Возведение в степень - это математическая операция , записываемая как b n , включающая два числа, основание b и показатель степени или степень n , и произносится как « b в степени n ». [1] [2] Когда n является положительным целым числом , возведение в степень соответствует многократному умножению основания: то есть b n является произведением умножения на n оснований: [2]
Показатель степени обычно отображается в виде верхнего индекса справа от основания. В этом случае b n называется " b в степени n ", " b в степени n ", [1] " n- й степенью b ", " b в степени n ", [ 3] или, вкратце, «от b до n- го».
Один имеет b 1 = b , и для любых положительных целых чисел m и n , один имеет b n ⋅ b m = b n + m . Чтобы распространить это свойство на неположительные целые показатели степени, b 0 определяется как 1 , а b - n (с n положительным целым числом и b не равным нулю) определяется как1/б н. В частности, b −1 равно1/б, То обратная из б .
Определение возведения в степень может быть расширено, чтобы разрешить любой действительный или комплексный показатель степени. Возведение в степень целочисленными показателями также может быть определено для широкого спектра алгебраических структур, включая матрицы .
Возведение в степень широко используется во многих областях, включая экономику , биологию , химию , физику и информатику , с такими приложениями, как сложные проценты , рост населения , кинетика химических реакций , волновое поведение и криптография с открытым ключом .
История обозначения
Термин сила ( латинский : потенция, потестас, Dignitas ) является неправильным переводом [4] [5] из древнегреческой δύναμις ( Дюнамис , здесь: «усиление» [4] ) используется греческим математик Евклидом для квадрата линии , [6] вслед за Гиппократом Хиосским . [7] Архимед открыл и доказал закон экспонент 10 a ⋅ 10 b = 10 a + b , необходимый для управления степенями 10 . [8] [ нужен лучший источник ] В 9 веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми использовал термины مَال ( мал , «имущество», «собственность») для квадрата - мусульмане, «как и большинство математиков тех. и раньше считали квадратное число изображением площади, особенно земли, следовательно, собственности » [9] - и كَعْبَة ( kaʿbah ,« куб ») для куба , который более поздние исламские математики представили в математической нотации как буквы mīm (m) и kāf (k), соответственно, к 15 веку, как видно из работы Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каласади . [10]
В конце 16 века Йост Бюрги использовал римские цифры для обозначения экспонентов. [11]
Николя Шуке использовал форму экспоненциальной записи в 15 веке, которая позже была использована Хенриком Грамматеусом и Майклом Стифелем в 16 веке. Слово « экспонент» было придумано в 1544 году Майклом Стифелем. [12] [13] Сэмюэл Джик ввел термин индексы в 1696 году. [6] В 16 веке Роберт Рекорд использовал термины квадрат, куб, зензизензик ( четвертая степень ), сурсолид (пятая), зензикуб (шестая), вторая сурсолид. (седьмой) и зензизензизензик (восьмой). [9] Биквадрат также используется для обозначения четвертой степени.
В начале 17 века первая форма нашей современной экспоненциальной записи была введена Рене Декартом в его тексте под названием La Géométrie ; там обозначения введены в Книге I. [14]
Некоторые математики (например, Исаак Ньютон ) использовали экспоненты только для степеней больше двух, предпочитая представлять квадраты как повторяющееся умножение. Таким образом, они будут записывать многочлены , например, как ax + bxx + cx 3 + d .
Другой исторический синоним, инволюция , сейчас встречается редко [15], и его не следует путать с его более распространенным значением .
В 1748 году Леонард Эйлер писал:
«Рассмотрим экспоненты или степени, в которых сам показатель является переменной. Ясно, что величины такого рода не являются алгебраическими функциями , поскольку в них показатели должны быть постоянными». [16]
С этим введением трансцендентных функций Эйлер заложен фундаментом для современного введения натурального логарифма -кака в обратной функции для естественной экспоненциальной функции , е ( х ) = е х .
Терминология
Выражение Ь 2 = Ь ⋅ Ь называется « квадрат из Ь » или « б квадрат», потому что площадь квадрата со стороной длиной б является б 2 .
Аналогично, выражение Ь 3 = б ⋅ б ⋅ б называется « куб из Ь » или « б кубе», так как объем куба со стороной длиной б является б 3 .
Когда это положительное целое число , показатель степени указывает, сколько копий основания умножается вместе. Например, 3 5 = 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 . База 3 появляется 5 раз при умножении, потому что показатель степени равен 5 . Здесь 243 - это 5-я степень числа 3 или 3 в 5-й степени .
Слово «поднятый» обычно опускается, а иногда и «мощность», поэтому 3 5 можно просто читать «от 3 до 5» или «от 3 до 5». Таким образом, возведение в степень б п может быть выражена как « б к мощности п », « б к п - й степени», « б к н е», или наиболее кратко , как « б к п ».
Формула с вложенным возведением в степень, например 3 5 7 (что означает 3 (5 7 ), а не (3 5 ) 7 ), называется башней сил или просто башней .
Целочисленные показатели
Операция возведения в степень с целыми показателями степени может быть определена непосредственно из элементарных арифметических операций .
Положительные показатели
Степени с положительными целыми показателями могут быть определены базовым случаем [17]
и рекуррентное соотношение
Ассоциативность умножения следует , что для любых положительных чисел т и п ,
Нулевой показатель
Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1 : [18] [2]
Одна интерпретация такой силы - пустой продукт .
Случай 0 0 более сложен, и выбор того, присваивать ли ему значение и какое значение присваивать, может зависеть от контекста.
Отрицательные показатели
Для любого целого n и ненулевого b выполняется следующее тождество :
- [2]
Возведение 0 в отрицательную экспоненту не определено, но в некоторых случаях это может интерпретироваться как бесконечность ( ∞ ).
Приведенная выше идентичность может быть получена с помощью определения, направленного на расширение диапазона показателей до отрицательных целых чисел.
Для ненулевого b и положительного n приведенное выше рекуррентное соотношение можно переписать как
Определив это соотношение как справедливое для всех целых n и ненулевых b , следует, что
и в более общем случае для любого ненулевого b и любого неотрицательного целого n ,
Затем легко показать, что это верно для любого целого числа n .
Личности и свойства
Следующие тождества выполняются для всех целочисленных показателей, при условии, что основание не равно нулю: [2]
В отличие от сложения и умножения:
- Возведение в степень не коммутативно . Например, 2 3 = 8 ≠ 3 2 = 9 .
- Возведение в степень не ассоциативно . Например, (2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 , тогда как 2 (3 4 ) = 2 81 =2 417 851 639 229 258 349 412 352 . Без круглых скобок обычный порядок операций для последовательного возведения в степень в надстрочной записи - сверху вниз (илиассоциативно справа ), а не снизу вверх [19] [20] [21] [22] (илиассоциативно слева ). Это,
который в целом отличается от
Полномочия суммы
Степени суммы обычно вычисляются из степеней слагаемых по биномиальной формуле
Однако эта формула верна только в том случае, если слагаемые коммутируют (т.е. ab = ba ), что подразумевается, если они принадлежат структуре, которая является коммутативной . В противном случае, если a и b , скажем, квадратные матрицы одного размера, эту формулу использовать нельзя. Отсюда следует, что в компьютерной алгебре многие алгоритмы, включающие целочисленные показатели, должны быть изменены, когда основы возведения в степень не коммутируются. Некоторые системы компьютерной алгебры общего назначения используют другое обозначение (иногда ^^ вместо ^ ) для возведения в степень с некоммутирующими базисами, которое в таком случае называется некоммутативным возведением в степень .
