В математике, особенно в области теории конечных групп , теоремы Силова представляют собой набор теорем, названных в честь норвежского математика Питера Людвига Силова [1], которые дают подробную информацию о количестве подгрупп фиксированного порядка , содержащихся в данной конечной группе . Теоремы Силова составляют фундаментальную часть теории конечных групп и имеют очень важные приложения в классификации конечных простых групп .
Для простого числа , силовская p -подгруппа (иногда p -силовская подгруппа ) группы является максимальным -подгруппа , т. е. подгруппа то есть р -группа (так что порядок каждого элемента группы является сила из), не являющаяся собственной подгруппой какой-либо другой -подгруппа . Набор всех силовских-подгруппы для данного простого числа иногда пишется .
Теоремы Силова утверждают частичное обращение к теореме Лагранжа . Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы порядок (количество элементов) каждой подгруппы делит порядок . Теоремы Силова утверждают, что для каждого простого множителя порядка конечной группы существует силовская -подгруппа порядка , высшая степень что делит порядок . Более того, каждая подгруппа порядка силовский -подгруппа , и силовский -подгруппы группы (для данного простого ) сопряжены друг с другом. Кроме того, число силовских-подгруппы группы для данного простого числа соответствует .
Теоремы
Мотивация
Теоремы Силова - мощное утверждение о структуре групп в целом, но также мощное средство в приложениях теории конечных групп. Это потому, что они дают метод использования простого разложения мощности конечной группыдать утверждения о структуре ее подгрупп: по сути, он дает метод передачи базовой теоретико-числовой информации о группе в ее групповую структуру. Исходя из этого наблюдения, классификация конечных групп превращается в игру по поиску того, какие комбинации / конструкции групп меньшего порядка можно применять для построения группы. Например, типичное применение этих теорем - классификация конечных групп некоторой фиксированной мощности, например. [2]
Заявление
Коллекции подгрупп, каждая из которых максимальна в том или ином смысле, обычны в теории групп. Удивительный результат здесь заключается в том, что в случае, все члены фактически изоморфны друг другу и имеют максимально возможный порядок: если с участием где p не делит m , то каждая силовская p -подгруппа P имеет порядок. То есть P - p -группа и. Эти свойства могут быть использованы для дальнейшего анализа структуры G .
Следующие теоремы были впервые предложены и доказаны Людвигом Силовым в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen .
Теорема (1) - Для каждого простого множителя р с кратностью п порядка конечной группы G , существует силовскую р -подгруппу G , порядка.
Следующая более слабая версия теоремы 1 была впервые доказана Огюстэном-Луи Коши и известна как теорема Коши .
Следствие - Учитывая , конечная группа G и простое число р деления порядка G , то существует элемент (и , следовательно , циклическую подгруппу , порожденную этим элементом) порядка р в G . [3]
Теорема (2) - Учитывая , конечная группа G и простое число р , все силовские р -подгрупп G являются сопряжены друг с другом. То есть, если H и K силовские p -подгруппы группы G , то существует элемент с участием .
Теорема (3) - Пусть p - простой множитель с кратностью n порядка конечной группы G , так что порядок группы G можно записать как, где и p не делит m . Позволятьбыть числом силовского р -подгрупп G . Тогда имеет место следующее:
- делит м , который является индексом силовской р -подгруппы в G .
- , где P - любая силовская p -подгруппа группы G иобозначает нормализатор .
Последствия
Из теорем Силова следует, что для простого числа каждый силов -подгруппа того же порядка, . Наоборот, если подгруппа имеет порядок, то это силовский -подгруппа, а значит, изоморфна любой другой силовской -подгруппа. В силу условия максимальности, если есть ли -подгруппа , тогда является подгруппой -подгруппа порядка .
Очень важное следствие теоремы 2 состоит в том, что условие эквивалентно утверждению, что силовский -подгруппа является нормальной подгруппой . Однако есть группы, у которых есть нормальные подгруппы, но нет нормальных силовских подгрупп, например.
