Математическая нотация - это система символических представлений математических объектов и идей. Математические обозначения используются в математике , физических науках , технике и экономике . Математические обозначения включают относительно простые символьные представления, такие как числа 0, 1 и 2; переменные, такие как x , y и z ; разделители, такие как "(" и "|"; функциональные символы, такие как sin ; символы операторов, такие как " + "; относительные символы, такие как "<"; концептуальные символы, такие какlim и dy / dx ; уравнения и сложные схематические обозначения, такие как графические обозначения Пенроуза и диаграммы Кокстера – Дынкина . [1] [2]
Определение
Математическая нотация - это система письма, используемая для записи математических понятий.
- В нотации используются символы или символьные выражения , которые должны иметь точное семантическое значение.
- В истории математики эти символы обозначали числа, формы, узоры и изменения. Обозначения могут также включать символы для частей общепринятого дискурса между математиками при рассмотрении математики как языка .
Носители, используемые для письма, перечислены ниже, но распространенные материалы в настоящее время включают бумагу и карандаш, доску и мел (или маркер для сухого стирания), а также электронные носители. Систематическая приверженность математическим концепциям - фундаментальная концепция математической записи. Для связанных понятий см. Логический аргумент , математическую логику и теорию моделей .
Выражения
Математическое выражение представляет собой последовательность символов , которые могут быть оценены. Например, если символы представляют числа, то выражения оцениваются в соответствии с обычным порядком операций, который предусматривает вычисление, если возможно, любых выражений в круглых скобках, за которыми следуют любые степени и корни, затем умножения и деления и, наконец, любые сложения или вычитания, все делается слева направо.
В компьютерном языке эти правила реализуются компиляторами . Дополнительные сведения об оценке выражений см. В разделах по информатике : активное вычисление , отложенное вычисление , быстрое вычисление и оператор вычисления .
Точное семантическое значение
Современная математика должна быть точной, потому что неоднозначные обозначения не позволяют формальных доказательств . Предположим, что у нас есть утверждения , обозначенные некоторой формальной последовательностью символов, о некоторых объектах (например, числах, фигурах, узорах). Пока не будет доказано, что утверждения действительны, их смысл еще не решен. В процессе рассуждений мы могли бы позволить символам относиться к обозначенным объектам, возможно, в модели . В семантике этого объекта имеет эвристическую сторону и дедуктивное сторону. В любом случае мы могли бы захотеть узнать свойства этого объекта, которые затем мы могли бы перечислить в интенсиональном определении .
Затем эти свойства могут быть выражены некоторыми хорошо известными и согласованными символами из таблицы математических символов . Эта математическая запись может включать такие аннотации, как
- «Все x », «Нет x », «Существует x » (или его эквивалент, «Some x »), « Набор », « Функция »
- «Отображение действительных чисел в комплексные числа »
В разных контекстах один и тот же символ или обозначение могут использоваться для представления разных концепций (так же, как несколько символов могут использоваться для представления одного и того же понятия). [1] Следовательно, чтобы полностью разобраться в математическом письме, важно сначала проверить определения обозначений, данные автором. Это может быть проблематично, например, если автор предполагает, что читатель уже знаком с используемыми обозначениями.
История
Подсчет
Считается, что математические обозначения для представления счета были впервые разработаны, по крайней мере, 50 000 лет назад [3] - ранние математические идеи, такие как счет по пальцам [4] , также были представлены коллекциями камней, палочек, костей, глины, камня, дерева. резьба и завязанные узлом веревки. Tally палочка способ подсчета , уходящие к верхнему палеолиту . Возможно, самые старые известные математические тексты - это тексты древнего Шумера . И в переписи кипу в Анд, и в костях Ишанго из Африки для учета числовых понятий использовался метод счетных меток .
Появление нуля как числа - одно из важнейших достижений ранней математики. Он был использован в качестве заполнителя со стороны вавилонян и греческими египтянами , а затем как целое число со стороны Mayans , индийцами и арабов (см истории нуля для получения дополнительной информации).
Геометрия становится аналитической
Самые ранние математические точки зрения на геометрию не годились для счета. В натуральных числах , их отношение к фракциям , а также идентификация непрерывных величин на самом деле имели тысячелетние принимать форму, и даже больше , чтобы обеспечить развитие нотации.
Фактически, только когда Рене Декарт изобрел аналитическую геометрию , геометрия стала более подверженной числовой нотации. [5] Некоторые символические сокращения для математических понятий стали использоваться при публикации геометрических доказательств. Более того, сила и авторитет геометрической теоремы и структуры доказательства сильно повлияли на негеометрические трактаты, такие как, например, « Основы математики » Исаака Ньютона .
