Теория Ландау

Теория Ландау в физике - это теория, которую Лев Ландау ввел в попытке сформулировать общую теорию непрерывных (т.е. второго рода) фазовых переходов . ^[1] Его также можно адаптировать к системам, находящимся под воздействием внешних полей, и использовать в качестве количественной модели для прерывистых переходов (т. Е. Первого рода).

Формулировка среднего поля (без дальнодействующей корреляции) [ править ]

Ландау был мотивирован предположить, что свободная энергия любой системы должна подчиняться двум условиям:

• Это аналитически.
• Он подчиняется симметрии гамильтониана .

Учитывая эти два условия, можно записать (вблизи критической температуры T _c ) феноменологическое выражение для свободной энергии в виде разложения Тейлора по параметру порядка .

Переходы второго рода [ править ]

Схема свободной энергии как функции параметра порядка ${\ displaystyle \ eta}$

Рассмотрим систему, которая нарушает некоторую симметрию ниже фазового перехода, который характеризуется параметром порядка . Этот параметр порядка является мерой порядка до и после фазового перехода; параметр порядка часто равен нулю выше некоторой критической температуры и отличен от нуля ниже критической температуры. В простой ферромагнитной системе, такой как модель Изинга , параметр порядка характеризуется суммарной намагниченностью , которая самопроизвольно становится ненулевой ниже критической температуры . В теории Ландау рассматривается функционал свободной энергии, который является аналитической функцией параметра порядка. Во многих системах с определенной симметрией свободная энергия будет только функцией четных степеней параметра порядка, для которых она может быть выражена как разложение в ряд${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle T_ {c}}$^[2]

${\ Displaystyle F (T, \ eta) -F_ {0} = a (T) \ eta ^ {2} + {\ frac {b (T)} {2}} \ eta ^ {4} + \ cdots}$

Как правило, в свободной энергии присутствуют члены более высокого порядка, но разумным приближением является рассмотрение ряда до четвертого порядка по параметру порядка, пока параметр порядка мал. Чтобы система была термодинамически стабильной (то есть система не ищет бесконечный параметр порядка для минимизации энергии), коэффициент при наивысшей четной степени параметра порядка должен быть положительным, поэтому . Для простоты можно считать, что это константа, близкая к критической температуре. Кроме того, поскольку меняет знак выше и ниже критической температуры, можно аналогичным образом расширить , где предполагается, что для высокотемпературной фазы в то время как${\displaystyle b(T)>0}$${\displaystyle b(T)=b_{0}}$${\displaystyle a(T)}$${\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$для низкотемпературной фазы, чтобы произошел переход. При этих предположениях минимизация свободной энергии по параметру порядка требует

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

Решение параметра порядка, которое удовлетворяет этому условию: либо , либо ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})}$

Параметр порядка и удельная теплоемкость как функция температуры

Понятно, что это решение существует только для , иначе это единственное решение. Действительно, это минимальное решение для , но решение минимизирует свободную энергию для и, таким образом, является стабильной фазой. Кроме того, параметр порядка подчиняется соотношению${\displaystyle T<T_{c}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle T>T_{c}}$${\displaystyle \eta _{0}}$${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle \eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}}$

ниже критической температуры, что указывает на критический показатель для этой модели теории среднего Ландау. ${\displaystyle \beta =1/2}$

Свободная энергия будет изменяться в зависимости от температуры, заданной формулой

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

По свободной энергии можно вычислить удельную теплоемкость,

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

который имеет конечный скачок при критической температуре размера . Таким образом, этот конечный скачок не связан с разрывом, который мог бы произойти, если бы система поглотила скрытую теплоту , поскольку . Следует также отметить, что скачок теплоемкости связан с скачком второй производной свободной энергии, что характерно для фазового перехода второго рода. Кроме того, тот факт, что у теплоемкости нет дивергенции или заострения в критической точке, указывает на ее критический показатель для is .${\displaystyle \Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}}$${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$${\displaystyle c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha }}$${\displaystyle \alpha =0}$