Комбинаторная интерпретация
Для неотрицательных целых чисел n и m значение n m - это количество функций от набора из m элементов до набора из n элементов (см. Кардинальное возведение в степень ). Такие функции могут быть представлены как m - кортежи из n -элементного набора (или как m -буквенные слова из n- буквенного алфавита). Некоторые примеры конкретных значений m и n приведены в следующей таблице:
п м П м можно м -наборов элементов из множества {1, ..., п } никто
Особые базы
Степени десяти
В десятичной ( десятичной ) системе счисления целые степени 10 записываются как цифра 1, за которой или перед ней стоит ряд нулей, определяемых знаком и величиной показателя степени. Например,10 3 =1000 и10 −4 =0,0001 .
Возведение в степень с основанием 10 используется в экспоненциальной нотации для обозначения больших или малых чисел. Например,299 792 458 м / с ( скорость света в вакууме, в метрах в секунду ) можно записать в виде2,997 924 58 × 10 8 м / с , а затем аппроксимировать , как2.998 × 10 8 м / с .
Префиксы SI, основанные на степени 10 , также используются для описания малых или больших количеств. Например, приставка кило означает10 3 =1000 , значит, километр - это1000 м .
Полномочия трех
Полномочия двух
Первые отрицательные степени 2 , как правило , используются, и имеют специальные названия, например: половина и четверть .
Полномочия 2 появляются в теории множеств , так как множество с п элементов имеет набор мощности , множество всех его подмножеств , которая имеет 2 п членов.
Целые силы 2 играют важную роль в информатике . Положительные целые мощности 2 n дают количество возможных значений для n - битового целого двоичного числа ; например, байт может принимать 2 8 = 256 различных значений. Система двоичного числа выражает любое число в виде суммы по степеням 2 , и обозначает его как последовательность 0 и 1 , разделенных двоичной точки , где 1 указывает на мощность 2 , которая появляется в сумме; показатель степени определяется местом этой 1 : неотрицательные показатели - это ранг 1 слева от точки (начиная с 0 ), а отрицательные показатели определяются рангом справа от точки.
Полномочия одного
Все степени единицы равны: 1 n = 1 .
Степень нуля
Если показатель степени n положительный ( n > 0 ), n- я степень нуля равна нулю: 0 n = 0 .
Если показатель степени n отрицательный ( n <0 ), n- я степень нуля 0 n не определена, потому что она должна быть равнас - n > 0 , и это будет в соответствии с вышеизложенным.
Выражение 0 0 либо определяется как 1, либо остается неопределенным ( см. Ноль в степени нуля ).
Полномочия отрицательного
Если n - четное целое число, то (−1) n = 1 .
Если n - нечетное целое число, то (−1) n = −1 .
Из-за этого степени -1 полезны для выражения чередующихся последовательностей . Аналогичное обсуждение степеней комплексного числа i см. В § Степени комплексных чисел .
Большие показатели
Предел последовательности степеней числа больше одного расходится; другими словами, последовательность неограниченно растет:
- b n → ∞ при n → ∞ при b > 1
Это можно прочитать как « b в степени n стремится к + ∞, поскольку n стремится к бесконечности, когда b больше единицы».
Степени числа с абсолютным значением меньше единицы стремятся к нулю:
- b n → 0 при n → ∞, когда | б | <1
Любая сила единицы всегда одна:
- b n = 1 для всех n, если b = 1
Степень –1 чередуется между 1 и –1, когда n чередуется между четным и нечетным, и, таким образом, не стремится к какому-либо пределу с ростом n .
Если b <–1 , b n , чередуется между большими и большими положительными и отрицательными числами, когда n чередуется между четным и нечетным, и, таким образом, не стремится к какому-либо пределу с ростом n .
Если экспоненциальное число изменяется, стремясь к 1, поскольку показатель стремится к бесконечности, то предел не обязательно является одним из указанных выше. Особенно важным случаем является
- (1 + 1 / n ) n → e при n → ∞
См. § Показательная функция ниже.
Другие ограничения, в частности те, которые имеют выражения, которые принимают неопределенную форму , описаны в § Пределы полномочий ниже.
Силовые функции
Реальные функции формы , где , иногда называют степенными функциями. [ необходима цитата ] Когдапредставляет собой целое число , и, существует два основных семейства: для даже, и для странный. В общем для, когда даже будет стремиться к положительной бесконечности с увеличением, а также в сторону положительной бесконечности с уменьшением . Все графики семейства четных степенных функций имеют общий вид, сглаживая больше посередине, как увеличивается. [23] Функции с такой симметрией () называются четными функциями .
Когда странно, «S асимптотического поведения превратности от положительного к отрицательному . Для, также будет стремиться к положительной бесконечности с увеличением, но в сторону отрицательной бесконечности с уменьшением . Все графы из семейства нечетно-степенных функций имеют общий вид, сглаживая больше посередине, как увеличивается и теряет всю плоскостность на прямой линии для . Функции с такой симметрией () называются нечетными функциями .
Для , в каждом случае верна противоположная асимптотика. [23]
Список целочисленных степеней
п | п 2 | п 3 | п 4 | п 5 | п 6 | п 7 | п 8 | п 9 | п 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
3 | 9 | 27 | 81 год | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
9 | 81 год | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Рациональные показатели
П - й корень из числа Ь это число х такое , что х п = б .
Если b - положительное действительное число, а n - положительное целое число, то существует ровно одно положительное вещественное решение x n = b . Это решение называется главным корнем n- й степени числа b . Обозначается n √ b , где √ - радикальный символ ; в качестве альтернативы главный корень n- й степени числа b может быть записан как b 1 / n . Например: 9 1/2 = √ 9 = 3 и 8 1/3 = 3 √ 8 = 2 .
Дело в том, что решает следует из того, что
Если b равно 0, уравнение x n = b имеет одно решение, а именно x = 0 .
Если п есть еще и б положительна, то х п = Ь имеют два действительных решений, которые являются положительными и отрицательным п - й корни Ь , то есть, б 1 / п > 0 и - ( б 1 / п ) <0 .
Если n четно, а b отрицательно, уравнение не имеет решения в действительных числах.
Если n нечетно, то x n = b имеет ровно одно действительное решение, которое положительно, если b положительно ( b 1 / n > 0 ), и отрицательно, если b отрицательно ( b 1 / n <0 ).
Преобразуя положительное действительное число b к рациональному показателю u / v , где u - целое число, а v - положительное целое число, и учитывая только главные корни, получаем
Преобразование отрицательного действительного числа b в рациональную степень u / v , где u / v находится в младших членах, дает положительный реальный результат, если u четно, и, следовательно, v нечетно, потому что тогда b u положительно; и дает отрицательный действительный результат, если u и v оба нечетные, потому что тогда b u отрицательно. Случай четного v (и, следовательно, нечетного u ) не может рассматриваться таким образом в рамках вещественных чисел, поскольку не существует действительного числа x, такого, что x 2 k = −1 , значение b u / v в этом случае должно использовать мнимая единица я , как описано более подробно в разделе § полномочий комплексных чисел .
