Модель Бозе – Хаббарда описывает физику взаимодействующих бесспиновых бозонов на решетке . Это тесно связано с моделью Хаббарда, которая возникла в физике твердого тела как приблизительное описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами кристаллического твердого тела. Модель была впервые представлена Гершем и Кноллманом [1] в 1963 году в контексте гранулированных сверхпроводников. (Термин « Бозе » в его названии относится к тому факту, что частицы в системе являются бозонными..) Модель приобрела известность в 1980-х годах после того, как было обнаружено, что она отражает сущность перехода сверхтекучий изолятор гораздо более математически поддающейся обработке, чем модели фермионный металл-изолятор. [2] [3] [4]
Модель Бозе-Хаббарда может быть использована для описания физических систем , таких как бозонные атомы в оптической решетке , [5] , а также некоторые магнитные изоляторы. [6] [7] Кроме того, его также можно обобщить и применить к смесям Бозе – Ферми, и в этом случае соответствующий гамильтониан называется гамильтонианом Бозе – Ферми – Хаббарда.
Гамильтониан
Физика этой модели задается гамильтонианом Бозе – Хаббарда:
.
Здесь, обозначает суммирование по всем соседним узлам решетки а также , пока а также - бозонные операторы рождения и уничтожения, такие что дает количество частиц на месте . Модель параметризуется амплитудой прыжка описывая подвижность бозонов в решетке, взаимодействие на узле который может быть привлекательным () или отталкивающий (), а химический потенциал , который, по сути, устанавливает общее количество частиц. Если не указано иное, обычно фраза «модель Бозе – Хаббарда» относится к случаю, когда взаимодействие на месте является отталкивающим.
Этот гамильтониан имеет глобальную симметрия, что означает, что он инвариантен (т. е. его физические свойства не изменяются) преобразованием . В сверхтекучей фазе эта симметрия самопроизвольно нарушается .
Гильбертово пространство
Размерность гильбертова пространства модели Бозе – Хаббарда определяется выражением, где - общее количество частиц, а обозначает общее количество узлов решетки. При фиксированном или же , размерность гильбертова пространства растет полиномиально, но при фиксированной плотности бозонов на сайт, он растет экспоненциально как . Аналогичные гамильтонианы могут быть сформулированы для описания бесспиновых фермионов (модель Ферми-Хаббарда) или смесей различных видов атомов (например, смесей Бозе-Ферми). В случае смеси гильбертово пространство - это просто тензорное произведение гильбертовых пространств отдельных видов. Обычно для моделирования взаимодействия между видами необходимо включать дополнительные термины.
Фазовая диаграмма
При нулевой температуре модель Бозе – Хаббарда (в отсутствие беспорядка) находится либо в изолирующем состоянии Мотта при малых, или в сверхтекучем состоянии в целом. [8] Изолирующие фазы Мотта характеризуются целочисленной плотностью бозонов, наличием энергетической щели для возбуждений между частицами и дырками и нулевой сжимаемостью . Сверхтекучая жидкость характеризуется дальнодействующей фазовой когерентностью, спонтанным нарушением непрерывности гамильтониана.симметрия, ненулевая сжимаемость и сверхтекучая восприимчивость. При ненулевой температуре в определенных режимах параметров также будет регулярная жидкая фаза, которая не нарушаетсимметрия и не показывает фазовой когерентности. Обе эти фазы экспериментально наблюдались в ультрахолодных атомарных газах. [9]
При наличии беспорядка существует третья фаза « бозе-стекло ». [4] Стекло Бозе является фазой Гриффитса и может рассматриваться как изолятор Мотта, содержащий редкие «лужи» сверхтекучей жидкости. Эти сверхтекучие бассейны не соединены друг с другом, поэтому система остается изолирующей, но их присутствие существенно меняет термодинамику модели. Фаза бозе-стекла характеризуется конечной сжимаемостью, отсутствием щели и бесконечной сверхтекучей восприимчивостью . [4] Несмотря на отсутствие зазора, он является изолирующим, так как низкое туннелирование предотвращает генерацию возбуждений, которые, хотя и близки по энергии, пространственно разделены. Стекла Бозе было показано, имеют ненулевую Эдвардса-Андерсона параметр порядка [10] [11] , и было предложено , чтобы отобразить реплики нарушения симметрии , [12] , однако это не было доказано.
