В математике, Джордж Глауберман «s Z * теорема формулируется следующим образом :
Z * Теорема: Пусть G будет конечной группа , с O ( G ) является его максимальной нормальной подгруппой из нечетного порядка . Если Т является силовской 2-подгруппой из G , содержащая инволюцию не сопряжено в G с любым другим элементом Т , то инволюция лежит в Z * ( G ), которая является прообразом в G из центра в G / O ( G ).
Это обобщает теорему Брауэра – Судзуки (и доказательство использует теорему Брауэра – Судзуки для рассмотрения некоторых небольших случаев).
Подробности [ править ]
В исходной статье ( Glauberman 1966 ) было дано несколько критериев того, что элемент лежит вне Z * ( G ). Его теорема 4 гласит:
Для элемента t в T необходимо и достаточно, чтобы t лежал вне Z * ( G ), что существует некоторый g в G и абелева подгруппа U в T, удовлетворяющие следующим свойствам:
- g нормализует как U, так и централизатор C T ( U ), то есть g содержится в N = N G ( U ) ∩ N G ( C T ( U ))
- t содержится в U и tg ≠ gt
- U порождается N -сопряженными к t
- показатель из U равен порядка от т
Более того, g может быть выбран так, чтобы он имел порядок мощности простых чисел , если t находится в центре T , и g может быть выбран в T в противном случае.
Простым следствием является то , что элемент т в Т не находится в Z * ( G ) , если и только если существует некоторая s ≠ т таким образом, что ей и т коммутируют и с и т являются G -сопряжены.
Обобщение на нечетные простые числа было записано в ( Guralnick & Robinson 1993 ): если т является элементом простого порядка р и коммутатор [ т , г ] имеет порядок взаимно простой с р для всех г , то т является центральным по модулю р '- ядро . Это также было обобщено на нечетные простые числа и компактные группы Ли в ( Mislin & Thévenaz, 1991 ), где также содержится несколько полезных результатов в конечном случае.
( Хенке & Semeraro 2014 ) также изучили расширение Z * теоремы для пар групп ( G , H ) с H нормальная подгруппа группы G .
Ссылки [ править ]
- Дейд, Эверетт С. (1971), "Теория характеров, относящаяся к конечным простым группам", Пауэлл, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту 0360785 дает подробное доказательство теоремы Брауэра – Судзуки.
- Глауберман, Джордж (1966), "Центральные элементы в основных свободных групп", журнал алгебры , 4 (3): 403-420, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (66) 90030-5 , ISSN 0021-8693 , М.Р. 0202822 , Zbl 0145,02802
- Гуралник, Роберт М .; Робинсон, Джеффри Р. (1993), "О расширениях теоремы Бэра-Сузуки", Израиль Журнал математики , 82 (1): 281-297, DOI : 10.1007 / BF02808114 , ISSN 0021-2172 , MR 1239051 , Zbl 0794,20029
- Хенке, Эллен; Семераро, Джейсон (2014). «Обобщение теоремы Z *». Arxiv : 1411.1932v1 [ math.GR ].
- Мислин, Гвидо; Thevenaz Жак (1991), "Зет * -теорема для компактных групп Ли" , Mathematische Annalen , 291 (1): 103-111, DOI : 10.1007 / BF01445193 , ISSN 0025-5831 , МР 1125010