Таким образом, мы имеем (−27) 1/3 = −3 и (−27) 2/3 = 9 . Число 4 имеет две степени 3/2, а именно 8 и −8; Однако, в соответствии с соглашением обозначение 4 3/2 использует главный корень , и результаты 8. Для применения в V -го корня у / V -й мощность также называемая V / ¯u его корня, а для четного v термин главный корень означает также положительный результат.
Эту двусмысленность знака необходимо учитывать при применении идентификаторов власти. Например:
явно не так. Проблема начинается уже в первом равенстве, когда вводятся стандартные обозначения для изначально неоднозначной ситуации - требуется четный корень - и просто неверно полагается только на одну, общепринятую или основную интерпретацию. Та же проблема возникает и с неправильно введенной заменой нотации, которая по своей сути обеспечивает положительный результат:
вместо
Как правило, для комплексных чисел возникают проблемы того же типа, что описаны в разделе § Несоблюдение степенных и логарифмических тождеств .
Реальные показатели
Возведение в степень действительных степеней положительных действительных чисел может быть определено либо расширением рациональных степеней до действительных чисел по непрерывности, либо, что более часто, как указано в § Степени через логарифмы ниже. Результатом всегда является положительное действительное число, а тождества и свойства, показанные выше для целочисленных показателей, верны и для положительных вещественных оснований с нецелыми показателями.
С другой стороны, возведение в степень до действительной степени отрицательного действительного числа гораздо труднее определить последовательно, так как оно может быть нереальным и иметь несколько значений (см. § Действительные показатели с отрицательным основанием ). Можно выбрать одно из этих значений, называемое основным значением , но нет выбора основного значения, для которого идентичность, например
правда; см. § Несостоятельность тождеств мощности и логарифма . Следовательно, возведение в степень с базисом, отличным от положительного действительного числа, обычно рассматривается как многозначная функция .
Пределы рациональных показателей
Поскольку любое иррациональное число может быть выражено как предел последовательности рациональных чисел, возведение в степень положительного действительного числа b с произвольным вещественным показателем x может быть определено путем непрерывности с правилом [24]
где предел, когда r приближается к x , берется только по рациональным значениям r . Этот предел существует только для положительного b . Используется ( ε , δ ) -определение предела ; это включает в себя демонстрацию того, что для любой желаемой точности результата b x можно выбрать достаточно малый интервал вокруг x, чтобы все рациональные степени в интервале находились в пределах желаемой точности.
Например, если x = π , можно использовать неконечное десятичное представление π = 3,14159… (на основе строгой монотонности рациональной степени) для получения интервалов, ограниченных рациональными степенями.
- , , , , , ,
Ограниченные интервалы сходятся к единственному действительному числу, обозначаемому . Этот метод можно использовать для получения степени положительного действительного числа b для любого иррационального показателя степени. Таким образом, функция f b ( x ) = b x определена для любого действительного числа x .
Экспоненциальная функция
Важная математическая константа e , иногда называемая числом Эйлера , приблизительно равна 2,718 и является основанием натурального логарифма . Хотя возведение в степень е в принципе можно рассматривать так же, как возведение в степень любого другого действительного числа, такие экспоненты обладают особенно элегантными и полезными свойствами. Среди прочего, эти свойства позволяют естественным образом обобщать экспоненты от e на другие типы показателей, такие как комплексные числа или даже матрицы, при этом совпадая со знакомым значением возведения в степень с рациональными показателями.
Как следствие, обозначение e x обычно обозначает обобщенное определение возведения в степень , называемое экспоненциальной функцией , exp ( x ), которая может быть определена многими эквивалентными способами , например, как
Среди других свойств exp удовлетворяет экспоненциальному тождеству
Экспоненциальная функция определена для всех целых, дробных, вещественных и комплексных значений x . Фактически, матричная экспонента хорошо определена для квадратных матриц (и в этом случае это экспоненциальное тождество выполняется только тогда, когда x и y коммутируют) и полезна для решения систем линейных дифференциальных уравнений .
Поскольку exp (1) равно e , а exp ( x ) удовлетворяет этому экспоненциальному тождеству, немедленно следует, что exp ( x ) совпадает с определением повторного умножения e x для целого x , а также следует, что рациональные степени обозначают (положительные) корни, как обычно, поэтому exp ( x ) совпадает с определениями e x в предыдущем разделе для всех действительных x по непрерывности.
Полномочия через логарифмы
Когда e x определяется как экспоненциальная функция, b x может быть определен для других положительных действительных чисел b через e x . В частности, натуральный логарифм ln ( x ) является обратной экспоненциальной функцией e x . Он определен для b > 0 и удовлетворяет
Если b x должен сохранить правила логарифма и экспоненты, то нужно иметь
для каждого действительного числа x .
Это может быть использовано как альтернативное определение степени b x действительного числа и согласуется с определением, данным выше, с использованием рациональных показателей и непрерывности. Определение возведения в степень с использованием логарифмов чаще встречается в контексте комплексных чисел, как обсуждается ниже.
Реальные показатели с отрицательной базой
Степени положительного действительного числа всегда являются положительными действительными числами. Однако решение x 2 = 4 может быть либо 2, либо −2. Главное значение 4 1/2 равно 2, но −2 также является действительным квадратным корнем. Если определение возведения в степень действительных чисел будет расширено, чтобы разрешить отрицательные результаты, то результат больше не будет корректным.
Ни метод логарифмирования, ни метод рациональной экспоненты нельзя использовать для определения b r как действительного числа для отрицательного действительного числа b и произвольного действительного числа r . В самом деле, e r положительно для любого действительного числа r , поэтому ln ( b ) не определяется как действительное число для b ≤ 0 .
Метод рациональной экспоненты нельзя использовать для отрицательных значений b, потому что он основан на непрерывности . Функция f ( r ) = b r имеет уникальное непрерывное продолжение [24] с рациональных чисел на действительные числа для каждого b > 0 . Но когда b <0 , функция f не является даже непрерывной на множестве рациональных чисел r, для которых она определена.
Например, рассмотрим b = −1 . П - й корень из -1 -1 для каждого нечетного натурального числа п . Таким образом, если n нечетное положительное целое число, (−1) ( m / n ) = −1, если m нечетное, и (−1) ( m / n ) = 1, если m четное. Таким образом, множество рациональных чисел q, для которых (−1) q = 1 , плотно в рациональных числах, как и множество q, для которых (−1) q = −1 . Это означает, что функция (−1) q не является непрерывной ни при каком рациональном числе q, где она определена.
С другой стороны, произвольные комплексные степени отрицательных чисел b можно определить, выбрав комплексный логарифм числа b .
Иррациональные показатели
Если b - положительное вещественное алгебраическое число , а x - рациональное число, выше было показано, что b x - алгебраическое число. Это остается верным, даже если принять любое алгебраическое число для b , с той лишь разницей, что b x может принимать несколько значений (конечное число, см. Ниже), которые все являются алгебраическими. Gelfond-Schneider теорема дает некоторую информацию о характере Ъ х , когда х является иррациональным (то есть, не рационально ). Говорится:
Если b - алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а x - иррациональное алгебраическое число, то все значения b x (их бесконечно много) трансцендентны (то есть не алгебраичны).
Комплексные показатели с положительной действительной базой
Если b - положительное действительное число, а z - любое комплексное число , степень b z определяется как
где x = ln ( b ) - единственное действительное решение уравнения e x = b , а комплексная степень e определяется экспоненциальной функцией , которая является единственной функцией комплексной переменной , равной ее производной и принимающей значение 1 для x = 0 .
