Модель Гейзенберга (квантовая)

Модель Гейзенберга, разработанная Вернером Гейзенбергом , представляет собой статистико-механическую модель, используемую при исследовании критических точек и фазовых переходов магнитных систем, в которой спины магнитных систем обрабатываются квантово-механически . Это связано с прототипной моделью Изинга , где в каждом узле решетки спин представляет собой микроскопический магнитный диполь, по отношению к которому магнитный момент направлен вверх или вниз. Помимо связи между магнитными дипольными моментами, существует также мультиполярная версия модели Гейзенберга, называемая мультиполярным обменным взаимодействием .${\ Displaystyle \ sigma _ {я} \ в \ {\ pm 1 \}}$

Обзор [ править ]

По причинам квантовой механики (см. Обменное взаимодействие или Магнетизм § Квантово-механическое происхождение магнетизма ) доминирующая связь между двумя диполями может привести к тому, что ближайшие соседи будут иметь самую низкую энергию, когда они выровнены . При этом предположении (так что магнитные взаимодействия происходят только между соседними диполями) и на одномерной периодической решетке гамильтониан можно записать в виде

${\ displaystyle {\ hat {H}} = - J \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j} \ sigma _ {j + 1} -h \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j}}$,

где - константа связи, а диполи представлены классическими векторами (или «спинами») σ _j с периодическим граничным условием . Модель Гейзенберга - более реалистичная модель, поскольку она рассматривает спины квантово-механически, заменяя спин квантовым оператором, действующим на тензорное произведение размерности . Чтобы определить его, вспомним матрицы Паули спина 1/2${\ displaystyle J}$${\ Displaystyle \ sigma _ {N + 1} = \ sigma _ {1}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {2}) ^ {\ otimes N}}$${\ displaystyle 2 ^ {N}}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$,

${\ displaystyle \ sigma ^ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}$,

${\ displaystyle \ sigma ^ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$,

а для и обозначим , где - единичная матрица. Учитывая выбор действительных констант связи и , гамильтониан имеет вид${\displaystyle 1\leq j\leq N}$${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$${\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle J_{x},J_{y},}$${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

где справа указано внешнее магнитное поле с периодическими граничными условиями . Цель состоит в том, чтобы определить спектр гамильтониана, из которого можно вычислить статистическую сумму и изучить термодинамику системы.${\displaystyle h}$

Обычно модель называют в зависимости от значений , и : если модель называется моделью Гейзенберга XYZ; в случае , это модель Гейзенберга XXZ ; если , то это модель Гейзенберга ХХХ. Одномерная модель Гейзенберга со спином 1/2 может быть решена точно с помощью анзаца Бете . ^[1] В алгебраической формулировке они связаны с конкретными квантовыми аффинными алгебрами и эллиптическими квантовыми группами в случаях XXZ и XYZ соответственно. ^[2] Другие подходы делают это без анзаца Бете. ^[3]${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$

Модель XXX [ править ]

Физика модели Гейзенберга XXX сильно зависит от знака константы связи и размерности пространства. Для положительного состояния основное состояние всегда ферромагнитно . При отрицательном значении основное состояние является антиферромагнитным в двух и трех измерениях. ^[4] В одном измерении характер корреляций в антиферромагнитной модели Гейзенберга зависит от спина магнитных диполей. Если спин целочисленный, то присутствует только ближний порядок . Система полуцелых спинов демонстрирует квазидальний порядок .${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

Упрощенная версия модели Гейзенберга - это одномерная модель Изинга, в которой поперечное магнитное поле находится в x- направлении, а взаимодействие только в z- направлении:

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}$.

При малых g и больших g вырождение основного состояния различно, что означает, что между ними должен быть квантовый фазовый переход. Ее можно решить точно для критической точки с помощью анализа двойственности. ^[5] Переход двойственности матриц Паули есть и , где и также являются матрицами Паули, которые подчиняются матричной алгебре Паули. При периодических граничных условиях можно показать, что преобразованный гамильтониан имеет очень похожий вид:${\displaystyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$${\displaystyle S^{x}}$${\displaystyle S^{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

но для члена, связанного со спиновым взаимодействием. Предполагая , что есть только одна критическая точка, можно сделать вывод о том , что фазовый переход происходит в .${\displaystyle g}$${\displaystyle g=1}$

Приложения [ править ]

• Другой важный объект - энтропия запутанности . Один из способов описать это - разделить уникальное основное состояние на блок (несколько последовательных спинов) и окружение (остальное основное состояние). Энтропию блока можно рассматривать как энтропию запутанности. При нулевой температуре в критической области (термодинамический предел) она логарифмически масштабируется с размером блока. С ростом температуры логарифмическая зависимость переходит в линейную функцию. ^[6] Для больших температур линейная зависимость следует из второго начала термодинамики .

• Модель Гейзенберга представляет собой важный теоретический пример применения перенормировки матрицы плотности .

• Шестивершинная модель может быть решена с помощью алгебраической Беты анзаца для спиновой цепочки Гейзенберга (см Бакстера, «Точно решаемые модели в статистической механике»).

• Наполовину заполненная модель Хаббарда в пределе сильных отталкивающих взаимодействий может быть отображена на модель Гейзенберга с представлением силы сверхобменного взаимодействия.${\displaystyle J<0}$

См. Также [ править ]

• Классическая модель Гейзенберга
• ДМРГ модели Гейзенберга
• Квантовая модель ротора
• tJ модель
• J1 J2 модель
• Модель Маджумдара – Гоша
• AKLT модель
• Многополярное обменное взаимодействие

Ссылки [ править ]

• RJ Baxter, Точно решаемые модели в статистической механике , Лондон, Academic Press, 1982
• Гейзенберг, В. (1 сентября 1928 г.). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [К теории ферромагнетизма]. Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 49 (9): 619–636. Bibcode : 1928ZPhy ... 49..619H . DOI : 10.1007 / BF01328601 . S2CID  122524239 .
• Бете, Х. (1 марта 1931 г.). "Zur Theorie der Metalle" [К теории металлов]. Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 71 (3): 205–226. Bibcode : 1931ZPhy ... 71..205B . DOI : 10.1007 / BF01341708 . S2CID  124225487 .

Примечания [ править ]