Матрица Коши

В математике , А матрица Коши , названная в честь Кошей , является т × п матрица с элементами _IJ в виде

${\ displaystyle a_ {ij} = {\ frac {1} {x_ {i} -y_ {j}}}; \ quad x_ {i} -y_ {j} \ neq 0, \ quad 1 \ leq i \ leq m, \ quad 1 \ leq j \ leq n}$

где и являются элементами поля , а и являются инъективными последовательностями (они содержат различные элементы).${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {j}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle (x_ {i})}$${\ displaystyle (y_ {j})}$

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши, где

${\ Displaystyle x_ {i} -y_ {j} = я + j-1. \;}$

Каждая подматрица матрицы Коши сама является матрицей Коши.

Детерминанты Коши [ править ]

Определитель матрицы Коши, очевидно, является рациональной дробью по параметрам и . Если бы последовательности не были инъективными, детерминант обратился бы в нуль и стремится к бесконечности, если некоторые стремятся к этому . Таким образом, известно подмножество его нулей и полюсов. Дело в том, что нулей и полюсов больше нет:${\ displaystyle (x_ {i})}$${\ displaystyle (y_ {j})}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {j}}$

Определитель квадратной матрицы Коши A известен как определитель Коши и может быть явно задан как

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$     (Шехтер, 1959, уравнение 4; Коши, 1841, стр.154, уравнение 10).

Он всегда отличен от нуля, и поэтому все квадратные матрицы Коши обратимы . Обратное A ⁻¹ = B = [b _ij ] дается формулой

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$     (Шехтер 1959, теорема 1)

где A _i (x) и B _i (x) - полиномы Лагранжа для и соответственно. Это, ${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle (y_{j})}$

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{and}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

с участием

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{and}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

Обобщение [ править ]

Матрица C называется коши-подобной, если она имеет вид

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

Определяя X = diag (x _i ), Y = diag (y _i ), можно увидеть, что как матрицы Коши, так и матрицы типа Коши удовлетворяют уравнению смещения

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

(с для модели Коши). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общую структуру смещения , которую можно использовать при работе с матрицей. Например, в литературе известны алгоритмы для${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$

• приближенное умножение матрицы Коши на вектор с операциями (например, метод быстрого мультиполя ),${\displaystyle O(n\log n)}$
• ( повернуто ) факторизация LU с помощью ops (алгоритм GKO) и, таким образом, решение линейных систем,${\displaystyle O(n^{2})}$
• приближенные или неустойчивые алгоритмы решения линейных систем в .${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

Здесь обозначается размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все алгоритмы легко обобщаются на прямоугольные матрицы).${\displaystyle n}$

См. Также [ править ]

• Матрица Теплица
• Треугольная личность Фэй

Ссылки [ править ]

• Коши, Огюстен Луи (1841). Exercices d'analyse et de Physique mathématique. Vol. 2 (на французском языке). Башелье.
• А. Герасулис (1988). «Быстрый алгоритм умножения обобщенных матриц Гильберта на векторы» (PDF) . Математика вычислений . 50 (181): 179–188. DOI : 10.2307 / 2007921 . JSTOR  2007921 .
• И. Гохберг; Т. Кайлат; В. Ольшевский (1995). «Быстрое исключение Гаусса с частичным поворотом для матриц со структурой смещения» (PDF) . Математика вычислений . 64 (212): 1557–1576. Bibcode : 1995MaCom..64.1557G . DOI : 10.1090 / s0025-5718-1995-1312096-х .
• П.Г. Мартинссон; М. Тигерт; В. Рохлин (2005). « Алгоритм обращения общих матриц Теплица» ${\displaystyle O(N\log ^{2}N)}$ (PDF) . Компьютеры и математика с приложениями . 50 (5–6): 741–752. DOI : 10.1016 / j.camwa.2005.03.011 .
• С. Шехтер (1959). «Об обращении некоторых матриц» (PDF) . Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . 13 (66): 73–77. DOI : 10.2307 / 2001955 . JSTOR  2001955 .