Персимметричная матрица

В математике , персимметричная матрица может означать:

1. квадратная матрица , которая является симметричным по отношению к северо - востоку к юго - запад по диагонали; или же
2. квадратная матрица такая, что значения на каждой линии, перпендикулярной главной диагонали, одинаковы для данной линии.

Первое определение является наиболее распространенным в современной литературе. Обозначение « матрица Ганкеля » часто используется для матриц, удовлетворяющих свойству во втором определении.

Определение 1 [ править ]

Картина симметрии персимметричной матрицы 5 × 5

Пусть A = ( a _{i j} ) - матрица размера n  ×  n . Первое определение персимметричного требует, чтобы

${\ displaystyle a_ {ij} = a_ {n-j + 1, n-i + 1}}$для всех i , j . ^[1]

Например, персимметричные матрицы 5 × 5 имеют вид

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$

Это может быть эквивалентно выражено как AJ = JA ^T, где J - матрица обмена .

Симметричная матрица представляет собой матрицу , чьи значения являются симметричными по диагонали на северо - запад-к-юго-восток. Если симметричная матрица повернута на 90 °, она становится персимметричной матрицей. Симметричные персимметричные матрицы иногда называют бисимметричными матрицами .

Определение 2 [ править ]

Второе определение принадлежит Томасу Мьюиру . ^[2] Он говорит, что квадратная матрица A = ( a _{i j} ) персимметрична, если a _{i j} зависит только от i + j . Персимметричные матрицы в этом смысле или матрицы Ганкеля, как их часто называют, имеют вид

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$

Персимметричная определитель является определителем из персимметричной матрицы. ^[2]

Матрица, для которой значения на каждой строке, параллельной главной диагонали, постоянны, называется матрицей Теплица .

См. Также [ править ]

• Центросимметричная матрица

Ссылки [ править ]