Спиновая сеть

Простая спиновая сеть того типа, который используется в петлевой квантовой гравитации

В физике , А спина сеть представляет собой тип диаграммы , которые могут быть использованы для представления состояния и взаимодействия между частицами и полями в квантовой механике . С математической точки зрения, диаграммы являются кратким способом представления полилинейных функций и функции между представлениями из матричных групп . Схематическое обозначение часто упрощает расчет, поскольку простые диаграммы могут использоваться для представления сложных функций .

Роджеру Пенроузу приписывают изобретение спиновых сетей в 1971 году ^[1], хотя подобные методы построения диаграмм существовали и до его времени. Спин сеть была применена к теории квантовой гравитации с помощью Карло Rovelli , Ли Смолина , Хорх Pullin , Родольфо GAMBINI и других.

Спиновые сети также могут быть использованы для построения конкретного функционала на пространстве связей, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований .

Определение [ править ]

Исходное определение Пенроуза [ править ]

Спиновая сеть, как описано у Пенроуза (1971), ^[1], представляет собой своего рода диаграмму, на которой каждый отрезок линии представляет мировую линию «единицы» ( элементарной частицы или сложной системы частиц). В каждой вершине соединяются три отрезка. Вершину можно интерпретировать как событие, в котором либо один блок разделяется на два, либо два блока сталкиваются и объединяются в один блок. Диаграммы, все отрезки которых соединены в вершинах, называются замкнутыми спиновыми сетями . Время можно рассматривать как идущее в одном направлении, например, снизу вверх на диаграмме, но для замкнутых спиновых сетей направление времени не имеет отношения к вычислениям.

Каждый сегмент линии помечен целым числом, называемым номером вращения . Единица со спиновым числом n называется n- единицей и имеет угловой момент nħ / 2 , где ħ - приведенная постоянная Планка . Для бозонов , таких как фотоны и глюоны , n - четное число. Для фермионов , таких как электроны и кварки , n нечетно.

Для любой замкнутой спиновой сети можно вычислить неотрицательное целое число, которое называется нормой спиновой сети. Нормы можно использовать для вычисления вероятностей различных значений спина. Сеть с нулевой нормой имеет нулевую вероятность появления. Правила расчета норм и вероятностей выходят за рамки данной статьи. Однако они подразумевают, что для того, чтобы спиновая сеть имела ненулевую норму, в каждой вершине должны выполняться два требования. Предположим, что вершина объединяет три единицы со спиновыми номерами a , b и c . Тогда эти требования сформулированы как:

• Неравенство треугольника : a должно быть меньше или равно b + c , b меньше или равно a + c и c меньше или равно a + b .
• Сохранение фермиона: a + b + c должно быть четным числом.

Например, a = 3, b = 4, c = 6 невозможно, поскольку 3 + 4 + 6 = 13 нечетно, а a = 3, b = 4, c = 9 невозможно, так как 9> 3 + 4. Однако, a = 3, b = 4, c = 5 возможно, так как 3 + 4 + 5 = 12 четно и неравенство треугольника выполняется. В некоторых соглашениях используются обозначения полуцелыми числами с условием, что сумма a + b + c должна быть целым числом.

Формальное определение [ править ]

Более формально, спина сеть представляет собой (направленный) граф , чьи ребра связаны с неприводимыми представлениями одного компактной группы Ли и чьи вершины связаны с intertwiners кромочных представлений , прилегающих к ней.

Спиновую сеть, погруженную в многообразие, можно использовать для определения функционала на пространстве связей на этом многообразии. Вычисляет холономию связи вдоль каждого звена (замкнутого пути) графа, определяет матрицы представления, соответствующие каждому звену, умножает все матрицы и сплетения вместе и сжимает индексы заданным образом. Замечательной особенностью полученного функционала является то, что он инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований .

Использование в физике [ править ]

В контексте петлевой квантовой гравитации [ править ]

В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на 3-мерной гиперповерхности . Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, « s-узлов », т. Е. Классов эквивалентности спиновых сетей при диффеоморфизмах ) счетно ; он составляет основу гильбертова пространства LQG .

Одним из ключевых результатов петлевой квантовой гравитации является квантование площадей: оператор площади A двумерной поверхности Σ должен иметь дискретный спектр . Каждая спиновая сеть является собственным состоянием каждого такого оператора, а собственное значение площади равно

${\ displaystyle A _ {\ Sigma} = 8 \ pi \ ell _ {\ text {PL}} ^ {2} \ gamma \ sum _ {i} {\ sqrt {j_ {i} (j_ {i} +1) }}}$

где сумма идет по всем пересечениям i множества Σ со спиновой сетью. В этой формуле

• ℓ _PL - планковская длина ,
• ${\ displaystyle \ gamma}$- параметр Иммирци, а
• j _i = 0, 1/2, 1, 3/2, ... - спин, связанный с звеном i спиновой сети. Таким образом, двумерная область «сконцентрирована» в точках пересечения со спиновой сетью.

Согласно этой формуле, наименьшее возможное ненулевое собственное значение оператора площади соответствует звену, несущему представление спина 1/2. Если принять параметр Иммирци порядка 1, это дает минимально возможную измеряемую площадь ~ 10 ^-66 см ² .