Теоремы Силова для бесконечных групп
Имеется аналог теорем Силова для бесконечных групп. Силовскую p -подгруппу в бесконечной группе определяют как p -подгруппу (то есть каждый элемент в ней имеет p -степенный порядок), максимальную для включения среди всех p -подгрупп в группе. Такие подгруппы существуют по лемме Цорна . Позволять обозначим множество классов сопряженности подгруппы
Теорема - Если K силовского р -подгруппа G , иконечна, то каждая силовская p -подгруппа сопряжена с K и.
Примеры
Простая иллюстрация силовских подгрупп и теорема Силова является группой диэдра из п -угольника, D 2 н . Для нечетного n 2 = 2 1 - это наивысшая степень двойки, делящая порядок, и, следовательно, подгруппы порядка 2 являются силовскими подгруппами. Это группы, порожденные отражением, их n , и все они сопряжены при поворотах; геометрически оси симметрии проходят через вершину и грань.
Напротив, если n четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются силовскими подгруппами, и фактически они попадают в два класса сопряженности, геометрически в зависимости от того, проходят ли они через две вершины или две. лица. Они связаны внешним автоморфизмом , который может быть представлен поворотом на π / n , половиной минимального вращения в группе диэдра.
Другой пример - силовские p-подгруппы в GL 2 ( F q ), где p и q простые числа ≥ 3 и p ≡ 1 (mod q ) , которые все абелевы . Порядок GL 2 ( F q ) равен ( q 2 - 1) ( q 2 - q ) = ( q ) ( q + 1) ( q - 1) 2 . Поскольку q = p n m + 1 , порядок GL 2 ( F q ) = p 2 n m ′ . Таким образом, по теореме 1 порядок силовских p -подгрупп равен p 2 n .
Одна такая подгруппа P - это набор диагональных матриц, Х является любой примитивный корень из F ц . Поскольку порядок F q равен q - 1 , его примитивные корни имеют порядок q - 1, что означает, что x ( q - 1) / p n или x m и все его степени имеют порядок, который является степенью p . Итак, P - подгруппа, все элементы которой имеют порядки, равные степеням p . Есть p n вариантов для a и b , в результате чего | P | = p 2 n . Это означает, что P силовская p -подгруппа, которая является абелевой, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все силовские p -подгруппы сопряжены друг с другом, силовские p -подгруппы в GL 2 ( F q ) являются все абелевы.
Примеры приложений
Поскольку теорема Силова гарантирует существование p-подгрупп конечной группы, стоит более внимательно изучить группы порядка мощности простых чисел. В большинстве примеров используется теорема Силова, чтобы доказать, что группа определенного порядка не проста . Для групп малого порядка условия конгруэнтности теоремы Силова часто достаточно, чтобы вызвать существование нормальной подгруппы .
- Пример-1
- Группы порядка pq , p и q простые, p < q .
- Пример-2
- Группа порядка 30, группы порядка 20, группы порядка p 2 q , p и q различных простых чисел - вот некоторые из приложений.
- Пример-3
- (Группы порядка 60): Если заказ | G | = 60 и G имеет более одной силовской 5-подгруппы, то G проста.
Циклические групповые заказы
Некоторые непростые числа n таковы, что каждая группа порядка n циклическая. Можно показать, что n = 15 - такое число, используя теоремы Силова: пусть G - группа порядка 15 = 3 · 5, а n 3 - количество силовских 3-подгрупп. Тогда n 3 5 и n 3 1 (mod 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим ограничениям, - 1; следовательно, существует только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальной (так как не имеет различных сопряженных). Точно так же n 5 должно делить 3, а n 5 должно быть равно 1 (mod 5); таким образом, она также должна иметь единственную нормальную подгруппу порядка 5. Поскольку 3 и 5 взаимно просты , пересечение этих двух подгрупп тривиально, и поэтому G должна быть внутренним прямым произведением групп порядка 3 и 5, то есть циклическим группа порядка 15. Таким образом, существует только одна группа порядка 15 (с точностью до изоморфизма).