Применяемые поля [ править ]

Во многих системах можно рассматривать возмущающее поле, которое линейно связано с параметром порядка. Например, в случае классического дипольного момента энергия системы диполь-поле равна . В общем случае можно предположить сдвиг энергии за счет связи параметра порядка с приложенным полем , и в результате изменится свободная энергия Ландау:${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\mu B}$${\displaystyle -\eta h}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h}$

В этом случае условие минимизации имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

Непосредственным следствием этого уравнения и его решения является то, что если приложенное поле отличное от нуля, то намагниченность не равна нулю при любой температуре. Это означает, что больше не происходит спонтанного нарушения симметрии при любой температуре. Кроме того, из этого условия можно получить некоторые интересные термодинамические и универсальные величины. Например, при критической температуре где можно найти зависимость параметра порядка от внешнего поля: ${\displaystyle a(T_{c})=0}$

${\displaystyle \eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}$

с указанием критического показателя . ${\displaystyle \delta =3}$

Восприимчивость к нулевому полю как функция температуры вблизи критической температуры

Кроме того, из вышеуказанного условия можно найти восприимчивость в нулевом поле , которая должна удовлетворять ${\displaystyle \chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}}$

${\displaystyle 0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1}$

В этом случае, если вспомнить в случае нулевого поля, что при низких температурах, в то время как для температур выше критической, восприимчивость в нулевом поле, следовательно, имеет следующую температурную зависимость: ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/b}$${\displaystyle \eta ^{2}=0}$

${\displaystyle \chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }}$

что напоминает закон Кюри-Вейсса для температурной зависимости магнитной восприимчивости в магнитных материалах и дает критический показатель среднего поля .${\displaystyle \gamma =1}$

Переходы первого рода [ править ]

Теорию Ландау можно также использовать для изучения переходов первого рода. Существуют две разные формулировки, в зависимости от того, является ли система симметричной относительно изменения знака параметра порядка.

I. Симметричный случай [ править ]

Здесь мы рассматриваем случай, когда система обладает симметрией, а энергия инвариантна при изменении знака параметра порядка. Переход первого рода возникнет, если член четвертой степени в отрицателен. Чтобы стабилизировать систему от стремительного роста , необходимо довести разложение по свободной энергии до шестого порядка (в нулевом поле) ^{[3] [4]}${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

где , и - некоторая температура, при которой меняет знак. Мы обозначаем эту температуру как и нет , поскольку ниже выяснится, что это не температура перехода первого рода, а поскольку критической точки нет, понятие «критическая температура» с самого начала вводит в заблуждение. Все коэффициенты положительные.${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle A(T)}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle A_{0},B_{0},C_{0}}$

Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) Для , члены и для всех вогнуты вверх , а члены вогнуты вниз. Таким образом, при достаточно высоких температурах все вогнуто вверх , а равновесное решение оказывается . (б) Для , как и термины являются отрицательными, так что это локальный максимум, а минимум находится на некотором ненулевое значение , с . (iii) Для чуть выше , превращается в локальный минимум, но минимум в продолжает оставаться глобальным минимумом, поскольку он имеет более низкую свободную энергию. Отсюда следует, что при повышении температуры выше${\displaystyle T>T_{0}}$${\displaystyle \eta ^{2}}$${\displaystyle \eta ^{6}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta ^{4}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle T<T_{0}}$${\displaystyle \eta ^{2}}$${\displaystyle \eta ^{4}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pm \eta _{0}(T)}$${\displaystyle F(T_{0},\eta _{0}(T_{0}))<0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta _{0}(T)}$${\displaystyle T_{0}}$глобальный минимум не может непрерывно эволюционировать от до 0. Скорее, при некоторой промежуточной температуре минимумы при и должны стать вырожденными. Для глобального минимума будет скачок скачка от до 0.${\displaystyle \eta _{0}(T)}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle T>T_{*}}$${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$