Теория среднего поля
Фазы чистой модели Бозе – Хаббарда можно описать с помощью гамильтониана среднего поля : [13]
Мы можем получить фазовую диаграмму, вычислив энергию этого гамильтониана среднего поля, используя теорию возмущений второго порядка и найдя условие, для которого. Для этого сначала запишем гамильтониан как локальный участок плюс возмущение:
Реализация в оптических решетках
Ультрахолодные атомы в оптических решетках считаются стандартной реализацией модели Бозе – Хаббарда. Возможность настройки параметров модели с использованием простых экспериментальных методов и отсутствие динамики решетки, которая присутствует в твердотельных электронных системах, означают, что ультрахолодные атомы предлагают очень чистую и управляемую реализацию модели Бозе – Хаббарда. [14] [5] Самым большим недостатком технологии оптических решеток является время жизни ловушки, когда атомы обычно задерживаются только на несколько десятков секунд.
Чтобы понять, почему ультрахолодные атомы предлагают такую удобную реализацию физики Бозе-Хаббарда, мы можем вывести гамильтониан Бозе-Хаббарда, исходя из вторично квантованного гамильтониана, который описывает газ ультрахолодных атомов в оптическом потенциале решетки. Этот гамильтониан задается выражением:
,
где - потенциал оптической решетки, - амплитуда (контактного) взаимодействия, химический потенциал. В приближении сильной связи приводит к замене что приводит к гамильтониану Бозе-Хаббарда, если ограничить физику самой нижней зоной () и взаимодействия локальны на уровне дискретной моды. Математически это можно сформулировать как требование, чтобы кроме случая . Здесь,является функцией Ванье для частицы в потенциале оптической решетки, локализованном вокруг узла решетки и для -я полоса Блоха . [15]
Тонкости и приближения
Приближение сильной связи значительно упрощает вторичный квантованный гамильтониан, хотя одновременно вводит несколько ограничений:
- Для одноузельных состояний с несколькими частицами в одном состоянии взаимодействия могут взаимодействовать с более высокими полосами Блоха, что противоречит базовым предположениям. Тем не менее, однополосная модель способна решить физику низких энергий такой настройки, но параметры U и J фактически становятся зависимыми от плотности. Вместо одного параметра U энергию взаимодействия n частиц можно описать следующим образом:близко, но не равно U. [15]
- При рассмотрении (быстрой) динамики решетки к гамильтониану Бозе-Хаббарда следует добавить дополнительные члены, чтобы зависящее от времени уравнение Шредингера соблюдалось в (зависящем от времени) базисе функций Ванье. Они происходят из временной зависимости функций Ванье. [16] [17] В противном случае динамика решетки может быть включена, сделав ключевые параметры модели зависимыми от времени, изменяясь с мгновенным значением оптического потенциала.
Результаты экспериментов
Квантовые фазовые переходы в модели Бозе – Хаббарда экспериментально наблюдались Грейнером и др. [9], а параметры взаимодействия зависят от плотности.наблюдались группой И. Блоха . [18] Получение изображений модели Бозе – Хаббарда с одноатомным разрешением стало возможным с 2009 года с использованием микроскопов квантового газа. [19] [20] [21]
Дальнейшие применения модели
Модель Бозе – Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно изучить запутывание ультрахолодных атомов. [22]
Численное моделирование
При расчете низкоэнергетических состояний член, пропорциональный означает, что большое заполнение одного узла маловероятно, что позволяет усечь локальное гильбертово пространство до состояний, содержащих не более частицы. Тогда размерность локального гильбертова пространства равнаРазмерность полного гильбертова пространства растет экспоненциально с ростом числа узлов в решетке, поэтому точные компьютерное моделирование всего гильбертова пространства ограничиваются изучением систем 15-20 частиц в 15-20 узлах кристаллической решетки [ править ] . Экспериментальные системы содержат несколько миллионов узлов решетки со средним заполнением выше единицы [ необходима цитата ] .
