Графическое обозначение Пенроуза

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц.

В математике и физике , Пенроуз графическое обозначение или тензор Диаграмма обозначение является ( как правило , от руки) визуальное изображение полилинейных функций или тензоров , предложенное Roger Пенроуз в 1971 г. ^[1] диаграммы А в обозначениях состоит из нескольких форм , соединенных между собой линиями. Обозначения были подробно изучены Предрагом Цвитановичем , который использовал их для классификации классических групп Ли . ^[2] Это также было обобщено с использованием теории представлений на спиновые сети в физике, и с наличиемгруппы матриц для отслеживания диаграмм в линейной алгебре . Обозначения широко используются в современной квантовой теории , особенно в состояниях матричных произведений и квантовых схемах .

Интерпретации [ править ]

Полилинейная алгебра [ править ]

На языке полилинейной алгебры каждая фигура представляет собой полилинейную функцию . Линии, прикрепленные к фигурам, представляют входы или выходы функции, а соединение фигур в некотором роде по сути является составом функций .

Тензоры [ править ]

На языке тензорной алгебры конкретный тензор связан с определенной формой со многими линиями, выступающими вверх и вниз, соответствующими абстрактным верхним и нижним индексам тензоров соответственно. Соединительные линии между двумя фигурами соответствуют сокращению индексов . Одно из преимуществ этой нотации состоит в том, что не нужно изобретать новые буквы для новых индексов. Эта запись также явно базис -независимой. ^[3]

Матрицы [ править ]

Каждая фигура представляет собой матрицу, тензорное умножение выполняется по горизонтали, а матричное умножение - по вертикали.

Представление специальных тензоров [ править ]

Метрический тензор [ править ]

Метрический тензор представлен U-образную петлю , или перевернутой U-образной петли, в зависимости от типа тензора , который используется.

метрический тензор ${\ displaystyle g ^ {ab}}$

метрический тензор ${\ displaystyle g_ {ab}}$

Тензор Леви-Чивиты [ править ]

Антисимметричный тензор Леви-Чивита представлен толстой горизонтальной полосой с палками указывая вниз или вверх, в зависимости от типа тензора , который используется.

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots п}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {ab \ ldots п}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n} \, \ varepsilon ^ {ab \ ldots n}}$${\ Displaystyle = п!}$

Структурная константа [ править ]

структурная постоянная ${\ displaystyle {\ gamma _ {\ alpha \ beta}} ^ {\ chi} = - {\ gamma _ {\ beta \ alpha}} ^ {\ chi}}$

Структурные константы ( ) алгебры Ли представлены маленьким треугольником с одной линией, направленной вверх, и двумя линиями, направленными вниз.${\ displaystyle {\ gamma _ {ab}} ^ {c}}$

Тензорные операции [ править ]

Сокращение индексов [ править ]

Сокращение индексов представлено соединением строк индексов вместе.

Дельта Кронекера ${\ displaystyle \ delta _ {b} ^ {a}}$

Скалярное произведение ${\ Displaystyle \ бета _ {а} \, \ хи ^ {а}}$

${\ displaystyle g_ {ab} \, g ^ {bc} = \ delta _ {a} ^ {c} = g ^ {cb} \, g_ {ba}}$

Симметризация [ править ]

Симметризация индексов представлена ​​толстой зигзагообразной или волнистой полосой, пересекающей линии индексов по горизонтали.

Симметризация (с ) ${\ Displaystyle Q ^ {(ab \ ldots п)}}$ ${\ displaystyle {} _ {Q ^ {ab} = Q ^ {[ab]} + Q ^ {(ab)}}}$

Антисимметризация [ править ]

Антисимметризация индексов представлена ​​жирной прямой линией, пересекающей линии индексов по горизонтали.

Антисимметризация (с ) ${\ displaystyle E _ {[ab \ ldots n]}}$ ${\ displaystyle {} _ {E_ {ab} = E _ {[ab]} + E _ {(ab)}}}$

Определитель [ править ]

Детерминант формируется путем применения антисимметризации к индексам.

Детерминант ${\ displaystyle \ det \ mathbf {T} = \ det \ left (T _ {\ b} ^ {a} \ right)}$

Обратная матрица ${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

Ковариантная производная [ править ]

Ковариантная производная ( ) представлена кругом вокруг тензора (ов) , должны быть дифференцированы и линией присоединилась из круга был направлено вниз , чтобы представить нижний индекс производной.${\displaystyle \nabla }$

ковариантная производная ${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$ ${\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

Тензорные манипуляции [ править ]

Схематическое обозначение полезно при работе с тензорной алгеброй. Обычно он включает в себя несколько простых « тождеств » тензорных манипуляций.

Например, где n - количество измерений, это общая «идентичность».${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!}$

Тензор кривизны Римана [ править ]

Тождества Риччи и Бианки, заданные в терминах тензора кривизны Римана, иллюстрируют силу обозначений

Обозначения для тензора кривизны Римана

Тензор Риччи ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

Личность Риччи ${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

Бьянки идентичность ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$

Расширения [ править ]

Обозначение было расширено поддержкой спиноров и твисторов . ^{[4] [5]}

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с графической нотацией Пенроуза .

• Обозначение абстрактного индекса
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Плетеная моноидальная категория
• Категориальная квантовая механика использует обозначения тензорной диаграммы.
• Матрица состояния продукта использует графическое обозначение Пенроуза.
• Исчисление Риччи
• Спиновые сети
• Диаграмма трассировки

Заметки [ править ]