Чтобы найти , мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю в точке (как и решение), и, кроме того, эта точка должна быть локальным минимумом. Эти два условия дают два уравнения:${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta =\eta _{0}(T_{*})}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{2}+6C_{0}\eta ^{3},}$

Фазовый переход первого рода, продемонстрированный в скачке параметра порядка как функции температуры

которые удовлетворены когда . Те же уравнения также подразумевают это . То есть,${\displaystyle \eta ^{2}(T_{*})={B_{0}}/{2C_{0}}}$${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=B_{0}^{2}/4C_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4A_{0}C_{0}}}.}$

Из этого анализа ясно видны оба упомянутых выше пункта. Во-первых, параметр порядка претерпевает скачок от до 0. Во-вторых, температура перехода не совпадает с температурой, при которой она обращается в нуль. ${\displaystyle (B_{0}/2C_{0})^{1/2}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle A(T)}$

При температурах ниже температуры перехода параметр порядка определяется выражением${\displaystyle T<T_{*}}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]}$

который нанесен справа. Это показывает явный разрыв, связанный с параметром порядка как функцией температуры. Чтобы дополнительно продемонстрировать, что переход является первым порядком, можно показать, что свободная энергия для этого параметра порядка непрерывна при температуре перехода , но его первая производная (энтропия) страдает разрывом, отражающим существование ненулевого скрытая теплота.${\displaystyle T_{*}}$

II. Несимметричный случай [ править ]

Далее рассмотрим случай, когда система не обладает симметрией. В этом случае нет причин сохранять в разложении только четные степени , и должен быть разрешен кубический член (линейный член всегда можно исключить с помощью сдвига + константы). Таким образом, мы рассматриваем функционал свободной энергии${\displaystyle \eta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta \to \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .}$

Еще раз , и все положительно. Знак кубического члена всегда можно выбрать отрицательным, как мы это сделали, изменив знак, если необходимо.${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$${\displaystyle A_{0},B_{0},C_{0}}$${\displaystyle \eta }$

Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) Для , у нас есть локальный максимум в , и, поскольку свободная энергия ограничена снизу, должно быть два локальных минимума при ненулевых значениях и . Кубический член гарантирует, что это глобальный минимум, поскольку он более глубокий. (ii) Для чуть выше минимум в исчезает, максимум в превращается в локальный минимум, но минимум в сохраняется и продолжает быть глобальным минимумом. При дальнейшем повышении температуры он повышается до нуля при некоторой температуре . При мы получаем скачкообразный скачок глобального минимума от до 0. (Минимумы не могут сливаться, поскольку для этого потребуются первые три производные от${\displaystyle T<T_{0}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta _{-}(T)<0}$${\displaystyle \eta _{+}(T)>0}$${\displaystyle \eta _{+}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \eta _{-}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta _{+}}$${\displaystyle F(T,\eta _{+}(T))}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta _{+}(T_{*})}$${\displaystyle F}$исчезнуть в .)${\displaystyle \eta =0}$

Чтобы найти , мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю в точке (как и решение), и, кроме того, эта точка должна быть локальным минимумом. Эти два условия дают два уравнения:${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta =\eta _{+}(T_{*})}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3},}$

которые удовлетворены когда . Те же уравнения также подразумевают это . То есть,${\displaystyle \eta (T_{*})={C_{0}}/{2B_{0}}}$${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=C_{0}^{2}/4B_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4A_{0}B_{0}}}.}$

Как и в симметричном случае, параметр порядка испытывает скачок от нуля до нуля. Во-вторых, температура перехода не совпадает с температурой, при которой она обращается в ноль. ${\displaystyle (C_{0}/2B_{0})}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle A(T)}$

Приложения [ править ]

