Магнитный диполь

Магнитное поле из - за естественные магнитные диполи (верхний левый), магнитные монополи (верхний правый), на электрический ток в круговом контуре (внизу слева) или в соленоиде (нижняя правый). Все они создают одинаковый профиль поля, когда расположение бесконечно мало. ^[1]

Магнитный диполь является пределом либо замкнутой петли электрического тока или пары полюсов , как размер ^{[ разъяснение необходимости ]} из источника сводится к нулю, сохраняя при этом магнитный момент константу. Это магнитный аналог электрического диполя , но аналогия не идеальна. В частности, никогда не наблюдался магнитный монополь - магнитный аналог электрического заряда . Кроме того, одна формы магнитного дипольного момента связана с фундаментальным квантовым свойством-за спином из элементарных частиц .

Магнитное поле вокруг любого магнитного источника все больше выглядит поле магнитного диполя как расстояние от источника увеличивается.

Внешнее магнитное поле, создаваемое магнитным дипольным моментом [ править ]

Электростатический аналог магнитного момента: два противоположных заряда, разделенных конечным расстоянием. Каждая стрелка представляет направление вектора поля в этой точке.

Магнитное поле токовой петли. Кольцо представляет текущий цикл, который переходит на страницу в точке x и выходит в точке.

В классической физике магнитное поле диполя рассчитывается как предел либо токовой петли, либо пары зарядов, когда источник сжимается до точки, сохраняя при этом постоянный магнитный момент m . Для токовой петли этот предел легче всего получить для векторного потенциала . За пределами области источника этот потенциал равен (в единицах СИ ) ^[2]

${\ displaystyle {\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {2}}} {\ frac {{\ mathbf { m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ mathbf {m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r ^ {3}}},}$

где μ ₀ - постоянная проницаемости вакуума, а 4 π r ² - поверхность сферы радиуса r ;

а плотность магнитного потока (напряженность B-поля) в теслах равна ^[2]

${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathbf {r}}) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [ {\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}}} - {\ frac {\ mathbf {m}} {r ^ {3} }}\верно].}$

Эквивалентно, если - единичный вектор в направлении ^[3]${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r},}$

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

В сферических координатах с магнитным моментом, направленным вдоль оси z, если мы используем , то это соотношение может быть выражено как${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \cos \theta -\mathbf {\hat {z}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

В качестве альтернативы можно сначала получить скалярный потенциал из предела магнитного полюса,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

и, следовательно, напряженность магнитного поля (или напряженность H-поля) в ампер-витках на метр равна

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}.}$

Магнитное поле симметрично относительно вращений вокруг оси магнитного момента.

Внутреннее магнитное поле диполя [ править ]

Две модели диполя (токовая петля и магнитные полюса) дают одинаковые предсказания для магнитного поля вдали от источника. Однако внутри области источника они дают разные прогнозы. Магнитное поле между полюсами имеет направление, противоположное магнитному моменту (который указывает от отрицательного заряда к положительному), в то время как внутри токовой петли оно находится в том же направлении (см. Рисунок справа). Понятно, что пределы этих полей также должны быть другими, поскольку источники уменьшаются до нулевого размера. Это различие имеет значение только в том случае, если дипольный предел используется для расчета полей внутри магнитного материала.

Если магнитный диполь создается путем уменьшения и уменьшения токовой петли, но при сохранении постоянства произведения тока и площади, ограничивающее поле равно

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

где δ ( r ) - трехмерная дельта-функция Дирака . В отличие от выражений в предыдущем разделе, этот предел верен для внутреннего поля диполя.

Если магнитный диполь сформирован путем взятия «северного полюса» и «южного полюса», приведения их все ближе и ближе друг к другу, но с сохранением постоянства произведения заряда магнитного полюса и расстояния, ограничивающее поле равно

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

Эти поля связаны соотношением B = μ ₀ ( H + M ) , где

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

это намагниченность .

Силы между двумя магнитными диполями [ править ]

Силу F, прилагаемую одним дипольным моментом m ₁ к другому m _2, разделенному в пространстве вектором r, можно вычислить с помощью: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

или ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

где r - расстояние между диполями. Сила, действующая на m _1, находится в противоположном направлении.

Крутящий момент можно получить по формуле

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

Диполярные поля из конечных источников [ править ]

Магнитный скалярный потенциал ψ производства конечного источником, но внешний по отношению к ней, может быть представлены в виде мультипольным разложения . Каждый член в разложении связан с характерным моментом и потенциалом, имеющим характерную скорость убывания с расстоянием r от источника. Монопольные моменты имеют скорость уменьшения 1 / r , дипольные моменты имеют скорость 1 / r ² , квадрупольные моменты имеют скорость 1 / r ^3.скорость и так далее. Чем выше порядок, тем быстрее падает потенциал. Поскольку член низшего порядка, наблюдаемый в магнитных источниках, является дипольным членом, он доминирует на больших расстояниях. Поэтому на больших расстояниях любой магнитный источник выглядит как диполь того же магнитного момента .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]