Модель Хаббарда

Модель Хаббарда - это приближенная модель, используемая, особенно в физике твердого тела , для описания перехода между проводящими и изолирующими системами . ^[1] Модель Хаббарда, названная в честь Джона Хаббарда , представляет собой простую модель взаимодействующих частиц в решетке, содержащую только два члена в гамильтониане (см. Пример ниже): кинетический член, допускающий туннелирование («прыжки») частиц между узлы решетки и потенциальный член, состоящий из взаимодействия на узле. Частицы могут быть либо фермионами , как в оригинальной работе Хаббарда, либо бозонами., в этом случае модель называется « моделью Бозе – Хаббарда ».

Модель Хаббарда представляет собой полезное приближение для частиц в периодическом потенциале при достаточно низких температурах, где все частицы могут считаться находящимися в самой нижней полосе Блоха , а дальнодействующие взаимодействия между частицами можно игнорировать. Если учитывать взаимодействия между частицами в разных узлах решетки, модель часто называют «расширенной моделью Хаббарда».

Модель была первоначально предложена в 1963 году для описания электронов в твердых телах. ^[2] С тех пор он стал применяться для изучения высокотемпературной сверхпроводимости , квантового магнетизма и волн зарядовой плотности. ^[3] Модель Хаббарда вводит короткодействующие взаимодействия между электронами в модель сильной связи , которая включает только кинетическую энергию (термин «прыжки») и взаимодействия с атомами решетки («атомный» потенциал). Когда взаимодействие между электронами является сильным, поведение модели Хаббарда может качественно отличаться от модели сильной связи. Например, модель Хаббарда правильно предсказывает существование изоляторов Мотта.: материалы, изолирующие из-за сильного отталкивания электронов, даже если они удовлетворяют обычным критериям для проводников, например, имеют нечетное количество электронов на элементарную ячейку.

Теория узких энергетических зон [ править ]

Модель Хаббарда основана на приближении сильной связи из физики твердого тела, которое описывает частицы, движущиеся в периодическом потенциале, иногда называемом решеткой. Для реальных материалов каждый участок этой решетки может соответствовать ионному остову, а частицы будут валентными электронами этих ионов. В приближении сильной связи гамильтониан записывается в терминах состояний Ванье, которые представляют собой локализованные состояния с центром в каждом узле решетки. Состояния Ванье на соседних узлах решетки связаны, что позволяет частицам на одном узле "перескакивать" на другой. Математически сила этой связи определяется «интегралом перескока» или «интегралом переноса» между соседними узлами. Говорят, что система находится в пределе сильной связи, когда сила интегралов перескока быстро падает с расстоянием. Эта связь позволяет состояниям, связанным с каждым узлом решетки, гибридизоваться, а собственные состояния такой кристаллической системы являются функциями Блоха с уровнями энергии, разделенными на отдельные энергетические зоны . Ширина полос зависит от значения интеграла перескока.

Модель Хаббарда вводит контактное взаимодействие между частицами противоположного спина на каждом узле решетки. Когда модель Хаббарда используется для описания электронных систем, ожидается, что эти взаимодействия будут отталкивающими, происходящими из экранированного кулоновского взаимодействия . Тем не менее, привлекательные взаимодействия также часто рассматриваются. Физика модели Хаббарда определяется конкуренцией между силой интеграла перескока, который характеризует кинетическую энергию системы , и силой члена взаимодействия. Таким образом, модель Хаббарда может объяснить переход от металла к изолятору в некоторых взаимодействующих системах. Например, его использовали для описания металла.оксидов по мере их нагрева, где соответствующее увеличение расстояния между ближайшими соседями уменьшает интеграл перескока до точки, где потенциал на месте является доминирующим. Аналогичным образом , модель Хаббарды может объяснить переход от проводника к изолятору в системах , такие как редкоземельные пирохлоры как атомный номер из металла увеличивается редкоземельным, поскольку параметр решетки возрастает (или угол между атомами также могут изменить - см Кристалла структура ) по мере увеличения атомного номера редкоземельного элемента, тем самым изменяя относительную важность интеграла перескока по сравнению с локальным отталкиванием.

Пример: 1D цепочка атомов водорода [ править ]

У атома водорода есть только один электрон на так называемой s- орбитали, который может вращаться вверх ( ) или вниз ( ). Эта орбиталь может быть занята максимум двумя электронами, один со спином вверх и один вниз (см. Принцип исключения Паули ). ${\ displaystyle \ uparrow}$ ${\ displaystyle \ downarrow}$

Теперь рассмотрим одномерную цепочку атомов водорода. Согласно теории зон , мы ожидаем, что орбиталь 1s образует непрерывную полосу, которая будет заполнена ровно наполовину. Таким образом, согласно традиционной зонной теории, одномерная цепочка атомов водорода является проводником.

