Модульная теория представлений является ветвью математики , и та часть теории представлений , что исследования линейных представлений о конечных группах над полем К положительной характеристике р , обязательно простого числа . А также иметь приложения к теории групповой , модульные представления в естественно возникают другие отрасли математики, такие как алгебраической геометрии , теории кодирования [ править ] , комбинаторика и теория чисел .
В рамках теории конечных групп теоретико-характерные результаты, доказанные Ричардом Брауэром с использованием теории модулярных представлений, сыграли важную роль в раннем прогрессе в направлении классификации конечных простых групп , особенно для простых групп , характеризация которых не поддалась чисто теоретико-групповым методам, поскольку их силовские 2-подгруппы были в определенном смысле слишком малы. Кроме того, общий результат о вложении элементов порядка 2 в конечные группы, называемый теоремой Z * , доказанный Джорджем Глауберманом с использованием теории, развитой Брауэром, был особенно полезен в программе классификации.
Если характеристика p поля K не делит порядок | G |, то модульные представления вполне приводимы, как и обычные (характеристические 0) представления, в силу теоремы Машке . В другом случае, когда | G | ≡ 0 mod p , процесс усреднения по группе, необходимый для доказательства теоремы Машке, не работает, и представления не обязательно должны быть полностью приводимыми. Большая часть обсуждения ниже неявно предполагает, что поле K достаточно велико (например, K достаточно алгебраически замкнуто ), в противном случае некоторые утверждения нуждаются в уточнении.
История [ править ]
Самая ранняя работа по теории представлений над конечными полями принадлежит Диксону (1902), который показал, что, когда p не делит порядок группы, теория представлений аналогична теории представлений характеристики 0. Он также исследовал модулярные инварианты некоторых конечных групп. Систематическое изучение модульных представлений, когда характеристика p делит порядок группы, было начато Брауэром (1935) и продолжалось им в течение следующих нескольких десятилетий.
Пример [ править ]
Нахождение представления циклической группы из двух элементов над F 2 эквивалентно задаче поиска матриц , квадрат которых является единичной матрицей . Для каждого поля характеристики, отличной от 2, всегда существует такой базис , что матрица может быть записана как диагональная матрица с только 1 или -1, встречающимися на диагонали, например
Более F 2 есть много других возможных матриц, таких как
Теория представлений конечной циклической группы над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики полностью объясняется теорией жордановой нормальной формы . Недиагональные жордановы формы возникают, когда характеристика делит порядок группы.
Интерпретация теории колец [ править ]
Учитывая , поле К и конечной группе G , то групповая алгебра K [ G ] (который является К - векторное пространством с K -базисом , состоящими из элементов G , наделенных умножением алгебры, продлив умножение G по линейности) является артиново кольцо .
Когда порядок группы G делится на характеристику K , групповая алгебра не является полупростой , следовательно, имеет ненулевой радикал Джекобсона . В этом случае существуют конечномерные модули для групповой алгебры, которые не являются проективными модулями . В противоположность этому , в характеристике 0 случае каждое неприводимое представление является прямым слагаемым из регулярного представления , следовательно , является проективным.
Персонажи Брауэра [ править ]
Теория модульного представления была разработана Ричардом Брауэром примерно с 1940 года для более глубокого изучения взаимосвязей между характеристической теорией представления p, теорией обычных характеров и структурой G , особенно в том, что последнее относится к встраиванию и взаимосвязям между его p-представлением. -подгруппы. Такие результаты могут быть применены в теории групп к проблемам, не сформулированным непосредственно в терминах представлений.
Брауэр ввел понятие, теперь известное как персонаж Брауэра . Когда K алгебраически замкнут с положительной характеристикой p , существует биекция между корнями из единицы в K и комплексными корнями из единицы порядка, простого с p . Как только выбор такой биекции зафиксирован, характер Брауэра представления присваивает каждому элементу группы порядка, взаимно простого с p, сумму комплексных корней из единицы, соответствующих собственным значениям (включая кратности) этого элемента в данном представлении.
Брауэровский характер представления определяет его композиционные факторы, но не, в целом, его тип эквивалентности. Неприводимые характеры Брауэра - это те, которые даются простыми модулями. Это целые (хотя и не обязательно неотрицательные) комбинации ограничений на элементы порядка, взаимно простого с p обычных неприводимых характеров. Наоборот, ограничение на элементы порядка, взаимно простого с p каждого обычного неприводимого символа, однозначно выражается как неотрицательная целочисленная комбинация неприводимых символов Брауэра.
Редукция (мод. P ) [ править ]
В теории, первоначально разработанной Брауэром, связь между теорией обычных представлений и теорией модульных представлений лучше всего иллюстрируется рассмотрением групповой алгебры группы G над полным кольцом дискретного нормирования R с полем вычетов K положительной характеристики p и полем частных F характеристики 0, например, целые p -адические числа . Структура R [ G ] тесно связана как со структурой групповой алгебры K [ G ], так и со структурой полупростой групповой алгебры F [ G], и существует много взаимосвязей между теорией модулей трех алгебр.
