Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , A полностью метризуемое пространство [1] ( метрический топологический полное пространство [2] ) представляет собой топологическое пространство ( Х , Т ) , для которой существует по крайней мере один метрика д на X таких , что ( X , d ) является полным метрическим пространство и г индуцирует топологию Т . Термин топологически полное пространство используется некоторыми авторами как синоним полного метризуемого пространства , [3]но иногда также используется для других классов топологических пространств, таких как полностью униформизуемые пространства [4] или полные по Чеху пространства .

Разница между полным метрическим пространством и полностью метризуемым пространством [ править ]

Разница между полностью метризуемым пространством и полным метрическим пространством заключается в словах, что существует по крайней мере одна метрика в определении полностью метризуемого пространства, что не то же самое, что и заданная метрика (последнее дало бы определение полного метрического пространства ). Как только мы сделаем выбор метрики на полностью метризуемом пространстве (из всех полных метрик, совместимых с топологией), мы получим полное метрическое пространство. Другими словами, категория вполне метризуемых пространств является подкатегориейкатегории топологических пространств, в то время как категория полных метрических пространств нет (вместо этого, это подкатегория категории метрических пространств). Полная метризуемость - это топологическое свойство, а полнота - свойство метрики. [5]

Примеры [ править ]

  • Пространство (0,1) ⊂ R , открытый интервал блока, не является полным метрическим пространство с его обычной метрикой , унаследованным от R , но это совершенно метризуемое , так как она гомеоморфная к R . [6]
  • Пространство Q из рациональных чисел с топологией подпространства , унаследованной от R метризуемо , но не вполне метризуемы. [7]

Свойства [ править ]

  • Топологическое пространство X вполне метризуемо тогда и только тогда , когда Х является метризуемым и G δ в его стоун-чеховское β Х . [8]
  • Подпространство вполне метризуемого пространства X вполне метризуемо тогда и только тогда , когда это G δ в Х . [9]
  • Счетное произведение непустых метризуемых пространств вполне метризуемо в топологии произведения тогда и только тогда, когда каждый фактор вполне метризуем. [10] Следовательно, произведение непустых метризуемых пространств вполне метризуемо тогда и только тогда, когда не более чем счетное число множителей имеет более одной точки и каждый множитель вполне метризуем. [11]
  • Для каждого метризуемого пространства существует вполне метризуемое пространство, содержащее его как плотное подпространство, поскольку каждое метрическое пространство имеет пополнение . [12] В общем, существует много таких полностью метризуемых пространств, поскольку пополнения топологического пространства по разным метрикам, совместимым с его топологией, могут давать топологически разные пополнения.

Полностью метризуемые абелевы топологические группы [ править ]

Когда мы говорим о пространствах с большей структурой, чем просто топология, таких как топологические группы , естественным смыслом слов «полностью метризуемые», вероятно, было бы существование полной метрики, которая также совместима с этой дополнительной структурой, в дополнение к индуцированию ее топологии. Для абелевых топологических групп и топологических векторных пространств «совместимость с дополнительной структурой» может означать, что метрика инвариантна относительно сдвигов.

Однако не может возникнуть путаницы, когда речь идет о полностью метризуемой абелевой топологической группе или топологическом векторном пространстве: можно доказать, что каждая абелева топологическая группа (и, следовательно, также каждое топологическое векторное пространство) полностью метризуема как топологическое пространство (т. , допускает полную метрику, индуцирующую его топологию) также допускает инвариантную полную метрику, индуцирующую его топологию. [13]

Отсюда следует, например, что всякое полностью метризуемое топологическое векторное пространство полно. Действительно, топологическое векторное пространство называется полным тогда и только тогда, когда его однородность (индуцированная его топологией и операцией сложения) полная; равномерность, индуцированная трансляционно-инвариантной метрикой, индуцирующей топологию, совпадает с исходной однородностью.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

  1. ^ Уиллард, Определение 24.2
  2. ^ Kelley, проблема 6.K, стр. 207
  3. ^ например, Стин и Зеебах, I §5: Полные метрические пространства
  4. ^ Келли, Проблема 6.L, стр. 208
  5. ^ Уиллард 1970 Раздел 24.
  6. ↑ Уиллард, Глава 24
  7. ^ Уиллард, Упражнение 25A
  8. ^ Уиллард, теорема 24.13
  9. ↑ Уиллард, Глава 24
  10. ↑ Уиллард, Глава 24
  11. ^ Потому что произведение непустых метризуемых пространств метризуемо тогда и только тогда, когда не более чем счетное число множителей имеет более одной точки (Уиллард, глава 22).
  12. ↑ Уиллард, Глава 24
  13. Перейти ↑ Klee, VL (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Proc. Амер. Математика. Soc. (3): 484–487. DOI : 10.1090 / s0002-9939-1952-0047250-4 .

Ссылки [ править ]

  • Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
  • Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1970). Контрпримеры в топологии . Holt, Rinehart and Winston, Inc. ISBN 978-0-03-079485-8.
  • Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Издательство Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-08707-9.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )