Состояние продукта матрицы ( MPS ) - это квантовое состояние множества частиц, записанное в следующей форме:
где являются сложными , квадратные матрицы порядка(это измерение называется локальным измерением). Индексыпереходить по состояниям в вычислительной базе. Для кубитов это. Для кудитов (систем уровня d) это.
Это особенно полезно для работы с основными состояниями одномерных квантовых спиновых моделей (например, модели Гейзенберга (квантовой) ). Параметрсвязано с запутыванием между частицами. В частности, если состояние является состоянием продукта (т.е. совсем не запутанным), его можно описать как состояние матричного продукта с.
Для состояний, которые трансляционно симметричны, мы можем выбрать:
В общем, каждое состояние может быть записано в форме MPS (с экспоненциально растет с числом частиц N ). Однако MPS практичны, когдамала - например, не зависит от количества частиц. За исключением небольшого числа конкретных случаев (некоторые из которых упомянуты в разделе Примеры ), это невозможно, хотя во многих случаях это служит хорошим приближением.
Разложение MPS не уникально. Для введения см. [1] и. [2] В контексте конечных автоматов см. [3] Для получения информации о графическом обосновании тензорных сетей см. Введение. [4]
Получение MPS
Один из способов получить MPS-представление квантового состояния - использовать разложение Шмидта N - 1 раз. В качестве альтернативы, если известна квантовая схема, которая подготавливает состояние множества тел, можно сначала попытаться получить представление схемы оператором матричного произведения. Локальные тензоры в операторе матричного произведения будут четырьмя индексными тензорами. Локальный тензор MPS получается путем сжатия одного физического индекса локального тензора MPO с состоянием, которое вводится в квантовую схему в этом узле.
Примеры
Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера
Гринбергер-Хорн-Цайлингер состояние , которое для N частиц можно записать в виде суперпозиции из N нулей и N единиц
может быть выражено как матричное состояние продукта с точностью до нормализации с
или, что то же самое, с использованием обозначений из: [3]
В этой нотации используются матрицы, в которых записи являются векторами состояния (вместо комплексных чисел), а при умножении матриц используются тензорные произведения для их записей (вместо произведения двух комплексных чисел). Такая матрица строится как
Обратите внимание, что тензорное произведение не коммутативно .
В этом конкретном примере произведение двух матриц A :
Состояние W
W-состояние , т. Е. Суперпозиция всех вычислительных базисных состояний с весом один по Хэммингу. Несмотря на то, что состояние симметрично относительно перестановок, его простейшее представление MPS - нет. [1] Например:
AKLT модель
Волновая функция основного состояния AKLT, которая является историческим примером подхода MPS:, [5] соответствует выбору [6]
где являются матрицы Паули , или
Модель Маджумдара – Гоша
Основное состояние Маджумдара – Гоша может быть записано как MPS с
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Perez-Garcia, D .; Verstraete, F .; Вольф, ММ (2008). «Матричные представления состояний продукта». arXiv : квант-ph / 0608197 .
- ^ Verstraete, F .; Murg, V .; Cirac, JI (2008). «Матричные состояния продукта, спроектированные состояния запутанных пар и методы вариационной ренормализационной группы для квантовых спиновых систем». Успехи физики . 57 (2): 143–224. arXiv : 0907.2796 . Bibcode : 2008AdPhy..57..143V . DOI : 10.1080 / 14789940801912366 .
- ^ а б Кроссвайт, Грегори; Бэкон, Дэйв (2008). «Конечные автоматы для кэширования в алгоритмах матричных произведений». Physical Review . 78 (1): 012356. arXiv : 0708.1221 . Bibcode : 2008PhRvA..78a2356C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.78.012356 .
- ^ Биамонте, Иаков; Бергхольм, Вилле (2017). «Тензорные сети в двух словах»: 35. arXiv : 1708.00006 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Аффлек, Ян; Кеннеди, Том; Lieb, Elliott H .; Тасаки, Хэл (1987). «Строгие результаты по основным состояниям валентных связей в антиферромагнетиках». Письма с физическим обзором . 59 (7): 799–802. Bibcode : 1987PhRvL..59..799A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 .
- ^ Шольвёк, Ульрих (2011). «Ренормализационная группа матрицы плотности в возрасте состояний матричного произведения». Летопись физики . 326 : 96–192. arXiv : 1008.3477 . Bibcode : 2011AnPhy.326 ... 96S . DOI : 10.1016 / j.aop.2010.09.012 .
Внешние ссылки
- Обзорная статья с открытым исходным кодом, посвященная тензорным сетевым алгоритмам, приложениям и программному обеспечению.
- Состояние матричных состояний продукта - Physics Stack Exchange
- Практическое введение в тензорные сети: состояния матричных продуктов и состояния спроектированных запутанных пар
- Махание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям
- В двух словах о тензорных сетях: введение в тензорные сети