Маленькие группы не просты
Более сложный пример включает порядок наименьшей простой группы, которая не является циклической . Теорема Бернсайда p a q b утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух степеней простых чисел , то она разрешима , и поэтому группа не является простой или имеет простой порядок и является циклической. Это исключает каждую группу до порядка 30 (= 2 · 3 · 5) .
Если G простая и | G | = 30, тогда n 3 должно делить 10 (= 2 · 5), а n 3 должно равняться 1 (mod 3). Следовательно, n 3 = 10, поскольку ни 4, ни 7 не делят 10, и если n 3 = 1, то, как и выше, G будет иметь нормальную подгруппу порядка 3 и не может быть простой. G тогда имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых имеет 2 элемента порядка 3 (плюс единица). Это означает, что G имеет не менее 20 различных элементов порядка 3.
Также n 5 = 6, поскольку n 5 должно делить 6 (= 2 · 3), а n 5 должно равняться 1 (mod 5). Таким образом, G также имеет 24 различных элемента порядка 5. Но порядок G равен только 30, поэтому простая группа порядка 30 не может существовать.
Далее предположим | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь n 7 должно делить 6 (= 2 · 3), а n 7 должно равняться 1 (mod 7), поэтому n 7 = 1. Итак, как и раньше, G не может быть простой.
С другой стороны, для | G | = 60 = 2 2 · 3 · 5, тогда n 3 = 10 и n 5 = 6 вполне возможно. И на самом деле, самая маленькая простая нециклическая группа - это A 5 , альтернированная группа из пяти элементов. Он имеет порядок 60 и 24 циклических перестановки порядка 5 и 20 - порядка 3.
Теорема Вильсона
Часть теоремы Вильсона утверждает, что
для каждого простого p . Эту теорему легко доказать с помощью третьей теоремы Силова. В самом деле, заметим, что число n p силовских p -подгрупп в симметрической группе S p равно ( p - 2)! . С другой стороны, n p ≡ 1 (mod p ) . Следовательно, ( p - 2)! ≡ 1 (мод. P ) . Итак, ( p - 1)! −1 (по модулю p ) .
Результаты слияния
Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Небольшое обобщение известно как теорема слитого Бернсайд состояния , что если G является конечной группа с силовским р -подгруппы Р и два подмножества A и B нормирована P , то A и B являются G -сопряжена тогда и только тогда , когда они являются N G ( P ) -сопряженные. Доказательство является простым применением теоремы Силова: если B = A g , то нормализатор B содержит не только P, но и P g (поскольку P g содержится в нормализаторе A g ). По теореме Силова Р и Р г сопряжена не только в G , но в нормализаторе B . Следовательно, gh −1 нормализует P для некоторого h, которое нормализует B , и тогда A gh −1 = B h −1 = B , так что A и B являются N G ( P ) -сопряженными. Теорема Бернсайда слияния может быть использована для получения более мощной факторизации, называемой полупрямым произведением : если G - конечная группа, силовская p -подгруппа P которой содержится в центре ее нормализатора, то G имеет нормальную подгруппу K порядка, взаимно простого с P , G = PK и P ∩ K = {1}, то есть G является р нильпотентным .
Менее тривиальные приложения теорем Силова включают теорему о фокальной подгруппе , которая изучает контроль силовской p -подгруппы производной подгруппы над структурой всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификации конечных простых групп и, например, определяет деления случаев, используемых в теореме Альперина – Брауэра – Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы , силовская 2-подгруппа которых является квазидиэдральной группой . Они полагаются на усиление Дж. Л. Альпериным части теоремы Силова о сопряжении, чтобы контролировать, какие типы элементов используются в сопряжении.
Доказательство теорем Силова.
Теоремы Силова доказывались разными способами, и история самих доказательств является предметом многих статей, в том числе Уотерхауса, [4] Шарлау, [5] Касадио и Заппа, [6] Гоу, [7] и в какой-то степени Мео. [8]
Одно доказательство теорем Силова использует понятие группового действия различными творческими способами. Группа G действует на себя или на множестве своих p -подгрупп различными способами, и каждое такое действие может быть использовано для доказательства одной из теорем Силова. Следующие доказательства основаны на комбинаторных рассуждениях Виландта. [9] В дальнейшем мы используем как обозначение для "a делит b" и за отрицание этого утверждения.
