы, то нулевой минор только определитель матрицы. ^{[2] [3]}

Пусть и будут упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как это всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовите их I и J соответственно. Младший, соответствующий этому выбору индексов, обозначается или или или или или (где обозначает последовательность индексов I и т. Д.), В зависимости от источника. Кроме того, в литературе используются два типа обозначений: второстепенные, связанные с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы ^[4]${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$${\displaystyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$${\displaystyle \det _{I,J}A}$${\displaystyle \det A_{I,J}}$${\displaystyle [A]_{I,J}}$${\displaystyle M_{I,J}}$${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$${\displaystyle M_{(i),(j)}}$${\displaystyle (i)}$означает определитель матрицы, которая формируется , как указано выше, принимая элементы исходной матрицы из строк , чьи индексы в I и столбцов, индексы в J , тогда как некоторые другие авторы имеют в виду несовершеннолетним , связанной с I и J в определитель матрицы , образованной из исходной матрицы путем удаления строк в I и столбцы J . ^[2] Выбор используемой нотации всегда следует уточнять в соответствующем источнике. В этой статье мы используем широкое определение выбора элементов из рядов I и столбцов J . Исключительный случай - это случай первого несовершеннолетнего или ( i, j ) -минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение является стандартным во всей литературе и также используется в этой статье.${\displaystyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$

Дополнение [ править ]

Дополнение B _{ijk ..., pqr ...} минора M _{ijk ..., pqr ...} квадратной матрицы A образовано определителем матрицы A, из которой все строки ( ijk ... ) и столбцы ( pqr ... ), связанные с M _{ijk ..., pqr ...} , были удалены. Дополнение к первому минорному элементу a _ij является просто этим элементом. ^[5]

Заявления миноров и кофакторов [ править ]

Расширение кофактора определителя [ править ]

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения детерминантов, которая представляет собой метод вычисления больших детерминантов через меньшие. Для матрицы размера n  ×  n определитель матрицы A , обозначенный как det ( A ), может быть записан как сумма кофакторов любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их сгенерировали. Другими словами, определение разложения кофактора по j-  му столбцу дает:${\displaystyle A=(a_{ij})}$${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Расширение кофактора по i-  й строке дает:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Обратная матрица [ править ]

Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее сомножители, используя правило Крамера , как показано ниже. Матрица, образованная всеми кофакторами квадратной матрицы A , называется кофакторной матрицей (также называемой матрицей кофакторов или, иногда, коматриксом ):

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

Тогда обратное к A - это транспонирование матрицы кофакторов, умноженное на обратную величину определителя A :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Транспонированная матрица кофактора называется adjugate матрица (также называемой классическим сопряженным ) из A .

Вышеупомянутая формула может быть обобщена следующим образом: Пусть и - упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A - это матрица размера n  ×  n ). Тогда ^[6]${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$

где I ′ , J ′ обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополняющих I , J , так что каждый индекс 1, ..., n появляется ровно один раз в I или I ' , но не в обоих (аналогично для J и J' ) и обозначает определитель подматрицы A , образованного путем выбора строки индекса устанавливается I и столбцов множества индексов J . Также . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. В самом деле,${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$

где - базисные векторы. Действуя А с обеих сторон, мы получаем${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).}$

Знак может быть разработан , чтобы быть , таким образом , знак определяется суммами элементов в I и J .${\displaystyle (-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}}$

Другие приложения [ править ]

Для матрицы размера m  ×  n с действительными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r существует по крайней мере один ненулевой минор r  ×  r , в то время как все более крупные миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A - матрица размера m  ×  n , I - подмножество {1, ..., m } с k элементами, а J - подмножество {1, ..., n } с K элементов, то мы будем писать [ ] _{Я , J} для K  ×  K минор A , что соответствует строкам с индексом в I и столбцах с индексом в J .

• Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
• Если матрица, соответствующая главному минору, является квадратичной верхней левой частью большей матрицы (т. Е. Состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k ), то главный минор называется ведущим главным минором (из порядок k) или угловой (основной) минор (порядка k) . ^[3] Для квадратной матрицы размера n  ×  n существует n старших главных миноров.
• Базисный минор матрицы является определителем квадратной подматрицы , который максимального размера с ненулевым определителем. ^[3]
• Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки на положительную определенность, а главные миноры могут использоваться для проверки на положительную полуопределенность . См . Критерий Сильвестра для более подробной информации.

И формула для обычного матричного умножения, и формула Коши – Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A - матрица размера m  ×  n , B - матрица размера n  ×  p , I - подмножество {1, ..., m } с k элементами, а J - подмножество {1, ..., p } с k элементами. потом

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1, ..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.

Подход полилинейной алгебры [ править ]

Более систематическое, алгебраическое рассмотрение миноров дается в полилинейной алгебре с использованием произведения клина : k -миноры матрицы являются элементами k- го внешнего степенного отображения.

Если столбцы матрицы соединяются вместе k за раз, миноры k  ×  k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$

равны −13 (из первых двух строк), −7 (из первой и последней строки) и 5 ​​(из последних двух строк). Теперь рассмотрим продукт клина

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства продукта клина, а именно его билинейность и чередование ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$

и антисимметричный ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$

мы можем упростить это выражение до

${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

где коэффициенты согласуются с ранее вычисленными минорами.

Замечание о различных обозначениях [ править ]

В некоторых книгах вместо кофактора используется термин « добавка» . ^[7] Кроме того, он обозначается как A _ij и определяется так же, как кофактор:

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$

В этих обозначениях обратная матрица записывается так:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$

Имейте в виду , что придаток не adjugate или сопряженный . В современной терминологии термин «сопряженный» матрицы чаще всего относится к соответствующему сопряженному оператору .

См. Также [ править ]

• Подматрица

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Лекция MIT по линейной алгебре по кофакторам в Google Video, MIT OpenCourseWare
• Запись в PlanetMath кофакторов
• Энциклопедия математики Спрингера, запись для несовершеннолетних