Поскольку, как правило, b z не является действительным числом, выражение, такое как ( b z ) w , не определяется предыдущим определением. Он должен интерпретироваться через правила для степеней комплексных чисел , и, если z не является действительным или w является целым числом, обычно не равно b zw , как можно было бы ожидать.
Существуют различные определения экспоненциальной функции, но они совместимы с комплексными числами и удовлетворяют свойству экспоненты. Для любых комплексных чисел z и w экспоненциальная функция удовлетворяет. В частности, для любого комплексного числа
Второй срок имеет значение, заданное формулой Эйлера
Эта формула связывает проблемы тригонометрии и алгебры.
Следовательно, для любого комплексного числа
Из-за Пифагор тригонометрических тождеств , тем абсолютное значение изравно 1 . Следовательно, реальный фактор абсолютное значение и мнимая часть экспоненты определяет аргумент (угол) комплексного числа.
Определение серии
Показательная функция равна своей производной и удовлетворяет его серия Тейлора должна быть
Этот бесконечный ряд , который часто используется как определение экспоненты e z для произвольных комплексных показателей, абсолютно сходится для всех комплексных чисел z.
Когда z чисто мнимое , то есть z = iy для действительного числа y , приведенный выше ряд становится
который (поскольку он абсолютно сходится) может быть переупорядочен как
Действительная и мнимая части этого выражения являются разложениями Тейлора косинуса и синуса соответственно с центром в нуле, что подразумевает формулу Эйлера:
Определение предела
Другая характеристика экспоненциальной функции это как предел из, когда n приближается к бесконечности. Если рассматривать n- ю степень в этом определении как повторное умножение в полярной форме , его можно использовать для визуальной иллюстрации формулы Эйлера. Любое комплексное число можно представить в полярной форме как, где r - модуль, а θ - его аргумент. Произведение двух комплексных чисел а также является .
Рассмотрим прямоугольный треугольник на комплексной плоскости, который имеет, , а также как вершины. При больших значениях n треугольник представляет собой почти круговой сектор с радиусом 1 и небольшим центральным углом, равным радианы . 1 + затем можно аппроксимировать числом в полярной форме . Итак, в пределе, когда n стремится к бесконечности, подходы , точка на единичной окружности , угол которой относительно положительной вещественной оси равен x радиан. В Декартовы координаты этой точки, так ; это снова формула Эйлера, допускающая те же связи с тригонометрическими функциями, что и при определении ряда.
Периодичность
Решения уравнения являются целыми числами, кратными :
Таким образом, если такое комплексное число, что , то каждые это также удовлетворяет можно получить из , т. е. добавлением произвольного целого числа, кратного к :
То есть комплексная экспоненциальная функция для любого целого k - периодическая функция с периодом.
Примеры
Степени комплексных чисел
Целочисленные степени ненулевых комплексных чисел определяются повторным умножением или делением, как указано выше. Если i - мнимая единица, а n - целое число, то i n равно 1, i , −1 или - i , в зависимости от того, сравнимо ли целое число n с 0, 1, 2 или 3 по модулю 4. Из-за этого , полномочия I полезны для экспрессии последовательностей из периода 4 .
Комплексные степени положительных вещественных чисел определяются через e x, как в разделе Комплексные показатели с положительными действительными основаниями выше. Это непрерывные функции.
Попытка распространить эти функции на общий случай нецелочисленных степеней комплексных чисел, не являющихся положительными действительными числами, приводит к затруднениям. Либо мы определяем разрывные функции, либо многозначные функции . Ни один из этих вариантов не является полностью удовлетворительным.
Рациональная степень комплексного числа должна быть решением алгебраического уравнения. Следовательно, он всегда имеет конечное число возможных значений. Например, w = z 1/2 должно быть решением уравнения w 2 = z . Но если w - решение, то тоже - w , потому что (−1) 2 = 1 . Уникальное, но несколько произвольное решение, называемое главным значением, может быть выбрано с использованием общего правила, которое также применимо к нерациональным степеням.
Комплексные степени и логарифмы более естественно рассматривать как однозначные функции на римановой поверхности . Однозначные версии определяются путем выбора листа. Значение имеет разрыв вдоль сечения ветви . Выбор одного из многих решений в качестве главного значения оставляет нам функции, которые не являются непрерывными, а обычные правила манипулирования полномочиями могут сбить нас с пути.
Любая нерациональная степень комплексного числа имеет бесконечное количество возможных значений из-за многозначной природы комплексного логарифма . Главное значение - это единственное значение, выбранное из них правилом, которое, среди других свойств, гарантирует, что степени комплексных чисел с положительной действительной частью и нулевой мнимой частью дают то же значение, что и правило, определенное выше для соответствующего действительного основания.
Возведение действительного числа в степень в комплексной степени формально отличается от операции для соответствующего комплексного числа. Однако в обычном случае положительного действительного числа главное значение то же самое.
Степени отрицательных действительных чисел не всегда определены и не являются непрерывными даже там, где они определены. Фактически, они определены только тогда, когда показатель степени является рациональным числом, а знаменатель - нечетным целым числом. При работе с комплексными числами вместо этого обычно используется операция комплексного числа.
Сложные показатели со сложным основанием
Для комплексных чисел w и z с w ≠ 0 обозначение w z неоднозначно в том же смысле, что и log w .
Чтобы получить значение w z , сначала выберите логарифм w ; назовите это журналом ш . Таким выбором может быть основное значение Log w (значение по умолчанию, если не указано иное), или, возможно, значение, заданное какой-либо другой ветвью журнала w, фиксированной заранее. Затем, используя комплексную экспоненциальную функцию, определяют
потому что это согласуется с более ранним определением в случае, когда w - положительное действительное число и используется (реальное) главное значение log w .
Если z является целым числом , то значение w z не зависит от выбора log w и согласуется с более ранним определением возведения в степень с целочисленной экспонентой .
Если z - рациональное число m / n в младших членах с n > 0 , то счетное бесконечное число вариантов log w дает только n различных значений для w z ; эти значения представляют собой n комплексных решений s уравнения s n = w m .
Если z - иррациональное число , то счетное бесконечное число вариантов log w приводит к бесконечному множеству различных значений для w z .
Вычисление комплексных мощностей облегчается преобразованием основания w в полярную форму , как подробно описано ниже .
Аналогичная конструкция используется в кватернионах .
Сложные корни единства
Комплексное число w такое, что w n = 1 для натурального числа n, является корнем n- й степени из единицы . Геометрически корни n- й степени из единицы лежат на единичной окружности комплексной плоскости в вершинах правильного n -угольника с одной вершиной на вещественном числе 1.
Если w n = 1, но w k ≠ 1 для всех натуральных чисел k таких, что 0 < k < n , то w называется примитивным корнем n- й степени из единицы . Отрицательная единица -1 - единственный примитивный квадратный корень из единицы. Мнимая единицей я являюсь одним из двух примитивных 4 -х корней из единицы; другой - я .
Число е2 πi/пявляется примитивным корнем n- й степени из единицы с наименьшим положительным аргументом . (Это иногда называют основнымы п - й корень из единицы , хотя эта терминология не является универсальной и не следует путать с главным значением из п √ 1 , которая является 1. [25] [26] [27] )
Другие корни n- й степени из единицы задаются формулой
для 2 ≤ k ≤ n .