Теорема (1) - конечная группа G , порядокделится на степень простого числа p k, имеет подгруппу порядка p k .
Пусть | G | = p k m = p k + r u такое, что, и пусть Ω обозначает множество подмножеств G размера p k . G действует на Ω левым умножением: G ⋅ ω = { gx | x ∈ ω } . Для данного множества ω ∈ ω , запись G ω для ее стабилизирующей подгруппы {} и G со для его орбиты { G ⋅ & omega | G ∈ G } в Ω.
Доказательство покажет существование некоторого ω ∈ Ω, для которого G ω имеет p k элементов, дающих искомую подгруппу. Это максимально возможный размер стабилизирующей подгруппы G ω , поскольку для любого фиксированного элемента α ∈ ω ⊆ G образ G ω при биективном отображении G → G правого умножения на α ( G ↦ G α ) содержится в ω ; следовательно, | G ω | ≤ | ω | = p k .
По теореме орбиты стабилизатора мы имеем | G ω | | G ω | = | G | для каждого ω ∈ Ω , и, следовательно, используя аддитивную p-адическую оценку ν p , которая подсчитывает количество множителей p , получаем ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = к + г . Это означает, что для тех ω с | G ω | = Р к , те , которых мы ищем, один имеет v , р (| G ш |) = г , в то время как для любого другого со один имеет v , р (| G ш |)> г (как 0 <| G ш | < p k влечет ν p (| G ω |) < k ) . Поскольку | Ω | сумма | G ω | по всем различным орбитам G ω можно показать существование ω первого типа, показав, что ν p (| Ω |) = r (если бы их не было, то оценка превысила бы r ). Это пример из теоремы Куммера (так как в базовом р обозначения числа | G | концы с точно K + г цифрой ноля, вычитания р K из него включает перенос в г местах), а также может быть показана с помощью простого вычисления:
и никакой степени p не остается ни в одном из факторов внутри продукта справа. Следовательно, ν p (| Ω |) = ν p ( m ) = r , завершая доказательство.
Можно отметить, что, наоборот, каждая подгруппа H порядка p k порождает множества ω ∈ Ω, для которых G ω = H , а именно любой из m различных классов смежности Hg .
Лемма - Пусть G конечная р -группа, пусть Ω конечное множество, пусть Ω G множество , порожденное действием G на всех элементах Q, и пусть Q , 0 обозначит множество точек Ом G что фиксируются под действием G . Тогда | Ω G | ≡ | Ω 0 | (мод. p ) .
Написать Ом G в качестве несвязной суммы своих орбит под G . Любой элемент x ∈ Ω G, не фиксируемый G, будет лежать на орбите порядка | G | / | G x | (где G x обозначает стабилизатор ), который по предположению кратен p . Результат следует немедленно.
Теорема (2) - Если Н является р -подгруппой G и Р является силовским р -подгруппой G , то существует элемент G в G такое , что G -1 рт.ст. ≤ P . В частности, все силовские р -подгруппа G является сопряженным друг к другу (и , следовательно , изоморфно ), то есть, если Н и К является силовскими р -подгруппы G , то существует элемент G в G с G -1 Hg = K .
Пусть Ω множество левых смежных классов из P в G , и пусть H действует на Q , левым умножением. Применяя лемму к H на Ω, мы видим, что | Ω 0 | ≡ | Ω | = [ G : P ] (mod p ) . Сейчас по определению так , следовательно, в частности | Ω 0 | ≠ 0, значит, существует некоторый gP ∈ Ω 0 . Из этого следует , что для некоторого G ∈ G и ∀ ч ∈ H мы имеем HGP = Gp так G -1 HGP = P и , следовательно , G -1 Hg ≤ P . Теперь, если H силовская p -подгруппа, | H | = | P | = | gPg −1 | так , что Н = GPG -1 для некоторого G ∈ G .