Современные обозначения
В 18 и 19 веках были созданы и стандартизированы математические обозначения, используемые сегодня. Леонард Эйлер отвечал за многие из используемых в настоящее время обозначений: использование a , b , c для констант и x , y , z для неизвестных, e для основания натурального логарифма, sigma (Σ) для суммирования , i для мнимая единица , а функциональное обозначение F ( х ). Он также популяризировал использование π для постоянной Архимеда (из-за предложения Уильяма Джонса об использовании π таким образом, основанного на более ранней записи Уильяма Отреда ).
Кроме того, многие области математик несут на себе отпечаток их создателей для обозначения: дифференциальный оператор Лейбница , [6] , что кардинальные бесконечностей Георга Кантора (в дополнении к лемнискатам (∞) из John Wallis ), то конгруэнтность символ (≡ ) Гаусса и т. д.
Компьютеризированная запись
Математически ориентированные языки разметки, такие как TeX , LaTeX и, в последнее время, MathML , достаточно мощны, чтобы выражать широкий спектр математических обозначений.
Программное обеспечение для доказательства теорем, естественно, имеет свои собственные математические обозначения; проект OMDoc стремится обеспечить открытые достояния для таких обозначений; а язык MMT обеспечивает основу для взаимодействия между другими обозначениями.
Математическая нотация, не основанная на латыни
Современные арабские математические обозначения основаны в основном на арабском алфавите и широко используются в арабском мире , особенно в дошкольном образовании .
(Западная нотация использует арабские цифры , но арабская нотация также заменяет латинские буквы и соответствующие символы арабским письмом.)
В дополнение к арабской нотации математика также использует греческие алфавиты для обозначения большого количества математических объектов и переменных. В некоторых случаях также используются определенные еврейские алфавиты (например, в контексте бесконечных кардиналов ). [7]
Некоторые математические обозначения в основном схематичны и поэтому почти полностью не зависят от сценария. Примерами являются графические обозначения Пенроуза и диаграммы Кокстера – Дынкина .
Математические обозначения на основе Брайля, используемые слепыми, включают Немет Брайля и GS8 Брайля .
Смотрите также
- Злоупотребление обозначениями
- Begriffsschrift
- Словарь математических символов
- Символ опасного изгиба Бурбаки
- История математической записи
- ISO 31-11
- ISO 80000-2
- Обозначение Кнута со стрелкой вверх
- Математические буквенно-цифровые символы
- Обозначения в вероятности и статистике
- Язык математики
- Научная нотация
- Семасиография
- Таблица математических символов
- Типографские обозначения в математических формулах
- Обозначение вектора
- Современные арабские математические обозначения
Заметки
- ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 8 августа 2020 .
- ^ Хельменстин, Энн Мари (27 июня 2019 г.). «Почему математика - это язык» . ThoughtCo . Проверено 8 августа 2020 .
- ^ Введение в историю математики (6-е издание) Говарда Ивса (1990) стр.9
- ^ Georges Ифра отмечаетчто люди научились рассчитывать на свои руки. Ифра показывает, например, изображение Боэция (который жил 480–524 или 525 гг.), Считающего по пальцам, в « Ифра 2000» , с. 48.
- ^ Бойер, CB (1959), "Декарт и геометризация алгебры", Американские Математические Месячный , 66 (5): 390-393, DOI : 10,2307 / 2308751 , JSTOR 2308751 , MR 0105335 ,
Большая заслуга Декарта в математике всегда описывается как арифметизация геометрии.
- ^ "Готфрид Вильгельм Лейбниц" . Проверено 5 октября 2014 года .
- ^ «Греческие / еврейские / латинские символы в математике» . Математическое хранилище . 2020-03-20 . Проверено 8 августа 2020 .
Рекомендации
- Флориан Каджори , История математических обозначений (1929), 2 тома. ISBN 0-486-67766-4
- Ифра, Жорж (2000), Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера. , Джон Уайли и сыновья , стр. 48, ISBN 0-471-39340-1. Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Яна Монка. Ифра поддерживает свой тезис, цитируя идиоматические фразы из языков со всего мира.
- Мазур, Джозеф (2014), Просвещающие символы: краткая история математической нотации и ее скрытых возможностей . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-15463-3
Внешние ссылки
- Раннее использование различных математических символов
- Математическая нотация ASCII, как набрать математическую нотацию в любом текстовом редакторе.
- Математика как язык на пороге
- Стивен Вольфрам : Математическая нотация: прошлое и будущее . Октябрь 2000 г. Стенограмма основного доклада, представленного на MathML and Math on the Web: MathML International Conference.