Одномерные решетки могут быть изучены с использованием ренормализационной группы матрицы плотности (DMRG) и связанных методов, таких как прореживание блоков с временной эволюцией (TEBD). Это включает в себя вычисление основного состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на тысячах узлов решетки и моделирование его динамики, управляемой зависимым от времени уравнением Шредингера . В последнее время двумерные решетки также изучались с использованием спроектированных запутанных парных состояний, которые являются обобщением состояний матричных продуктов в более высоких измерениях, как для основного состояния [23], так и для конечной температуры. [24]
Более высокие размеры значительно труднее из-за быстрого роста запутанности . [25]
Все измерения можно рассматривать с помощью алгоритмов квантового Монте-Карло , которые позволяют изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также, в частности, основного состояния.
Обобщения
Гамильтонианы типа Бозе-Хаббарда могут быть получены для различных физических систем, содержащих ультрахолодный атомный газ в периодическом потенциале. Они включают, но не ограничиваются:
- системы с более дальнодействующими взаимодействиями плотность-плотность вида , который может стабилизировать сверхтвердую фазу для определенных значений параметров
- димеризованные магниты, где электроны со спином 1/2 связаны вместе в пары, называемые димерами, которые имеют статистику бозонного возбуждения и описываются жесткой моделью Бозе – Хаббарда.
- дальнодействующее дипольное взаимодействие [26]
- системы с элементами туннелирования, вызванными взаимодействием [27]
- внутренняя спиновая структура атомов, например, из-за захвата всего вырожденного многообразия сверхтонких спиновых состояний (при F = 1 i приводит к модели Бозе – Хаббарда со спином 1) [28]
- ситуация, когда в газе ощущается наличие дополнительного потенциала, например, для неупорядоченных систем. [29] Беспорядок может быть реализован с помощью спекл-структуры или с помощью второй несоразмерной, более слабой оптической решетки. В последнем случае включение нарушения равносильно включению дополнительного срока в форме:
Смотрите также
- Модель Хаббарда
- Модель Джейнса-Каммингса-Хаббарда
Рекомендации
- ^ Gersch, H .; Кноллман, Г. (1963). «Квантовая модель ячеек для бозонов». Физический обзор . 129 (2): 959. Bibcode : 1963PhRv..129..959G . DOI : 10.1103 / PhysRev.129.959 .
- ^ Ma, M .; Гальперин, Б.И.; Ли, Пенсильвания (1986-09-01). «Сильно неупорядоченные сверхтекучие жидкости: квантовые флуктуации и критическое поведение». Physical Review B . 34 (5): 3136–3143. Bibcode : 1986PhRvB..34.3136M . DOI : 10.1103 / PhysRevB.34.3136 . PMID 9940047 .
- ^ Giamarchi, T .; Шульц, HJ (1988-01-01). «Локализация Андерсона и взаимодействия в одномерных металлах». Physical Review B . 37 (1): 325–340. Bibcode : 1988PhRvB..37..325G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.37.325 .
- ^ а б в г Фишер, Мэтью PA; Гринштейн, Г .; Фишер, Дэниел С. (1989). «Локализация бозонов и переход сверхтекучий изолятор» (PDF) . Physical Review B . 40 (1): 546–70. Bibcode : 1989PhRvB..40..546F . DOI : 10.1103 / PhysRevB.40.546 . PMID 9990946 .,
- ^ а б Jaksch, D .; Золлер, П. (2005). "Набор инструментов Хаббарда холодного атома". Летопись физики . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat / 0410614 . Bibcode : 2005AnPhy.315 ... 52J . CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . DOI : 10.1016 / j.aop.2004.09.010 .
- ^ Джамарчи, Тьерри; Рюэгг, Кристиан; Чернышёв Олег (2008). «Конденсация Бозе – Эйнштейна в магнитных изоляторах». Физика природы . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Bibcode : 2008NatPh ... 4..198G . DOI : 10.1038 / nphys893 .
- ^ Цапф, Вивьен; Хайме, Марсело; Батиста, CD (2014-05-15). «Конденсация Бозе-Эйнштейна в квантовых магнитах» . Обзоры современной физики . 86 (2): 563–614. Bibcode : 2014RvMP ... 86..563Z . DOI : 10.1103 / RevModPhys.86.563 .
- ^ Kühner, T .; Моньен, Х. (1998). «Фазы одномерной модели Бозе-Хаббарда». Physical Review B . 58 (22): R14741. arXiv : cond-mat / 9712307 . Bibcode : 1998PhRvB..5814741K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.58.R14741 .
- ^ а б Грейнер, Маркус; Мандель, Олаф; Эсслингер, Тилман; Hänsch, Theodor W .; Блох, Иммануил (2002). «Квантовый фазовый переход от сверхтекучего диэлектрика к моттовскому диэлектрику в газе ультрахолодных атомов». Природа . 415 (6867): 39–44. Bibcode : 2002Natur.415 ... 39G . DOI : 10.1038 / 415039a . PMID 11780110 .
- ^ Morrison, S .; Кантиан, А .; Дейли, AJ; Katzgraber, HG; Lewenstein, M .; Бюхлер, HP; Золлер, П. (2008). «Физические копии и стекло Бозе в холодных атомарных газах» . Новый журнал физики . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Bibcode : 2008NJPh ... 10g3032M . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 10/7/073032 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Томсон, SJ; Уокер, LS; Harte, TL; Брюс, Дж. Д. (03.11.2016). "Измерение параметра порядка Эдвардса-Андерсона бозе-стекла: подход квантового газового микроскопа". Physical Review . 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Bibcode : 2016PhRvA..94e1601T . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.051601 .
- ^ Томсон, SJ; Крюгер, Ф. (2014). «Реплика, нарушающая симметрию в стекле Бозе». EPL . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Bibcode : 2014EL .... 10830002T . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 108/30002 .
- ^ Сачдев, Субир (2011). Квантовые фазовые переходы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521514682. OCLC 693207153 .
- ^ Jaksch, D .; Bruder, C .; Cirac, J .; Gardiner, C .; Золлер, П. (1998). «Холодные бозонные атомы в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat / 9805329 . Bibcode : 1998PhRvL..81.3108J . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.81.3108 .
- ^ а б Люманн, DSR; Jürgensen, O .; Сенгсток, К. (2012). «Многоорбитальное и индуцированное плотностью туннелирование бозонов в оптических решетках». Новый журнал физики . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Bibcode : 2012NJPh ... 14c3021L . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 14/3/033021 .
- ^ Sakmann, K .; Стрельцов А.И.; Алон, О.Е .; Седербаум, LS (2011). «Оптимальные нестационарные решеточные модели для неравновесной динамики». Новый журнал физики . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Bibcode : 2011NJPh ... 13d3003S . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 13/4/043003 .
- ^ Łącki, M .; Закжевский, Дж. (2013). «Быстрая динамика атомов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Bibcode : 2013PhRvL.110f5301L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.065301 . PMID 23432268 .
- ^ Will, S .; Бест, Т .; Schneider, U .; Hackermüller, L .; Люманн, DSR; Блох, И. (2010). «Разрешенное во времени наблюдение когерентных взаимодействий нескольких тел в квантовых фазах возрождения». Природа . 465 (7295): 197–201. Bibcode : 2010Natur.465..197W . DOI : 10,1038 / природа09036 . PMID 20463733 .