Формула для собственных значений площади несколько усложняется, если поверхности позволяют проходить через вершины, как в моделях аномальной диффузии. Кроме того, собственные значения оператора площади A ограничены лестничной симметрией .

Аналогичное квантование применяется к оператору громкости. Объем трехмерного подмногообразия, содержащего часть спиновой сети, задается суммой вкладов от каждого узла внутри него. Можно подумать, что каждый узел в спиновой сети - это элементарный «квант объема», а каждое звено - «квант площади», окружающей этот объем.

Более общие калибровочные теории [ править ]

Аналогичные конструкции можно сделать для общих калибровочных теорий с компактной группой Ли G и формой связности . На самом деле это точная двойственность над решеткой. Однако для многообразия необходимы такие предположения, как инвариантность диффеоморфизмов , чтобы сделать двойственность точной (размазывать лупы Вильсона сложно). Позже он был обобщен Робертом Оклом на представления квантовых групп в 2 и 3 измерениях с использованием двойственности Таннаки – Крейна .

Майкл А. Левин и Сяо-Ган Вэнь также определили струнные сети, используя тензорные категории, которые являются объектами, очень похожими на спиновые сети. Однако точная связь со спин-сетями пока не ясна. Конденсация струнной сети создает топологически упорядоченные состояния в конденсированных средах.

Использование в математике [ править ]

В математике спиновые сети использовались для изучения мотков модулей и разновидностей характеров , которые соответствуют пространствам связей .

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме спин-сетей .

• Разнообразие персонажей
• Графическое обозначение Пенроуза
• Отжим пена
• Строка-сетка
• Диаграмма трассировки

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Ранние статьи [ править ]

• И. Б. Левинсон, "Сумма коэффициентов Вигнера и их графическое представление", Proceed. Phys-Tech Inst. Acad Sci. Литовская ССР 2, 17-30 (1956)
• Когут, Джон; Сасскинд, Леонард (1975). "Гамильтонова формулировка решеточных калибровочных теорий Вильсона". Physical Review D . 11 (2): 395–408. Bibcode : 1975PhRvD..11..395K . DOI : 10.1103 / PhysRevD.11.395 .
• Когут, Джон Б. (1983). "Подход калибровочной теории решетки к квантовой хромодинамике". Обзоры современной физики . 55 (3): 775–836. Bibcode : 1983RvMP ... 55..775K . DOI : 10.1103 / RevModPhys.55.775 . (см. раздел Евклидова высокая температура (сильная связь))
• Савит, Роберт (1980). «Двойственность в теории поля и статистических системах». Обзоры современной физики . 52 (2): 453–487. Bibcode : 1980RvMP ... 52..453S . DOI : 10.1103 / RevModPhys.52.453 . (см. разделы, посвященные абелевым калибровочным теориям)

Современные статьи [ править ]

• Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1995). «Спиновые сети и квантовая гравитация». Phys. Rev. D . 52 (10): 5743–5759. arXiv : gr-qc / 9505006 . Bibcode : 1995PhRvD..52.5743R . DOI : 10.1103 / PhysRevD.52.5743 . PMID  10019107 . S2CID  16116269 .
• Пфайффер, Хендрик; Окль, Роберт (2002). «Двойник неабелевой решеточной калибровочной теории». Nuclear Physics B - Proceedings Supplements . 106–107: 1010–1012. arXiv : hep-lat / 0110034 . Bibcode : 2002NuPhS.106.1010P . DOI : 10.1016 / S0920-5632 (01) 01913-2 . S2CID  14925121 .
• Пфайффер, Хендрик (2003). «Точные преобразования двойственности для сигма-моделей и калибровочных теорий». Журнал математической физики . 44 (7): 2891–2938. arXiv : hep-lat / 0205013 . Bibcode : 2003JMP .... 44.2891P . DOI : 10.1063 / 1.1580071 . S2CID  15580641 .
• Окль, Роберт (2003). «Обобщенная калибровочная теория решетки, спиновые пены и инварианты суммы состояний». Журнал геометрии и физики . 46 (3–4): 308–354. arXiv : hep-th / 0110259 . Bibcode : 2003JGP .... 46..308O . DOI : 10.1016 / S0393-0440 (02) 00148-1 . S2CID  13226932 .
• Баэз, Джон С. (1996). «Спиновые сети в калибровочной теории». Успехи в математике . 117 (2): 253–272. arXiv : gr-qc / 9411007 . DOI : 10,1006 / aima.1996.0012 . S2CID  17050932 .
• Сяо-Ган Вэнь, "Квантовая теория поля систем многих тел - от происхождения звука до происхождения света и фермионов" [1] . (Здесь названы сетками .)
• Майор, Сет А. (1999). «Праймер спиновой сети». Американский журнал физики . 67 (11): 972–980. arXiv : gr-qc / 9905020 . Bibcode : 1999AmJPh..67..972M . DOI : 10.1119 / 1.19175 . S2CID  9188101 .

Книги [ править ]

• Г.Е. Стедман, Диаграммные методы в теории групп , Cambridge University Press, 1990.
• Предраг Цвитанович , Теория групп: следы птиц, ложь и исключительные группы , Princeton University Press, 2008.