Теорема (3) - Пусть д обозначит порядок любого Силов р -подгруппа P конечной группы G . Пусть п р обозначим число Силова р -подгрупп G . Тогда n p = | G : N G ( P ) | ,и п р ≡ 1 ( по модулю р ) , где N G ( P ) является нормализатор из Р
Пусть Ω - множество всех силовских p -подгрупп группы G, и пусть G действует на Ω сопряжениями. Пусть P ∈ Ω - силовская p -подгруппа. По теореме о стабилизаторе орбиты n p = [ G : Stab G ( P )] . Stab G ( P ) = { G ∈ G | GPG -1 = Р } = N G ( P ) , нормализатор Р в G . Таким образом, n p = | G : N G ( P ) | , откуда следует, что это число является делителем [ G : P ] = | G | / q .
Пусть теперь P действует на Ω сопряжением. Пусть Q ∈ Ω 0 и заметим, что тогда Q = xQx −1 для всех x ∈ P, так что P ≤ N G ( Q ). По теореме 2, Р и Q сопряжены в N G ( Q ) , в частности, и Q является нормальным в N G ( Q ), так , то P = Q . Отсюда следует, что Ω 0 = { P }, так что по лемме | Ω | ≡ | Ω 0 | = 1 (по модулю p ) .
Алгоритмы
Проблема поиска силовской подгруппы данной группы является важной проблемой вычислительной теории групп .
Одно доказательство существования силовских p -подгрупп является конструктивным: если H является p -подгруппой группы G и индекс [ G : H ] делится на p , то нормализатор N = N G ( H ) группы H в G равен также такой, что [ N : H ] делится на p . Другими словами, полициклическую порождающую систему силовской p -подгруппы можно найти, начав с любой p -подгруппы H (включая тождество) и взяв элементы p -степенного порядка, содержащиеся в нормализаторе H, но не в самой H. Алгоритмическая версия этого (и многие улучшения) описана в виде учебника в Butler [10], включая алгоритм, описанный в Cannon. [11] Эти версии до сих пор используются в системе компьютерной алгебры GAP .
В группах подстановок в Канторе [12] [13] [14] и Канторе и Тейлоре [15] было доказано, что силовская p -подгруппа и ее нормализатор могут быть найдены за полиномиальное время входа (степень группа, умноженная на количество генераторов). Эти алгоритмы описаны в виде учебников в Seress, [16] и теперь становятся практическими, поскольку конструктивное распознавание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в системе компьютерной алгебры Magma .
Смотрите также
- Аргумент Фраттини
- Подгруппа холла
- Максимальная подгруппа
- p-группа
Заметки
- ^ Силов, Л. (1872). «Теоремы сюр ле группы замен» . Математика. Аня. (На французском). 5 (4): 584–594. DOI : 10.1007 / BF01442913 . JFM 04.0056.02 .
- ^ Грасиа – Саз, Альфонсо. «Классификация групп порядка 60» (PDF) . math.toronto.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 года . Проверено 8 мая 2021 года .
- ^ Фрали, Джон Б. (2004). Первый курс абстрактной алгебры . при участии Виктора Дж. Каца. Pearson Education. п. 322. ISBN. 9788178089973.
- ^ Уотерхаус 1980 .
- ^ Scharlau 1988 .
- ^ Casadio & Zappa 1990 .
- Перейти ↑ Gow 1994 .
- Перейти ↑ Meo 2004 .
- ^ Виландт 1959 .
- ↑ Батлер, 1991 , Глава 16.
- Перейти ↑ Cannon 1971 .
- ↑ Кантор 1985а .
- ^ Кантор 1985b .
- ^ Кантор 1990 .
- Перейти ↑ Kantor & Taylor 1988 .
- ^ Seress 2003 .
Рекомендации
Доказательства
- Касадио, Джузеппина; Заппа, Гвидо (1990). «История теоремы Силова и ее доказательства». Болл. Storia Sci. Мат. (на итальянском). 10 (1): 29–75. ISSN 0392-4432 . Руководство по ремонту 1096350 . Zbl 0721.01008 .
- Гоу, Род (1994). «Силовское доказательство теоремы Силова». Irish Math. Soc. Бык. (33): 55–63. ISSN 0791-5578 . Руководство по ремонту 1313412 . Zbl 0829.01011 .