Корни произвольных комплексных чисел
Хотя существует бесконечно много возможных значений для общего комплексного логарифма, существует только конечное число значений для мощности w q в важном частном случае, когда q = 1 / n и n является положительным целым числом. Эти п - й корни из ш ; они являются решениями уравнения z n = w . Как и в случае с действительными корнями, второй корень также называется квадратным корнем, а третий корень также называется кубическим корнем.
В математике принято определять w 1 / n как главное значение корня, который обычно является корнем n- й степени, аргумент которого имеет наименьшее абсолютное значение . Когда w - положительное действительное число, это согласуется с обычным соглашением об определении w 1 / n как уникального положительного действительного корня n- й степени. С другой стороны, когда w - отрицательное действительное число, а n - нечетное целое число, уникальный действительный корень n- й степени не является одним из двух корней n- й степени, аргумент которых имеет наименьшее абсолютное значение. В этом случае значение w 1 / n может зависеть от контекста, и может потребоваться некоторая осторожность, чтобы избежать ошибок.
Набор корней n- й степени комплексного числа w получается умножением главного значения w 1 / n на каждый из корней n- й степени из единицы. Например, корни четвертой степени из 16 равны 2, −2, 2 i и −2 i , потому что главное значение корня четвертой степени из 16 равно 2, а корни четвертой степени из единицы равны 1, −1, i и - я .
Вычислительный комплекс мощности
Часто проще вычислить сложные степени, записав число, которое нужно возвести в степень в полярной форме . Каждое комплексное число z можно записать в полярной форме
где R представляет собой неотрицательное действительное число и θ (действительный) аргумент из г . Полярная форма имеет простую геометрическую интерпретацию: если комплексное число u + iv рассматривается как представляющее точку ( u , v ) в комплексной плоскости с использованием декартовых координат , то ( r , θ ) является той же точкой в полярных координатах . То есть r - это «радиус» r 2 = u 2 + v 2, а θ - это «угол» θ = atan2 ( v , u ) . Полярный угол θ неоднозначен, поскольку любое целое число, кратное 2π, может быть добавлено к θ без изменения местоположения точки. Каждый выбор θ обычно дает различное возможное значение мощности. Ветвь разрез может быть использован для выбора значения конкретного. Главное значение (наиболее распространенный разрез ветви) соответствует θ, выбранному в интервале (−π, π] . Для комплексных чисел с положительной действительной частью и нулевой мнимой частью использование главного значения дает тот же результат, что и использование соответствующего действительного номер.
Чтобы вычислить комплексную мощность w z , запишите w в полярной форме:
потом
и поэтому
Если z разлагается как c + di , то формулу для w z можно записать более явно как
Эта окончательная формула позволяет легко вычислить комплексные степени из разложения основания в полярную форму и экспоненты в декартову форму. Здесь он показан как в полярной форме, так и в декартовой форме (через тождество Эйлера).
В следующих примерах используется главное значение, разрез ветви, из-за которого θ находится в интервале (−π, π] . Чтобы вычислить i i , запишите i в полярной и декартовой формах:
Тогда формула выше, с r = 1 , θ = π/2, c = 0 и d = 1 , дает
Точно так же, чтобы найти (−2) 3 + 4 i , вычислите полярную форму −2:
и используйте формулу выше, чтобы вычислить
Величина комплексной мощности зависит от используемой ветви. Например, если полярная форма i = 1 e 5 πi / 2 используется для вычисления i i , мощность оказывается равной e −5 π / 2 ; главное значение i i , вычисленное выше, равно e −π / 2 . Набор всех возможных значений для i i определяется формулой [28]
Таким образом, существует бесконечное множество значений, которые являются возможными кандидатами на значение i i , по одному для каждого целого числа k . Все они имеют нулевую мнимую часть, поэтому можно сказать, что i i имеет бесконечное количество действительных реальных значений.
Несостоятельность тождеств силы и логарифма
Некоторые тождества для степеней и логарифмов для положительных действительных чисел не работают для комплексных чисел, независимо от того, как сложные степени и комплексные логарифмы определены как однозначные функции . Например:
- Тождество log ( b x ) = x ⋅ log b выполняется, когда b - положительное действительное число, а x - действительное число. Но для главной ветви комплексного логарифма
Независимо от того, какая ветвь логарифма используется, подобная ошибка идентификации будет существовать. Лучшее, что можно сказать (если использовать только этот результат), это то, что:
Это тождество не выполняется даже при рассмотрении журнала как многозначной функции. Возможные значения log ( w z ) содержат значения z ⋅ log w как подмножество. Используя Log ( w ) для главного значения log ( w ) и m , n в качестве любых целых чисел, возможные значения обеих сторон:
- Тождества ( bc ) x = b x c x и ( b / c ) x = b x / c x действительны, когда b и c - положительные действительные числа, а x - действительное число. Но расчет с использованием основных ветвей показывает, что
а также
С другой стороны, когда x является целым числом, тождества действительны для всех ненулевых комплексных чисел.
Если возведение в степень рассматривается как многозначная функция, то возможные значения (−1 ⋅ −1) 1/2 равны {1, −1 }. Тождество верно, но утверждение {1} = {(−1 ⋅ −1) 1/2 } неверно. - Тождество ( e x ) y = e xy выполняется для действительных чисел x и y , но предположение его истинности для комплексных чисел приводит к следующему парадоксу , обнаруженному в 1827 году Клаузеном : [29] Для любого целого числа n мы имеем:
- (принимая -я степень обеих сторон)
- (с использованием и расширяя экспоненту)
- (с использованием )
- (делится на е )
Обобщения
Моноиды
Возведение в степень с целыми показателями может быть определено в любом мультипликативном моноиде . [30] Моноид - это алгебраическая структура, состоящая из множества X вместе с правилом композиции («умножения»), удовлетворяющим ассоциативному закону и мультипликативному тождеству , обозначенному 1. Возведение в степень индуктивно определяется как
- для всех ,
- для всех и целые неотрицательные числа n ,
- Если n - отрицательное целое число, тоопределяется только [31], еслиимеет обратный в X .
Моноиды включают в себя множество структур, важных для математики, включая группы и кольца (при умножении), причем более конкретными примерами последних являются кольца матриц и поля .
Матрицы и линейные операторы
Если A - квадратная матрица, то произведение A на себя n раз называется степенью матрицы . Такжеопределяется как единичная матрица, [32] и если A обратима, то.
Матричные мощности часто появляются в контексте дискретных динамических систем , где матрица A выражает переход от вектора состояния x некоторой системы к следующему состоянию Ax системы. [33] Это стандартная интерпретация , например, цепи Маркова . потом состояние системы после двух временных шагов и т. д .: - состояние системы после n временных шагов. Матричная мощностьпредставляет собой матрицу переходов между состоянием сейчас и состоянием в момент времени n шагов в будущем. Таким образом, вычисление степеней матрицы эквивалентно решению эволюции динамической системы. Во многих случаях мощности матрицы целесообразно вычислять с использованием собственных значений и собственных векторов .