Каждый R [ G ] -модуль естественным образом порождает F [ G ] -модуль, а также процесс, который неофициально называют редукцией (mod p ) , до K [ G ] -модуля. С другой стороны, поскольку R - область главных идеалов , каждый конечномерный F [ G ] -модуль возникает в результате расширения скаляров из R [ G ] -модуля. Однако в общем случае не все K [ G ] -модули возникают как редукции (mod p ) модуля R [ G] -модули. Те, что делают, можно поднять .
Количество простых модулей [ править ]
В обычной теории представлений, число простых модулей к ( G ) равно числу классов сопряженных с G . В модульном случае количество l ( G ) простых модулей равно количеству классов сопряженных элементов, порядок элементов которых взаимно прост с соответствующим простым p , так называемых p -регулярных классов.
Блоки и структура групповой алгебры [ править ]
В теории модульного представления, хотя теорема Машке не выполняется, когда характеристика делит групповой порядок, групповая алгебра может быть разложена как прямая сумма максимального набора двусторонних идеалов, известных как блоки . Когда поле F имеет характеристику 0 или характеристику, взаимно простую с порядком группы, все еще существует такое разложение групповой алгебры F [ G ] в виде суммы блоков (по одному для каждого типа изоморфизма простого модуля), но ситуация такова. относительно прозрачен, когда F достаточно велик: каждый блок является полной матричной алгеброй над F , кольцом эндоморфизмов векторного пространства, лежащего в основе связанного простого модуля.
To obtain the blocks, the identity element of the group G is decomposed as a sum of primitive idempotents in Z ( R [G]), the center of the group algebra over the maximal order R of F . The block corresponding to the primitive idempotent e is the two-sided ideal e R [ G ]. Для каждого неразложимом R [ G ] -модуль, существует только один такой примитивный идемпотентная , который не уничтожить его, и модуль называется принадлежать (или быть в) соответствующий блок (в этом случае, все его композиционные факторытакже принадлежат к этому блоку). В частности, каждый простой модуль принадлежит уникальному блоку. Каждый обычный неприводимый символ также может быть назначен уникальному блоку в соответствии с его разложением в виде суммы неприводимых символов Брауэра. Блок, содержащий тривиальный модуль , известен как главный блок .
Проективные модули [ править ]
В обычной теории представлений каждый неразложимый модуль неприводим, поэтому каждый модуль проективен. Однако простые модули с характеристикой, разделяющей групповой порядок, редко бывают проективными. В самом деле, если простой модуль проективен, то это единственный простой модуль в своем блоке, который тогда изоморфен алгебре эндоморфизмов основного векторного пространства, полной матричной алгебре. В этом случае говорят, что блок имеет дефект 0. Как правило, структуру проективных модулей сложно определить.
Для групповой алгебры конечной группы (типы изоморфизма) проективных неразложимых модулей находятся во взаимно однозначном соответствии с (типами изоморфизма) простых модулей: цоколь каждого проективно неразложимого модуля прост (и изоморфен модулю). вверху), и это обеспечивает биекцию, поскольку неизоморфные проективные неразложимые конструкции имеют неизоморфные цоколи. Кратность проективного неразложимого модуля как слагаемого групповой алгебры (рассматриваемой как регулярный модуль) является размерностью его цоколя (для достаточно больших полей нулевой характеристики это восстанавливает тот факт, что каждый простой модуль встречается с кратностью, равной его размерность как прямое слагаемое регулярного модуля).
Каждый проективный неразложимый модуль (и, следовательно, каждый проективный модуль) в положительной характеристике p можно поднять до модуля в характеристике 0. Используя кольцо R, как указано выше, с полем вычетов K , единичный элемент G может быть разложен как сумму взаимно ортогональные примитивные идемпотенты (не обязательно центральные) группы K [ G ]. Каждый проективный неразложимый K [ G ] -модуль изоморфен e . K [ G ] для примитивного идемпотента e , входящего в это разложение. Идемпотент eлифты в примитивном идемпотенту, скажем Е , из R [ G ], а левый модуль Е . R [ G ] имеет редукцию (mod p ), изоморфную e . K [ G ].
Некоторые соотношения ортогональности для персонажей Брауэра [ править ]
Когда проективный модуль поднимается, ассоциированный характер обращается в нуль на всех элементах порядка, делящегося на p , и (при последовательном выборе корней из единицы) согласуется с характером Брауэра исходной характеристики p- модуля на p-регулярные элементы. Таким образом, можно определить (обычное кольцо символов) скалярное произведение характера Брауэра проективного неразложимого с любым другим характером Брауэра: это 0, если второй характер Брауэра является характером цоколя неизоморфного проективно неразложимого, и 1 если второй символ Брауэра - это символ его собственного цоколя. Кратность обычного неприводимого характера в характере подъема проективной неразложимой конструкции равна числу вхождений характера Брауэра цоколя проективной неразложимости, когда ограничение обычного характера на p -регулярные элементы выражается как сумма неприводимых характеров Брауэра.