Но теперь рассмотрим случай, когда расстояние между атомами водорода постепенно увеличивается. В какой-то момент мы ожидаем, что цепь должна стать изолятором.

С другой стороны, выраженный в терминах модели Хаббарда, гамильтониан теперь состоит из двух членов. Первый член описывает кинетическую энергию системы, параметризованы прыжковый интеграл, . Второй член - это взаимодействие силы на месте, которое представляет собой отталкивание электронов. Тогда гамильтониан Хаббарда, записанный в обозначениях вторичного квантования , принимает вид ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle U}$

{\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },

где - оператор спиновой плотности для спина на -м узле. Оператор полной плотности есть, а заполнение -го узла волновой функции равно . Обычно t считается положительным, а U может быть как положительным, так и отрицательным в целом, но предполагается, что он положительный при рассмотрении электронных систем, как мы здесь. ${\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }$ $\sigma$ $i$ ${\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }$ $i$ $\Phi$ $n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle$

Если мы рассмотрим гамильтониан без вклада второго члена, мы просто останемся с формулой сильной связи из теории регулярных зон.

Однако, когда включен второй член, мы получаем более реалистичную модель, которая также предсказывает переход от проводника к изолятору при изменении отношения взаимодействия к прыжкам . Это соотношение может быть изменено, например, путем увеличения межатомного расстояния, что уменьшит величину, не оказывая влияния . В пределе где цепочка просто распадается на набор изолированных магнитных моментов . Если не слишком велик, интеграл перекрытия обеспечивает сверхобмен $U/t$ $t$ $U$ $U/t\gg 1$ $U/t$ взаимодействия между соседними магнитными моментами, которые могут привести к множеству интересных магнитных корреляций, таких как ферромагнитные, антиферромагнитные и т. д., в зависимости от параметров модели. Одномерная модель Хаббарда была решена Либом и Ву с использованием анзаца Бете . Существенный прогресс был достигнут в 1990-е годы: была обнаружена скрытая симметрия , оценены матрица рассеяния , корреляционные функции , термодинамическая и квантовая запутанность . ^[4]

Более сложные системы [ править ]

Хотя модель Хаббарда полезна для описания таких систем, как одномерная цепочка атомов водорода, важно отметить, что в более сложных системах могут быть другие эффекты, которые модель Хаббарда не учитывает. В общем, изоляторы можно разделить на изоляторы типа Мотта – Хаббарда (см. Изолятор Мотта ) и изоляторы с переносом заряда .

Рассмотрим следующее описание изолятора Мотта – Хаббарда:

(\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.

Это можно рассматривать как аналог модели Хаббарда для водородных цепочек, где проводимость между элементарными ячейками может быть описана интегралом переноса.

Однако электроны могут вести себя иначе:

\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.

Это называется переносом заряда и приводит к образованию изоляторов для переноса заряда . Обратите внимание, что это сильно отличается от модели изолятора Мотта – Хаббарда, потому что нет переноса электронов между элементарными ячейками, только внутри элементарной ячейки.

Оба этих эффекта могут присутствовать и конкурировать в сложных ионных системах.

Числовая обработка [ править ]

Тот факт, что модель Хаббарда не была решена аналитически в произвольных измерениях, привел к интенсивным исследованиям численных методов для этих сильно коррелированных электронных систем. ^[5]^[6] Одной из основных целей этого исследования является определение низкотемпературной фазовой диаграммы этой модели, особенно в двух измерениях. Приближенное численное рассмотрение модели Хаббарда на конечных системах возможно с помощью ряда методов.

Один из таких методов, алгоритм Ланцоша , может определять статические и динамические свойства системы. Расчеты основного состояния с использованием этого метода требуют хранения трех векторов размера количества состояний. Число состояний экспоненциально масштабируется с размером системы, что ограничивает количество узлов в решетке примерно до 20 в настоящее время ^{[ когда? ]} доступное оборудование. С помощью проектора и Монте-Карло вспомогательного поля с конечной температурой существуют два статистических метода, которые также могут получить определенные свойства системы. Для низких температур возникают проблемы сходимости, которые приводят к экспоненциальному росту вычислительных затрат при понижении температуры из-за так называемой проблемы знака фермиона.