Помимо матриц, более общие линейные операторы также могут быть возведены в степень. Примером может служить производный оператор исчисления,, который является линейным оператором, действующим на функции дать новую функцию . П ая степень оператора дифференцирования является п -й производной:
Эти примеры относятся к дискретным показателям линейных операторов, но во многих случаях также желательно определять степени таких операторов с непрерывными показателями. Это отправная точка математической теории полугрупп . [34] Так же, как вычисление степеней матриц с дискретными показателями решает дискретные динамические системы, точно так же вычисление степеней матриц с непрерывными показателями решает системы с непрерывной динамикой. Примеры включают подходы к решению уравнения теплопроводности , уравнения Шредингера , волнового уравнения и других уравнений в частных производных, включая временную эволюцию. Частный случай возведения в степень оператора производной нецелой степени называется дробной производной, которая вместе с дробным интегралом является одной из основных операций дробного исчисления .
Конечные поля
Поля является алгебраической структурой , в которой умножение, сложение, вычитание, и деление все хорошо определены и удовлетворяют их знакомые свойства. Например, действительные числа образуют поле, как и комплексные числа и рациональные числа. В отличие от этих знакомых примеров полей, которые представляют собой бесконечные множества , некоторые поля содержат только конечное число элементов. Самый простой пример - это поле с двумя элементами with addition defined by and , and multiplication and .
Exponentiation in finite fields has applications in public key cryptography. For example, the Diffie–Hellman key exchange uses the fact that exponentiation is computationally inexpensive in finite fields, whereas the discrete logarithm (the inverse of exponentiation) is computationally expensive.
Any finite field F has the property that there is a unique prime number p such that for all x in F; that is, x added to itself p times is zero. For example, in , the prime number p = 2 has this property. This prime number is called the characteristic of the field. Suppose that F is a field of characteristic p, and consider the function that raises each element of F to the power p. This is called the Frobenius automorphism of F. It is an automorphism of the field because of the Freshman's dream identity . The Frobenius automorphism is important in number theory because it generates the Galois group of F over its prime subfield.
In abstract algebra
Exponentiation for integer exponents can be defined for quite general structures in abstract algebra.
Let X be a set with a power-associative binary operation which is written multiplicatively. Then xn is defined for any element x of X and any nonzero natural number n as the product of n copies of x, which is recursively defined by
One has the following properties
If the operation has a two-sided identity element 1, then x0 is defined to be equal to 1 for any x:[citation needed]
If the operation also has two-sided inverses and is associative, then the magma is a group. The inverse of x can be denoted by x−1 and follows all the usual rules for exponents:
If the multiplication operation is commutative (as, for instance, in abelian groups), then the following holds:
If the binary operation is written additively, as it often is for abelian groups, then "exponentiation is repeated multiplication" can be reinterpreted as "multiplication is repeated addition". Thus, each of the laws of exponentiation above has an analogue among laws of multiplication.
When there are several power-associative binary operations defined on a set, any of which might be iterated, it is common to indicate which operation is being repeated by placing its symbol in the superscript. Thus, x∗n is x ∗ ... ∗ x, while x#n is x # ... # x, whatever the operations ∗ and # might be.
Superscript notation is also used, especially in group theory, to indicate conjugation. That is, gh = h−1gh, where g and h are elements of some group. Although conjugation obeys some of the same laws as exponentiation, it is not an example of repeated multiplication in any sense. A quandle is an algebraic structure in which these laws of conjugation play a central role.
Over sets
If n is a natural number, and A is an arbitrary set, then the expression An is often used to denote the set of ordered n-tuples of elements of A. This is equivalent to letting An denote the set of functions from the set {0, 1, 2, ..., n − 1} to the set A; the n-tuple (a0, a1, a2, ..., an−1) represents the function that sends i to ai.
For an infinite cardinal number κ and a set A, the notation Aκ is also used to denote the set of all functions from a set of size κ to A. This is sometimes written κA to distinguish it from cardinal exponentiation, defined below.
This generalized exponential can also be defined for operations on sets or for sets with extra structure. For example, in linear algebra, it makes sense to index direct sums of vector spaces over arbitrary index sets. That is, we can speak of
where each Vi is a vector space.
Then if Vi = V for each i, the resulting direct sum can be written in exponential notation as V⊕N, or simply VN with the understanding that the direct sum is the default. We can again replace the set N with a cardinal number n to get Vn, although without choosing a specific standard set with cardinality n, this is defined only up to isomorphism. Taking V to be the field R of real numbers (thought of as a vector space over itself) and n to be some natural number, we get the vector space that is most commonly studied in linear algebra, the real vector space Rn.
If the base of the exponentiation operation is a set, the exponentiation operation is the Cartesian product unless otherwise stated. Since multiple Cartesian products produce an n-tuple, which can be represented by a function on a set of appropriate cardinality, SN becomes simply the set of all functions from N to S in this case:
This fits in with the exponentiation of cardinal numbers, in the sense that |SN| = |S||N|, where |X| is the cardinality of X. When "2" is defined as {0, 1}, we have |2X| = 2|X|, where 2X, usually denoted by P(X), is the power set of X; each subset Y of X corresponds uniquely to a function on X taking the value 1 for x ∈ Y and 0 for x ∉ Y.
In category theory
In a Cartesian closed category, the exponential operation can be used to raise an arbitrary object to the power of another object. This generalizes the Cartesian product in the category of sets. If 0 is an initial object in a Cartesian closed category, then the exponential object 00 is isomorphic to any terminal object 1.
Of cardinal and ordinal numbers
In set theory, there are exponential operations for cardinal and ordinal numbers.
If κ and λ are cardinal numbers, the expression κλ represents the cardinality of the set of functions from any set of cardinality λ to any set of cardinality κ.[35] If κ and λ are finite, then this agrees with the ordinary arithmetic exponential operation. For example, the set of 3-tuples of elements from a 2-element set has cardinality 8 = 23. In cardinal arithmetic, κ0 is always 1 (even if κ is an infinite cardinal or zero).
Exponentiation of cardinal numbers is distinct from exponentiation of ordinal numbers, which is defined by a limit process involving transfinite induction.
Повторное возведение в степень
Just as exponentiation of natural numbers is motivated by repeated multiplication, it is possible to define an operation based on repeated exponentiation; this operation is sometimes called hyper-4 or tetration. Iterating tetration leads to another operation, and so on, a concept named hyperoperation. This sequence of operations is expressed by the Ackermann function and Knuth's up-arrow notation. Just as exponentiation grows faster than multiplication, which is faster-growing than addition, tetration is faster-growing than exponentiation. Evaluated at (3, 3), the functions addition, multiplication, exponentiation, and tetration yield 6, 9, 27, and 7625597484987 (= 327 = 333 = 33) respectively.
Пределы полномочий
Zero to the power of zero gives a number of examples of limits that are of the indeterminate form 00. The limits in these examples exist, but have different values, showing that the two-variable function xy has no limit at the point (0, 0). One may consider at what points this function does have a limit.
More precisely, consider the function f(x, y) = xy defined on D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}. Then D can be viewed as a subset of R2 (that is, the set of all pairs (x, y) with x, y belonging to the extended real number line R = [−∞, +∞], endowed with the product topology), which will contain the points at which the function f has a limit.
In fact, f has a limit at all accumulation points of D, except for (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) and (1, −∞).[36] Accordingly, this allows one to define the powers xy by continuity whenever 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, except for 00, (+∞)0, 1+∞ and 1−∞, which remain indeterminate forms.
Under this definition by continuity, we obtain:
- x+∞ = +∞ and x−∞ = 0, when 1 < x ≤ +∞.
- x+∞ = 0 and x−∞ = +∞, when 0 ≤ x < 1.
