Анзац Бете

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В физике , то Анзац Беты является Анзацем метода нахождения точных волновых функций некоторых моделей многих тел одномерным квантовыми. Он был изобретен Гансом Бете в 1931 году ^[1] для нахождения точных собственных значений и собственных векторов одномерного антиферромагнитного гамильтониана модели Гейзенберга . С тех пор метод был распространен на другие модели в одном измерении: при регистрации (анизотропную) Гейзенберга цепи (XXZ модели), Либа-Линигер взаимодействующих бозе - газ , тем модели Хаббарда , то модель Кондо , в модели Андерсона, модель Ричардсона и др.

Обсуждение [ править ]

В рамках квантовой механики многих тел модели, решаемые с помощью анзаца Бете, можно противопоставить моделям свободных фермионов. Можно сказать, что динамика свободной модели является одночастичной сводимой: многочастичная волновая функция для фермионов ( бозонов ) является антисимметризованным (симметризованным) произведением одночастичных волновых функций. Модели, решаемые с помощью анзаца Бете, не являются бесплатными: двухчастичный сектор имеет нетривиальную матрицу рассеяния , которая в общем случае зависит от импульсов.

С другой стороны, динамика моделей, решаемых с помощью анзаца Бете, сводима по двум телам: матрица многочастичного рассеяния является продуктом двухчастичных матриц рассеяния. Столкновения многих тел происходят как последовательность столкновений двух тел, и волновая функция многих тел может быть представлена ​​в форме, содержащей только элементы из волновых функций двух тел. Матрица многочастичного рассеяния равна произведению матриц попарного рассеяния.

Общая форма анзаца Бете для волновой функции многих тел:

${\ displaystyle \ Psi _ {M} (j_ {1}, \ cdots, j_ {M}) = \ prod _ {M \ geq a> b \ geq 1} {\ text {sgn}} (j_ {a} -j_ {b}) \ sum _ {P \ in P_ {M}} (- 1) ^ {[P]} e ^ {i \ sum _ {a = 1} ^ {M} k_ {P_ {a} } j_ {a} + {\ frac {i} {2}} \ sum _ {M \ geq a> b \ geq 1} \ mathrm {sgn} (j_ {a} -j_ {b}) \ phi (k_ {P_ {a}}, k_ {P_ {b}})}}$

в котором - количество частиц, их положение, - набор всех перестановок целых чисел , - (квази) импульс -й частицы, - функция фазового сдвига рассеяния и - функция знака . Эта форма универсальна (по крайней мере, для невложенных систем), при этом функции импульса и рассеяния зависят от модели.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle j_ {a}, a = 1, \ cdots M}$${\ displaystyle P_ {M}}$${\ displaystyle 1, \ cdots, M}$${\ displaystyle k_ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ mathrm {sgn}}$

Уравнение Янга – Бакстера гарантирует непротиворечивость конструкции. Принцип исключения Паули справедлив для моделей, решаемых с помощью анзаца Бете, даже для моделей взаимодействующих бозонов .

Основное состояние - сфера Ферми . Периодические граничные условия приводят к уравнениям анзаца Бете. В логарифмической форме уравнения анзаца Бете могут быть сгенерированы действием Янга . Квадрат нормы волновой функции Бете равен определителю матрицы вторых производных действия Янга. ^[2] Недавно ^{[ когда? ]} развитый алгебраический анзац Бете ^[3] привел к существенному прогрессу, устанавливая ^{[ кто? ]} что

Метод рассеяния квантовых обратный ... хорошо развитый метод позволил ... широкий класс нелинейных эволюционных уравнений должны быть решен. Это объясняет алгебраическую природу анзаца Бете.

Точные решения так называемой sd- модели (П.Б. Вигманн ^[4] в 1980 г. и независимо Н. Андреем ^[5] также в 1980 г.) и модели Андерсона (П.Б. Вигманн ^[6] в 1981 г. и Н. Kawakami и A. Okiji ^[7] в 1981 г.) также оба основаны на анзаце Бете. Существуют многоканальные обобщения этих двух моделей, также поддающиеся точным решениям (Н. Андреем и К. Дестри ^[8] и К. Дж. Болечем и Н. Андреем ^[9]).). Недавно несколько моделей, решаемых анзацем Бете, были экспериментально реализованы в твердых телах и оптических решетках. Важную роль в теоретическом описании этих экспериментов сыграли Жан-Себастьен Ко и Алексей Цвелик. ^{[ необходима цитата ]}

Пример: антиферромагнитная цепочка Гейзенберга [ править ]

Антиферромагнитная цепочка Гейзенберга определяется гамильтонианом (в предположении периодических граничных условий)

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.}$

Эта модель решается с помощью анзаца Бете. Функция фазового сдвига рассеяния равна , в которой импульс удобно повторно параметризовать, например, в терминах быстроты . Граничные условия (здесь периодические) накладывают уравнения Бете${\displaystyle \phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M}$

или, что более удобно, в логарифмической форме

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}}$

где квантовые числа представляют собой различные получетные целые числа для четных, целые числа для нечетных (с определенным модулем ).${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle N-M}$${\displaystyle N-M}$${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle (N)}$

Хронология [ править ]

Этот раздел имеет формат списка , но может читаться лучше как проза . Вы можете помочь, преобразовав этот раздел , если это необходимо. Доступна помощь по редактированию . ( Февраль 2020 г. )

• 1928: Вернер Гейзенберг издает свою модель. ^[10]
• 1930: Феликс Блох предлагает чрезмерно упрощенный анзац, в котором неправильно подсчитывается количество решений уравнения Шредингера для цепи Гейзенберга. ^[11]
• 1931: Ганс Бете предлагает правильный анзац и тщательно показывает, что он дает правильное количество собственных функций. ^[1]
• 1938: Ламек Хултен  [ де ] получает точную энергию основного состояния модели Гейзенберга. ^[12]
• 1958: Раймонд Ли Орбах использует анзац Бете для решения модели Гейзенберга с анизотропными взаимодействиями. ^[13]
• 1962: J. des Cloizeaux и JJ Pearson получают правильный спектр антиферромагнетика Гейзенберга (соотношение дисперсии спинонов) ^[14], показывая, что он отличается от предсказаний спин-волновой теории Андерсона ^[15] (постоянный префактор другой).
• 1963: Эллиотт Х. Либ и Вернер Линигер предоставляют точное решение 1d δ-функции, взаимодействующей с бозе-газом ^[16] (теперь известной как модель Либа-Линигера ). Либ исследует спектр и определяет два основных типа возбуждений. ^[17]
• 1964: Роберт Б. Гриффитс получает кривую намагничивания модели Гейзенберга при нулевой температуре. ^[18]
• 1966: CN Yang и CP Yang строго доказывают, что основное состояние цепи Гейзенберга задается анзацем Бете. ^[19] Они изучают свойства и приложения в ^[20] и. ^[21]
• 1967: CN Yang обобщает решение Либа и Линигера δ-функции, взаимодействующей с бозе-газом, на произвольную перестановочную симметрию волновой функции, создавая вложенный анзац Бете. ^[22]
• 1968 Эллиотт Х. Либ и Ф. Я. Ву решают 1-ю модель Хаббарда. ^[23]
• 1969: CN Yang и CP Yang получают термодинамику модели Либа-Линигера ^[24], которая составляет основу термодинамического анзаца Бете (TBA).

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Введение в анзац Бете