Матрица разложения и матрица Картана [ править ]
В композиционных факторах проективных неразложимых модулей могут быть рассчитаны следующим образом : С учетом обычных неприводимые и неприводимые характерами Брауэра конкретной конечной группы, неприводимые обычные символы могут быть разложены в неотрицательных целых комбинациях неприводимых характеров Брауэра. Соответствующие целые числа могут быть помещены в матрицу, при этом обычным неприводимым символам назначены строки, а неприводимым символам Брауэра - столбцы. Это упоминается как матрицы разложения , и часто помечена D . Принято помещать банальные обычные символы и символы Брауэра в первую строку и столбец соответственно. Произведение транспонирования D наСама D приводит к матрице Картана , обычно обозначаемой C ; это симметричная матрица, элементы j -й строки которой являются кратностями соответствующих простых модулей как композиционных факторов j -го проективного неразложимого модуля. Матрица Картана невырожденная; на самом деле, ее определитель является степенью характеристики K .
Поскольку проективный неразложимый модуль в данном блоке имеет все свои композиционные факторы в этом же блоке, каждый блок имеет свою собственную матрицу Картана.
Группы дефектов [ править ]
Каждому блоку B групповой алгебры K [ G ] Брауэр сопоставил некоторую p -подгруппу, известную как ее группа дефектов (где p - характеристика K ). Формально, это самый большой P -подгруппой D из G , для которого существует корреспондент Брауэра из B для подгруппы , где является центратор из D в G .
Группа дефектов блока уникальна с точностью до сопряженности и сильно влияет на структуру блока. Например, если группа дефектов тривиальна, то блок содержит только один простой модуль, только один обычный символ, обычные и неприводимые характеры Брауэра согласовывают элементы порядка, простого с соответствующей характеристикой p , и простой модуль является проективным. С другой стороны, когда K имеет характеристику p , силовская p -подгруппа конечной группы G является группой дефектов для главного блока группы K [ G ].
Порядок группы дефектов блока имеет множество арифметических характеристик, связанных с теорией представлений. Это наибольший инвариантный множитель матрицы Картана блока, и его кратность равна единице. Кроме того, степень p, делящая индекс группы дефектов блока, является наибольшим общим делителем степеней p, делящим размеры простых модулей в этом блоке, и это совпадает с наибольшим общим делителем степеней p деление степеней обычных неприводимых символов в этом блоке.
Другие отношения между группой дефектов блока и теорией характера включают результат Брауэра о том, что если никакое сопряжение p -части элемента группы g не находится в группе дефектов данного блока, то каждый неприводимый символ в этом блоке исчезает в g . Это одно из многих следствий второй основной теоремы Брауэра.
Группа дефектов блока также имеет несколько характеристик в более теоретико-модульном подходе к теории блоков, основанном на работе Дж. А. Грина , который связывает p -подгруппу, известную как вершина, с неразложимым модулем, определенным в терминах относительной проективности. модуля. Например, вершина каждого неразложимого модуля в блоке содержится (с точностью до сопряженности) в группе дефектов блока, и никакая собственная подгруппа группы дефектов не обладает этим свойством.
Первая основная теорема Брауэра утверждает, что количество блоков конечной группы, которые имеют данную p -подгруппу в качестве дефектной группы, совпадает с соответствующим числом для нормализатора в группе этой p -подгруппы.
Проще всего анализировать блочную структуру с нетривиальной группой дефектов, когда последняя является циклической. Тогда существует только конечное число типов изоморфизма неразложимых модулей в блоке, и структура блока к настоящему времени хорошо изучена благодаря работам Брауэра, EC Dade , JA Green и JG Thompson , среди других. Во всех остальных случаях в блоке бесконечно много типов изоморфизма неразложимых модулей.
Блоки, группы дефектов которых нециклические, можно разделить на два типа: ручные и дикие. Эти ручные блоки (которые имеют место только для Prime 2) имеют в качестве дефекта группы в группу диэдра , полудиэдральной группу или (обобщенный) кватернионы группу , а их структура была широко определена в ряде работ Karin Эрдмана . Неразложимые модули в диких блоках чрезвычайно сложно классифицировать даже в принципе.
Ссылки [ править ]
- Брауэр, Р. (1935), Über die Darstellung von Gruppen in Galoisschen Feldern , Actualités Scientifiques et Industrielles, 195 , Париж: Hermann et cie, стр. 1–15, обзор
- Диксон, Леонард Юджин (1902), «О группе, определенной для любого заданного поля таблицей умножения любой заданной конечной группы», Труды Американского математического общества , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , 3 (3): 285– 301, DOI : 10,2307 / 1986379 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986379
- Жан-Пьер Серр (1977). Линейные представления конечных групп . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90190-6.
- Вальтер Фейт (1982). Теория представлений конечных групп . Математическая библиотека Северной Голландии. 25 . Амстердам-Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии. ISBN 0-444-86155-6. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