- 0y = 0 and (+∞)y = +∞, when 0 < y ≤ +∞.
- 0y = +∞ and (+∞)y = 0, when −∞ ≤ y < 0.
These powers are obtained by taking limits of xy for positive values of x. This method does not permit a definition of xy when x < 0, since pairs (x, y) with x < 0 are not accumulation points of D.
On the other hand, when n is an integer, the power xn is already meaningful for all values of x, including negative ones. This may make the definition 0n = +∞ obtained above for negative n problematic when n is odd, since in this case xn → +∞ as x tends to 0 through positive values, but not negative ones.
Эффективные вычисления с целыми показателями
Computing bn using iterated multiplication requires n − 1 multiplication operations, but it can be computed more efficiently than that, as illustrated by the following example. To compute 2100, note that 100 = 64 + 32 + 4. Compute the following in order:
- 22 = 4
- (22)2 = 24 = 16.
- (24)2 = 28 = 256.
- (28)2 = 216 = 65536.
- (216)2 = 232 = 4294967296.
- (232)2 = 264 = 18446744073709551616.
- 264 232 24 = 2100 = 1267650600228229401496703205376.
This series of steps only requires 8 multiplication operations (the last product above takes 2 multiplications) instead of 99.
In general, the number of multiplication operations required to compute bn can be reduced to Θ(log n) by using exponentiation by squaring or (more generally) addition-chain exponentiation. Finding the minimal sequence of multiplications (the minimal-length addition chain for the exponent) for bn is a difficult problem, for which no efficient algorithms are currently known (see Subset sum problem), but many reasonably efficient heuristic algorithms are available.[37]
Экспоненциальная запись для имен функций
Placing an integer superscript after the name or symbol of a function, as if the function were being raised to a power, commonly refers to repeated function composition rather than repeated multiplication.[38][39][40] Thus, f3(x) may mean f(f(f(x)));[41] in particular, f−1(x) usually denotes the inverse function of f. This notation was introduced by Hans Heinrich Bürmann[citation needed][39][40] and John Frederick William Herschel.[38][39][40] Iterated functions are of interest in the study of fractals and dynamical systems. Babbage was the first to study the problem of finding a functional square root f1/2(x).
To distinguish exponentiation from function composition, the common usage is to write the exponential exponent after the parenthesis enclosing the argument of the function; that is, f(x)3 means (f(x))3, and f(x)–1 means 1/f(x).
For historical reasons, and because of the ambiguity resulting of not enclosing arguments with parentheses, a superscript after a function name applied specifically to the trigonometric and hyperbolic functions has a deviating meaning: a positive exponent applied to the function's abbreviation means that the result is raised to that power,[42][43][44][45][46][47][48][20][40] while an exponent of −1 still denotes the inverse function.[40] That is, sin2 x is just a shorthand way to write (sin x)2 = sin(x)2 without using parentheses,[16][49][50][51][52][53][54][20] whereas sin−1 x refers to the inverse function of the sine, also called arcsin x. Each trigonometric and hyperbolic function has its own name and abbreviation both for the reciprocal (for example, 1/(sin x) = (sin x)−1 = sin(x)−1 = csc x), and its inverse (for example cosh−1 x = arcosh x). A similar convention exists for logarithms,[40] where today log2 x usually means (log x)2, not log log x.[40]
To avoid ambiguity, some mathematicians[citation needed] choose to use ∘ to denote the compositional meaning, writing f∘n(x) for the n-th iterate of the function f(x), as in, for example, f∘3(x) meaning f(f(f(x))). For the same purpose, f[n](x) was used by Benjamin Peirce[55][40] whereas Alfred Pringsheim and Jules Molk suggested nf(x) instead.[56][40][nb 1]
В языках программирования
Programming languages generally express exponentiation either as an infix operator or as a (prefix) function, as they are linear notations which do not support superscripts:
x ↑ y
: Algol, Commodore BASIC, TRS-80 Level II/III BASIC.[57][58]x ^ y
: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (and its derivatives), TI-BASIC, bc (for integer exponents), Haskell (for nonnegative integer exponents), Lua and most computer algebra systems. Conflicting uses of the symbol^
include: XOR (in POSIX Shell arithmetic expansion, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby and Tcl), indirection (Pascal), and string concatenation (OCaml and Standard ML).x ^^ y
: Haskell (for fractional base, integer exponents), D.x ** y
: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (for floating-point exponents), Turing, VHDL.pown x y
: F# (for integer base, integer exponent).x⋆y
: APL.
Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:
pow(x, y)
: C, C++.Math.Pow(x, y)
: C#.math:pow(X, Y)
: Erlang.Math.pow(x, y)
: Java.[Math]::Pow(x, y)
: PowerShell.(expt x y)
: Common Lisp.
For certain exponents there are special ways to compute xy much faster than through generic exponentiation. These cases include small positive and negative integers (prefer x · x over x2; prefer 1/x over x−1) and roots (prefer sqrt(x) over x0.5, prefer cbrt(x) over x1/3).
Not all programming languages adhere to the same association convention for exponentiation: while the Wolfram language, Google Search and others use right-association (i.e. a^b^c
is evaluated as a^(b^c)
), many computer programs such as Microsoft Office Excel and Matlab associate to the left (i.e. a^b^c
is evaluated as (a^b)^c
).
Смотрите также
- Double exponential function
- Exponential decay
- Exponential field
- Exponential growth
- List of exponential topics
- Modular exponentiation
- Scientific notation
- Unicode subscripts and superscripts
- xy = yx
- Zero to the power of zero
Заметки
- ^ Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation nf(x) to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation nx, introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) nx pre-superscript notation for roots.
Рекомендации
- ^ a b "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-27.
- ^ a b c d e Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. Retrieved 2020-08-27.
- ^ Weisstein, Eric W. "Power". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-27.
- ^ a b Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1. Graduate Studies in Mathematics. 165 (3rd ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 130, fn. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9.
- ^ Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. Synthese Historical Library. 17. Translated by A.M. Ungar. Dordrecht: D. Reidel. p. 37. ISBN 90-277-0819-3.
- ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Etymology of some common mathematical terms", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics (6th ed.). London: Macmillan. p. 38.
- ^ For further analysis see The Sand Reckoner.
- ^ a b Quinion, Michael. "Zenzizenzizenzic". World Wide Words. Retrieved 2020-04-16.
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. 1. London: Open Court Publishing Company. p. 344.
- ^ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
- ^ Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra. Nuremberg: Johannes Petreius. p. 235v. Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. In Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum (Book 3, Chapter 3: On Algorithms of Algebra), on page 235 verso, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from Christoff Rudolff, who in turn took them from Leonardo Fibonacci's Liber Abaci (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words res/radix (x), census/zensus (x2), and cubus (x3).]
- ^ Descartes, René (1637). "La Géométrie". Discourse de la méthode [...]. Leiden: Jan Maire. p. 299.
Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini
(And aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity). - ^ The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ( "involution". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press. (Subscription or participating institution membership required.)).
- ^ a b Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (in Latin). I. Lausanne: Marc-Michel Bousquet. pp. 69, 98–99.
Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.
- ^ Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. p. 94. ISBN 978-1-4665-6706-1.
- ^ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (3rd ed.). Industrial Press. p. 101. ISBN 978-0-8311-3086-2.
- ^ Robinson, Raphael Mitchel (October 1958) [1958-04-07]. "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. University of California, Berkeley, California, USA. 9 (5): 673–681 [677]. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7. Archived (PDF) from the original on 2020-06-28. Retrieved 2020-06-28.