Модель Хаббарда также может быть изучена в рамках динамической теории среднего поля (DMFT). Эта схема отображает гамильтониан Хаббарда на одноузельную примесную модель , отображение, которое формально является точным только в бесконечных измерениях, а в конечных измерениях соответствует точной обработке только всех чисто локальных корреляций. DMFT позволяет вычислить локальную функцию Грина модели Хаббарда для заданной и заданной температуры. В DMFT можно вычислить эволюцию спектральной функции и наблюдать появление верхней и нижней полос Хаббарда по мере увеличения корреляции. $U$

См. Также [ править ]

Теорема Блоха
Электронная зонная структура
Физика твердого тела
Модель Бозе – Хаббарда
модель tJ
Модель Гейзенберга (квантовая)
Теория динамического среднего поля
Критерий стоунера

Ссылки [ править ]

^ Altland, A .; Саймонс, Б. (2006). «Эффекты взаимодействия в системе сильной привязки» . Теория поля конденсированного состояния . Издательство Кембриджского университета . стр. 58 и далее . ISBN 978-0-521-84508-3.
^ "Электронные корреляции в узких энергетических диапазонах" . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 276 (1365): 238–257. 26 ноября 1963 г. doi : 10.1098 / rspa.1963.0204 . ISSN 0080-4630 .
^ Ауэрбах, Асса. (1994). Взаимодействующие электроны и квантовый магнетизм . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94286-6. OCLC 30028928 .
^ Essler, FHL; Frahm, H .; Göhmann, F .; Klümper, A .; Корепин, В.Е. (2005). Одномерная модель Хаббарда . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80262-8.
^ Скалапино, DJ (2006). «Численные исследования 2D-модели Хаббарда» : cond – mat / 0610710. arXiv : cond-mat / 0610710 . Bibcode : 2006 second.mat.10710S . Cite journal requires |journal= (help)
Перейти ↑ LeBlanc, J. (2015). «Решения двумерной модели Хаббарда: критерии и результаты широкого спектра численных алгоритмов» . Physical Review X . 5 (4): 041041. arXiv : 1505.02290 . Bibcode : 2015PhRvX ... 5d1041L . DOI : 10.1103 / PhysRevX.5.041041 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Хаббард, Дж. (1963). «Электронные корреляции в узких энергетических зонах». Труды Лондонского королевского общества . 276 (1365): 238–257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . DOI : 10,1098 / rspa.1963.0204 . JSTOR 2414761 . S2CID 35439962 .
Бах, В .; Lieb, EH; Соловей, JP (1994). «Обобщенная теория Хартри – Фока и модель Хаббарда». Журнал статистической физики . 76 (1-2): 3. arXiv : cond-mat / 9312044 . Bibcode : 1994JSP .... 76 .... 3B . DOI : 10.1007 / BF02188656 . S2CID 207143 .
Либ, EH (1995). «Модель Хаббарда: некоторые строгие результаты и открытые проблемы». Xi Int. Конг. Mp, Int. Нажмите (?) . 1995 : cond – mat / 9311033. arXiv : cond-mat / 9311033 . Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
Гебхард, Ф. (1997). «Переход металл – изолятор». Переход Мотта металл – изолятор: модели и методы . Тракты Спрингера в современной физике. 137 . Springer . С. 1–48. ISBN 9783540614814.
Lieb, EH; Wu, FY (2003). «Одномерная модель Хаббарда: воспоминания». Physica . 321 (1): 1-27. arXiv : cond-mat / 0207529 . Bibcode : 2003PhyA..321 .... 1L . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (02) 01785-5 . S2CID 44758937 .

[Altland-1] Altland, A .; Саймонс, Б. (2006). «Эффекты взаимодействия в системе сильной привязки» . Теория поля конденсированного состояния . Издательство Кембриджского университета . стр. 58 и далее . ISBN 978-0-521-84508-3.

[2] "Электронные корреляции в узких энергетических диапазонах" . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 276 (1365): 238–257. 26 ноября 1963 г. doi : 10.1098 / rspa.1963.0204 . ISSN 0080-4630 .

[3] Ауэрбах, Асса. (1994). Взаимодействующие электроны и квантовый магнетизм . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94286-6. OCLC 30028928 .

[4] Essler, FHL; Frahm, H .; Göhmann, F .; Klümper, A .; Корепин, В.Е. (2005). Одномерная модель Хаббарда . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80262-8.

[ScalapinoNumerical_StudiesOfThe2DHubbardModel-5] Скалапино, DJ (2006). «Численные исследования 2D-модели Хаббарда» : cond – mat / 0610710. arXiv : cond-mat / 0610710 . Bibcode : 2006 second.mat.10710S . Cite journal requires |journal= (help)

[SimonsBenchmark-6] Перейти ↑ LeBlanc, J. (2015). «Решения двумерной модели Хаббарда: критерии и результаты широкого спектра численных алгоритмов» . Physical Review X . 5 (4): 041041. arXiv : 1505.02290 . Bibcode : 2015PhRvX ... 5d1041L . DOI : 10.1103 / PhysRevX.5.041041 .

[1]