- Каммюллер, Флориан; Полсон, Лоуренс К. (1999). «Формальное доказательство теоремы Силова. Эксперимент по абстрактной алгебре с Изабель ХОЛ» (PDF) . J. Automat. Причина. . 23 (3): 235–264. DOI : 10,1023 / A: 1006269330992 . ISSN 0168-7433 . Руководство по ремонту 1721912 . Zbl 0943.68149 . Архивировано из оригинального (PDF) 03.01.2006.
- Мео, М. (2004). «Математическая жизнь групповой теоремы Коши» . Historia Math. 31 (2): 196–221. DOI : 10.1016 / S0315-0860 (03) 00003-X . ISSN 0315-0860 . Руководство по ремонту 2055642 . Zbl 1065.01009 .
- Шарлау, Винфрид (1988). "Die Entdeckung der Sylow-Sätze" . Historia Math. (на немецком). 15 (1): 40–52. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (88) 90048-1 . ISSN 0315-0860 . Руководство по ремонту 0931678 . Zbl 0637.01006 .
- Уотерхаус, Уильям К. (1980). «Ранние доказательства теоремы Силова». Arch. Hist. Exact Sci. . 21 (3): 279–290. DOI : 10.1007 / BF00327877 . ISSN 0003-9519 . Руководство по ремонту 0575718 . Zbl 0436.01006 .
- Виландт, Гельмут (1959). "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Arch. Математика. (на немецком). 10 (1): 401–402. DOI : 10.1007 / BF01240818 . ISSN 0003-9268 . Руководство по ремонту 0147529 . Zbl 0092.02403 .
Алгоритмы
- Батлер, Г. (1991). Фундаментальные алгоритмы для групп перестановок . Конспект лекций по информатике . 559 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 3-540-54955-2 . ISBN 9783540549550. Руководство по ремонту 1225579 . Zbl 0785.20001 .
- Кэннон, Джон Дж. (1971). «Вычисление локальной структуры больших конечных групп». Компьютеры в алгебре и теории чисел ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , Нью-Йорк, 1970) . SIAM-AMS Proc. . 4 . Провиденс РИ: AMS . С. 161–176. ISSN 0160-7634 . Руководство по ремонту 0367027 . Zbl 0253.20027 .
- Кантор, Уильям М. (1985a). "Полиномиальные алгоритмы поиска элементов простого порядка и силовских подгрупп" (PDF) . J. Алгоритмы . 6 (4): 478–514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . DOI : 10.1016 / 0196-6774 (85) 90029-X . ISSN 0196-6774 . Руководство по ремонту 0813589 . Zbl 0604.20001 .
- Кантор, Уильям М. (1985b). «Теорема Силова за полиномиальное время». J. Comput. Syst. Sci. . 30 (3): 359–394. DOI : 10.1016 / 0022-0000 (85) 90052-2 . ISSN 1090-2724 . Руководство по ремонту 0805654 . Zbl 0573.20022 .
- Кантор, Уильям М .; Тейлор, Дональд Э. (1988). "Полиномиальные версии теоремы Силова". J. Алгоритмы . 9 (1): 1–17. DOI : 10.1016 / 0196-6774 (88) 90002-8 . ISSN 0196-6774 . Руководство по ремонту 0925595 . Zbl 0642.20019 .
- Кантор, Уильям М. (1990). «Нахождение силовских нормализаторов за полиномиальное время». J. Алгоритмы . 11 (4): 523–563. DOI : 10.1016 / 0196-6774 (90) 90009-4 . ISSN 0196-6774 . Руководство по ремонту 1079450 . Zbl 0731.20005 .
- Seress, Ákos (2003). Алгоритмы группы перестановок . Кембриджские трактаты по математике. 152 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521661034. MR 1970241 . Zbl 1028.20002 .
Внешние ссылки
- "Теоремы Силова" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Абстрактная алгебра / Теория групп / Теоремы Силова в Викиучебнике
- Вайсштейн, Эрик В. «Силовская p-подгруппа» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Теоремы Силова" . MathWorld .