- ^ a b c Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke" [Definition of arithmetic expressions]. Written at Leipzig, Germany. In Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik [Pocketbook of mathematics] (in German). 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). pp. 115–120, 802. ISBN 3-87144-492-8.
Regel 7: Ist F(A) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung Fn(A) für (F(A))n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
- ^ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248.[1]
- ^ Zeidler, Eberhard; Schwarz, Hans Rudolf; Hackbusch, Wolfgang; Luderer, Bernd; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan; Wanka, Gert; Hromkovič, Juraj; Gottwald, Siegfried (2013) [2012]. Zeidler, Eberhard (ed.). Springer-Handbuch der Mathematik I (in German). I (1 ed.). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. p. 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. ISBN 978-3-658-00284-8. (xii+635 pages)
- ^ a b Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2012). Calculus: Early Transcendentals (9th ed.). John Wiley & Sons. p. 28.
- ^ a b Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. pp. 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
- ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). Introduction to Algorithms (second ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-03293-3. Online resource Archived 2007-09-30 at the Wayback Machine
- ^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robby (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos (Undergraduate Texts in Mathematics ed.). Springer. ISBN 978-0-387-23234-8. Defined on p. 351
- ^ "Principal root of unity", MathWorld.
- ^ Complex number to a complex power may be real at Cut The Knot gives some references to ii.
- ^ Steiner, J.; Clausen, T.; Abel, Niels Henrik (1827). "Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen" [Problems and propositions, the former to solve, the later to prove]. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2: 286–287.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1970). Algèbre. Springer., I.2
- ^ Bloom, David M. (1979). Linear Algebra and Geometry. p. 45. ISBN 978-0-521-29324-2.
- ^ Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton
- ^ Strang, Gilbert (1988), Linear algebra and its applications (3rd ed.), Brooks-Cole, Chapter 5.
- ^ E. Hille, R. S. Phillips: Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, 1975.
- ^ Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
- ^ Nicolas Bourbaki, Topologie générale, V.4.2.
- ^ Gordon, D. M. (1998). "A Survey of Fast Exponentiation Methods" (PDF). Journal of Algorithms. 27: 129–146. CiteSeerX 10.1.1.17.7076. doi:10.1006/jagm.1997.0913.
- ^ a b Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.
- ^ a b c Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. pp. 1–13 [5–6]. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2020-08-04. [2] (NB. Inhere, Herschel refers to his 1813 work and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)
- ^ a b c d e f g h i Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd ed.). Chicago, USA: Open court publishing company. pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Retrieved 2016-01-18.
[…] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "2logb a = logb (logb a), …, k+1logb a = logb (klogb a)."[a] […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin−1 x, tan−1 x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (p. 10): "This notation cos.−1 e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.m A for (cos. A)m, but he justifies his own notation by pointing out that since d2 x, Δ3 x, Σ2 x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.2 x for sin. sin. x, log.3 x for log. log. log. x. Just as we write d−n V=∫n V, we may write similarly sin.−1 x=arc (sin.=x), log.−1 x.=cx. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fn(x), f−n(x), sin.−1 x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan−1, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."[b] […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos[−1] x," "log[−1] x."[c] […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)2, sin x2, sin2 x. The prevailing notation at present is sin2 x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin2 x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,[d] sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log2 x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. In his Introductio in analysin (1748), Euler[e] writes (cos. z)n, but in an article of 1754 he adopts sin ψ3 for (sin ψ)3 […] The parentheses as in (sin x)n were preferred by Karsten,[f] Scherffer
(xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.) ,[g] Frisius ,[h] Abel (in some passages),[i] Ohm.[j] It passed into disuse during the nineteenth century. […] The designation sin x2 for (sin x)2 is found in the writings of Langrange, Lorenz , Lacroix, Vieth , Stolz; it was recommended by Gauss. The notation sinn x for (sin x)n has been widely used and is now the prevailing one. It is found, for example, in Cagnoli,[k] DeMorgan,[l] Serret,[m] Todhunter,[n] Hobson,[o] Toledo ,[p] Rothe.[q] […] - ^ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (in French). IV. p. 229.
- ^ Cagnoli, Antonio (1786). Traité de Trigonométrie (in French). Paris: trad. par Chompré. p. 20.
- ^ De Morgan, Augustus (1849). Trigonometry and Double Algebra. London. p. 35.
- ^ Serret, Joseph Alfred (1857). Traité de Trigonométrie (in French) (2nd ed.). Paris. p. 12.
- ^ Todhunter, Isaac (1876). Plane Trigonometry (6th ed.). London. p. 19.
- ^ Hobson, Ernest William (1911). Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge, UK. p. 19.
- ^ de Toledo, Luis Octavio (1917). Tradado de Trigonometria (in Spanish) (3rd ed.). Madrid. p. 64.
- ^ Rothe, Hermann (1921). Vorlesungen über höhere Mathematik (in German). Vienna. p. 261.
- ^ Karsten, Wenceslaus Johann Gustav (1760). "Sectio XIII. De sectionibus angulorum et arcuum circularium". Mathesis theoretica Elementaris Atque Sublimior (in Latin). Rostock. p. 511. Retrieved 2020-08-04. [3]
- ^ Scherffer, Karl "Carolo" (1772). Institutionum analyticarum, pars secunda (in Latin). Vienna. p. 144.
- ^ Frisius (Frisii), Paulli (1782). Operum tomus primus (in Latin). Milano. p. 303.
- ^ Abel, Niels Henrik (1826). Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). Berlin: August Leopold Crelle. I: 318–337; Missing or empty
|title=
(help)Abel, Niels Henrik (1827). Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). Berlin: August Leopold Crelle. II: 26. Missing or empty|title=
(help) - ^ Ohm, Martin (1829). System der Mathematik (in German). Berlin. p. 21. Part 3.
- ^ Stibitz, George Robert; Larrivee, Jules A. (1957). Written at Underhill, Vermont, USA. Mathematics and Computers (1 ed.). New York, USA / Toronto, Canada / London, UK: McGraw-Hill Book Company, Inc. p. 169. LCCN 56-10331. (10+228 pages) (NB. Stibitz uses parentheses even in conjunction with trigonometric functions (like
(cos u)n
) to avoid the ambiguity of thecosn u
notation.) - ^ Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces. I (new ed.). Boston, USA. p. 203.
- ^ Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (in French). I. p. 195. Part I.
- ^ Daneliuk, Timothy "Tim" A. (1982-08-09). "BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II". InfoWorld. Software Reviews. 4 (31). Popular Computing, Inc. pp. 41–42. Archived from the original on 2020-02-07. Retrieved 2020-02-06.
[…] If […] squaring is accomplished with TRS-80 BASIC's exponentiation (up-arrow) function, interpreter run time is 22 minutes 20 seconds, and compiled run time is 20 minutes 3 seconds. […]
- ^ "80 Contents". 80 Micro. 1001001, Inc. (45): 5. October 1983. ISSN 0744-7868. Retrieved 2020-02-06.
[…] The left bracket, [, replaces the up arrow used by RadioShack to indicate exponentiation on our printouts. When entering programs published in 80 Micro, you should make this change. […]
(NB. At code point 5Bh the TRS-80 character set has an up-arrow symbol "↑" in place of the ASCII left square bracket "[".)
Внешние ссылки
- Laws of Exponents with derivation and examples