Экспериментально было известно, что кривая сосуществования жидкость-газ и кривая намагничивания ферромагнетика демонстрируют масштабное соотношение формы , которое таинственным образом одинаково для обеих систем. Это феномен универсальности . Было также известно, что простые модели жидкость-газ точно отображаются в простые магнитные модели, что подразумевает, что две системы обладают одинаковой симметрией. Затем из теории Ландау следовало, почему эти две очевидно несопоставимые системы должны иметь одинаковые критические показатели, несмотря на разные микроскопические параметры. Теперь известно, что феномен универсальности возникает по другим причинам (см. Ренормализационная группа${\displaystyle |T-T_{c}|^{\beta }}$${\displaystyle \beta }$). Фактически, теория Ландау предсказывает неверные критические показатели для систем Изинга и жидкость-газ.

Великое достоинство теории Ландау состоит в том, что она дает конкретные предсказания относительно того, какое неаналитическое поведение следует наблюдать, когда лежащая в основе свободная энергия является аналитической. Тогда вся неаналитичность в критической точке, критических показателях, объясняется тем, что равновесное значение параметра порядка изменяется неаналитически, как квадратный корень, всякий раз, когда свободная энергия теряет свой уникальный минимум.

Распространение теории Ландау на флуктуации параметра порядка показывает, что теория Ландау строго справедлива только вблизи критических точек обычных систем с пространственными размерами выше 4. Это верхний критический размер , который может быть намного больше четырех дюймов. более точно настроенный фазовый переход. В Mukhamel анализа «с изотропной точкой Лифшица, критический размер равен 8. Это потому , что теория Ландау является теорией среднего поля , и не включает в себя дальние корреляции.

Эта теория не объясняет неаналитичности в критической точке, но при применении к сверхтекучим и фазовый переход сверхпроводник, теория Ландау источником вдохновения для другой теории, в теории Гинзбурга-Ландау в сверхпроводимости .

Включая дальние корреляции [ править ]

Рассмотрим свободную энергию модели Изинга выше. Предположим, что параметр порядка и внешнее магнитное поле могут иметь пространственные вариации. Теперь можно предположить, что свободная энергия системы принимает следующую модифицированную форму:${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle H}$

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)}$

где - общая пространственная размерность. Так,${\displaystyle D}$

${\displaystyle \langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}}$

Предположим, что для локализованного внешнего магнитного возмущения параметр порядка имеет вид . Потом,${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

То есть флуктуация параметра порядка соответствует корреляции порядка-порядка. Следовательно, пренебрежение этой флуктуацией (как в более раннем подходе среднего поля) соответствует пренебрежению корреляцией порядка-порядка, которая расходится вблизи критической точки.${\displaystyle \phi (x)}$

Можно также решить ^[5] для , из которого показатель масштабирования, для корреляционной длины можно вывести. Исходя из них, критерий Гинзбурга для верхней критической размерности применимости теории Ландау среднего поля Изинга (без дальнодействующей корреляции) может быть рассчитан как:${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }}$

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

В нашей текущей модели Изинга теория Ландау среднего поля дает, и поэтому она (теория Ландау среднего поля Изинга) справедлива только для пространственной размерности, большей или равной 4 (при предельных значениях есть небольшие поправки к показатели). Эту модифицированную версию теории Ландау среднего поля иногда также называют теорией Ландау – Гинзбурга фазовых переходов Изинга. В качестве пояснения, существует также теория Ландау – Гинзбурга, специфическая для фазового перехода сверхпроводимости, которая также включает флуктуации.${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$${\displaystyle D=4}$

См. Также [ править ]

• Теория Гинзбурга – Ландау
• Критерий Гинзбурга

Сноски [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Сборник статей Ландау Л.Д. (Наука, М., 1969).
• Майкл К. Кросс, Теория Ландау фазовых переходов второго рода , [1] (конспекты лекций по статистической механике Калифорнийского технологического института).
• Юхновский И.Р., Фазовые переходы второго порядка - метод коллективных переменных , World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6