- ^ Bakr, Waseem S .; Гиллен, Джонатон I .; Пэн, Эми; Фёллинг, Саймон; Грейнер, Маркус (2009). «Квантовый газовый микроскоп для обнаружения одиночных атомов в оптической решетке режима Хаббарда». Природа . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Bibcode : 2009Natur.462 ... 74В . DOI : 10,1038 / природа08482 . PMID 19890326 .
- ^ Бакр, WS; Peng, A .; Tai, ME; Ma, R .; Саймон, Дж .; Gillen, JI; Fölling, S .; Pollet, L .; Грейнер, М. (30.07.2010). «Исследование перехода сверхтекучего диэлектрика в изолятор Мотта на одноатомном уровне». Наука . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Bibcode : 2010Sci ... 329..547B . DOI : 10.1126 / science.1192368 . ISSN 0036-8075 . PMID 20558666 .
- ^ Вайтенберг, Кристоф; Эндрес, Мануэль; Шерсон, Джейкоб Ф .; Шено, Марк; Шаус, Питер; Фукухара, Такеши; Блох, Иммануил; Кухр, Стефан (2011). «Односпиновая адресация в атомном изоляторе Мотта». Природа . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Bibcode : 2011Natur.471..319W . DOI : 10,1038 / природа09827 . PMID 21412333 .
- ^ Ромеро-Изарт, О; Eckert, K; Родо, К; Санпера, А (2007). «Перенос и генерация запутанности в модели Бозе – Хаббарда». Журнал физики A: математический и теоретический . 40 (28): 8019–31. arXiv : квант-ph / 0703177 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.8019R . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/28 / S11 .
- ^ Джордан, Дж; Orus, R; Видаль, Г. (2009). «Численное исследование жесткой модели Бозе-Хаббарда на бесконечной квадратной решетке». Phys. Rev. B . 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Bibcode : 2009PhRvB..79q4515J . DOI : 10.1103 / PhysRevB.79.174515 .
- ^ Кшетримаюм, А .; Рицци, М .; Eisert, J .; Орус, Р. (2019). "Алгоритм отжига тензорной сети для двумерных тепловых состояний". Phys. Rev. Lett . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Bibcode : 2019PhRvL.122g0502K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.122.070502 .
- ^ Eisert, J .; Cramer, M .; Пленио, МБ (2010). «Коллоквиум: законы площади для энтропии запутанности». Обзоры современной физики . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Bibcode : 2010RvMP ... 82..277E . DOI : 10.1103 / RevModPhys.82.277 .
- ^ Góral, K .; Santos, L .; Левенштейн, М. (2002). «Квантовые фазы диполярных бозонов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat / 0112363 . Bibcode : 2002PhRvL..88q0406G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.88.170406 . PMID 12005738 .
- ^ Sowiński, T .; Dutta, O .; Hauke, P .; Tagliacozzo, L .; Левенштейн, М. (2012). «Диполярные молекулы в оптических решетках». Письма с физическим обзором . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Bibcode : 2012PhRvL.108k5301S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.108.115301 . PMID 22540482 .
- ^ Tsuchiya, S .; Kurihara, S .; Кимура, Т. (2004). «Сверхтекучий изоляторный переход бозонов со спином 1 в оптической решетке». Physical Review . 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat / 0209676 . Bibcode : 2004PhRvA..70d3628T . DOI : 10.1103 / PhysRevA.70.043628 .
- ^ Gurarie, V .; Pollet, L .; Прокофьев Н.В.; Свистунов Б.В.; Тройер, М. (2009). «Фазовая диаграмма неупорядоченной модели Бозе-Хаббарда» . Physical Review B . 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Bibcode : 2009PhRvB..80u4519G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.80.214519 .